Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
lista „de reținut”
Lecția 11, micro-noțiune cu micro-noțiune
- : f(x₀) = a · x₀ + b, cu numărul negativ între paranteze; într-un tabel cu pas 1, valorile sar mereu cu a.
- : Pe ℝ, graficul e o dreaptă: alegi x = 0 și încă un x comod, pui rigla, verifici cu al treilea punct.
- : Pe grafic înseamnă: ordonata = valoarea funcției în abscisă; o coordonată lipsă se află din aceeași egalitate.
- : b = f(0) e tăietura cu Oy; semnul lui a spune dacă dreapta urcă, coboară sau stă; b = 0 (și a ≠ 0) înseamnă mărimi direct proporționale.
- : Cu Oy: x = 0, punctul (0, b); cu Ox: f(x) = 0, punctul (−b/a, 0); sunt și cele mai comode puncte pentru desen.
- : Citește întâi domeniul, abia apoi desenează: interval → segment sau semidreaptă, mulțime finită → puncte.
- : Fiecare punct dă o ecuație în a și b; „taie Oy în (0, k)” înseamnă b = k; „taie Ox în (p, 0)” înseamnă ap + b = 0.
- : Pe grafic: din Ox urci și citești pe Oy, pentru valori; din Oy mergi orizontal și cobori pe Ox, pentru a găsi x.
- : Punctul comun: rezolvi f(x) = g(x), apoi calculezi y; perechea e soluția sistemului format din cele două formule.
- : Coliniare = toate pe aceeași dreaptă. Din două puncte cu abscise diferite scoți funcția ax + b și testezi restul; punctele cu aceeași abscisă stau pe o verticală și se văd direct, fără funcție.
- : Întâi traduci: ce e b, ce e a, ce e x; apoi domeniul din situație; abia apoi calculezi și răspunzi cu unitate de măsură.
Urmează: formula, tabelul, desenul și povestea, legate între ele; apoi câte un exercițiu din fiecare micro-noțiune, în ordinea hărții.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
Totul la un loc
Patru feluri de a spune același lucru
Trage punctele S și T din desen sau scrie a și b în panoul lui: formula, tabelul, desenul și povestea se schimbă împreună.
cost(x) = 2x + 6
| km | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| lei | 6 | 8 | 10 | 14 | 18 |
Desen interactiv: dreapta costului taxiului, cost(x) = 2x + 6, cu punctele S (pornirea) și T (cursa de 4 km).
În cuvinte
Taxiul cere 6 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. O cursă de 5 km costă 16 lei.
Urmează exercițiile recapitulării: unsprezece, câte unul din fiecare micro-noțiune, în ordinea hărții. Nu sunt noi: le iau din exercițiile micro-noțiunilor, întâi pe cele pe care nu le-ai făcut încă, ca să vezi dacă ideile s-au legat între ele, nu doar fiecare în parte. Le faci pe rând, ca de obicei: scrii răspunsul și apeși «Verifică»; dacă una nu-ți iese, te întreb unde să te uiți, iar la nevoie «Vezi teoria» te duce exact la ecranul ei și te întorci aici după.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 1 din 11
Exercițiul 1.1.7 · 1 din 11
Uneori primești doar un tabel, fără formulă. Regula „la pas de 1, valoarea se schimbă cu a” îți permite să scoți formula din tabel.
Cerință1.1.7 Centura galbenă
Tabelul de valori al unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are patru coloane: x = 0 → f(x) = 4; x = 1 → f(x) = 7; x = 2 → f(x) = 10; x = 3 → f(x) = 13.
a) Determină a.
b) Determină b.
c) Calculează f(10).
Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 5 și y între -1 și 16; graficul unei funcții; 4 puncte marcate.
Indicii
1Uită-te la coloana cu x = 0. Ce rămâne din formula ax + b când x e 0?
2Acum compară două coloane vecine: cu cât crește valoarea de jos când x crește cu 1? Numărul acela are un nume în formulă.
3După ce ai formula, c) e un calcul obișnuit: pune 10 în locul lui x.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 2 din 11
Exercițiul 2.1.7 · 2 din 11
Cineva a desenat graficul, dar a pus un punct anapoda. Faci tu pe profesorul: găsește intrusul și spune cum trebuia să fie.
