Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă — introducerea, teoria noțiunii, Grila noțiunii 2, trecerea spre micro-noțiuni
Pe scurt: Noțiunea 2, „Graficul este o dreaptă”: 2.1 → 2.2 → 2.3 → 2.4 → 2.5. Formula devine desen, și desenul se stăpânește din formulă.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Introducere· Noțiunea 2
Introducerea noțiunii 2
Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă — ce construim și din ce micro-noțiuni
Următoarele cinci micro-noțiuni construiesc un singur lucru: graficul funcției f(x) = ax + b este o dreaptă, și tu o stăpânești din formulă.
Le iei în ordinea asta pentru că fiecare are nevoie de cea dinainte: întâi descoperi că punctele se așază pe o dreaptă și o desenezi din două puncte (2.1); apoi înveți testul sigur, prin calcul, pentru un punct (2.2); cu testul în mână afli ce fac a și b (2.3), apoi unde taie dreapta axele (2.4); iar la final tai dreapta după domeniu (2.5).
Până la sfârșitul noțiunii vei putea să iei orice formulă de felul ăsta și să-i desenezi graficul fără tabel lung, să spui unde taie axele doar uitându-te la formulă și să hotărăști, cu numere, dacă un punct e pe grafic sau nu. Întâi îți spun