Cerință2.1.7 Centura verde
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 5.
a) Calculează f(0) și f(4) și scrie coordonatele celor două puncte prin care trasezi graficul funcției.
b) Un coleg a marcat în planul xOy punctele P(1, 3), Q(2, 1) și R(3, 0) și le-a unit, spunând că a obținut graficul funcției f. Arată că unul dintre cele trei puncte nu aparține graficului.
c) Scrie ordonata pe care ar fi trebuit să o aibă acel punct.
Indicii
1La a), pune 0 și apoi 4 în locul lui x. Scrie punctele ca (x, f(x)).
2La b), nu te uita la desen, verifică prin calcul: pentru fiecare punct, calculează f în abscisa lui și compară cu ordonata.
3Ordonatele colegului scad (3, 1, 0), deci „pare” corect. Dar scad cu cât? De la x la x + 1, f trebuie să scadă mereu cu același număr.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 3 din 11
Exercițiul 2.2.7 · 3 din 11
Un exercițiu de sortare: ai o listă de perechi și o regulă. Păstrezi doar perechile care respectă regula.
Cerință2.2.7 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 și perechile (0, 3), (1, 5), (2, 8), (−1, 1), (4, 11).
a) Câte dintre perechi reprezintă puncte ale graficului funcției?
b) Scrie perechea care nu aparține graficului.
Indicii
1Același test de cinci ori: primul număr intră în formulă, cu al doilea compari.
2La (−1, 1), pune −1 în paranteze: 2 · (−1) + 3.
3Testează-le pe toate cinci, chiar dacă după primele două ți se pare că ai înțeles regula.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 4 din 11
Exercițiul 2.3.7 · 4 din 11
Din clasa a VI-a știi mărimile direct proporționale: dacă una se dublează, se dublează și cealaltă. Acum le recunoști printre funcțiile lecției.
Cerință2.3.7 Centura galbenă
Care dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, descrie două mărimi direct proporționale?
Indicii
1Dacă dublezi x, se dublează și valoarea? Încearcă la fiecare variantă cu x = 1 și x = 2.
2La mărimi direct proporționale, graficul trece prin origine: f(0) = 0. Ce înseamnă asta pentru b?
3Ai nevoie de b = 0 și, în plus, de a ≠ 0. O singură variantă le are pe amândouă.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 5 din 11
Exercițiul 2.4.7 · 5 din 11
Încă o dată ambele tăieturi, pentru o funcție cu coeficienți pozitivi. Observă unde cade punctul de pe Ox.
Cerință2.4.7 Centura galbenă
Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 6, taie axele de coordonate.
Indicii
1Pe Ox pui f(x) = 0; pe Oy pui x = 0.
2La 2x + 6 = 0, termenul 6 trece dincolo ca −6. Abscisa iese negativă: e în regulă, dreapta urcă și taie Ox la stânga.
3Pe Oy nu ai nimic de rezolvat: f(0) e termenul liber.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 6 din 11
Exercițiul 2.5.7 · 6 din 11
Domeniul e dat printr-o proprietate a elementelor, ca la lecția despre mulțimi, iar din interval păstrezi doar numerele întregi, ca la lecția despre intervale. Scrie-l întâi element cu element.
Cerință2.5.7 Centura galbenă
Se consideră funcția f : D → ℝ, f(x) = −x + 3, unde D = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 2}.
a) Scrie elementele mulțimii D.
b) Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi.
Indicii
1Scrie întâi numerele întregi de la −2 până la 2, apoi verifică fiecare capăt: ≤ la stânga, < la dreapta.
2Pentru fiecare element al lui D calculează f. La numerele negative, −x devine pozitiv.
3Graficul are exact atâtea perechi câte elemente are D.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 7 din 11
Exercițiul 3.1.7 · 7 din 11
Puncte cu coordonate negative, dar metoda e aceeași: două ecuații, un sistem. Uită-te la coeficienții lui a din cele două ecuații înainte să alegi ce faci cu ele.
Cerință3.1.7 Centura galbenă
Punctele A(−2, 7) și B(2, −1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Determină funcția f.
Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -4 și 4 și y între -4 și 10; 2 puncte marcate.
Indicii
1Scrie câte o ecuație pentru fiecare punct. La A, abscisa e −2: a · (−2) + b = 7.
2Uită-te la termenii cu a din cele două ecuații: −2a și 2a. Ce operație îi face să dispară?
3După ce ai b, pune-l într-una dintre ecuații ca să afli a. Verifică la final cu ambele puncte.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 8 din 11
Exercițiul 3.2.7 · 8 din 11
O ecuație și o inecuație rezolvate doar din privire: una pe orizontală, cealaltă după semn.
Cerință3.2.7 Centura galbenă
Se folosește graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ, segmentul pe care sunt marcate punctele A(−3, 5), C(0, 2), D(2, 0) și B(4, −2). Rezolvă, citind de pe grafic:
a) ecuația f(x) = 2;
b) inecuația f(x) < 0.
Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.
Indicii
1La a), pornești de pe axa Oy, de la 2, și mergi orizontal până lovești segmentul. Apoi cobori pe Ox.
2La b), f(x) < 0 înseamnă „graficul e sub axa Ox”. De unde până unde e sub ea?
3Capetele: la 2 valoarea e exact 0, deci nu intră; la 4 domeniul se termină și valoarea e negativă, deci intră.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 9 din 11
Exercițiul 3.3.7 · 9 din 11
Sistemele de două ecuații din clasa a VII-a au acum și o imagine: fiecare ecuație e o dreaptă, iar soluția e locul în care se întâlnesc.
Cerință3.3.7 Centura galbenă
Rezolvă sistemul { y = 2x − 3 ; y = −x + 6 } și interpretează geometric soluția.
Indicii
1Amândouă ecuațiile îl dau pe y. Ce obții dacă egalezi cele două expresii?
2Rezolvă 2x − 3 = −x + 6, apoi află y din oricare ecuație.
3Fiecare ecuație e graficul unei funcții. Ce reprezintă atunci perechea (x, y) pe desen?
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 10 din 11
Exercițiul 3.4.7 · 10 din 11
Test de coliniaritate în care a nu iese număr întreg. Nu te speria de fracții.
Cerință3.4.7 Centura galbenă
Verifică dacă punctele A(−2, 1), B(0, 4) și C(4, 10) sunt coliniare.
Indicii
1B are abscisa 0, deci b = 4 fără calcul. Folosește-l pe A ca să afli a.
2Din A: −2a + 4 = 1. Trece 4 dincolo, cu semnul schimbat, apoi împarte. Nu te opri dacă a nu iese număr întreg: aici așa trebuie să fie.
3Testează C: pune 4 în formula găsită și compară rezultatul cu ordonata lui C.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
exercițiul 11 din 11
Exercițiul 4.1.7 · 11 din 11
Un cicloturist care se îndepărtează de cabană cu viteză constantă. Întrebarea-cheie: ce joacă rolul lui b și ce joacă rolul lui a?
Cerință4.1.7 Centura galbenă
Un cicloturist se află la 12 km de cabană și pornește în linie dreaptă, îndepărtându-se de ea cu viteza constantă de 18 km/h.
a) Scrie funcția d care dă distanța, în kilometri, până la cabană, după t ore de mers.
b) După cât timp ajunge la 75 km de cabană?
c) La ce distanță de cabană se află după o jumătate de oră?
Indicii
1Unde e cicloturistul la t = 0? Nu la cabană. Numărul acela e termenul liber.
2Viteza spune cu cât crește distanța în fiecare oră: e coeficientul lui t.
3La b), scrie d(t) = 75 și rezolvă. La c), pune t = 1/2 în formulă.
Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice
Recapitularea lecției 11· Lecția 11
bilanțul
Lecția 11, recapitulată!
XP
+0
Corecte
0/0
Precizie
100%
Dacă vrei să-ți verifici teoria, ai «Teste grilă de teorie»; dacă vrei să mergi mai departe, nivel cu nivel, «Centurile». Apoi, Subiectele de sinteză și Încheierea lecției.
Sau alege altceva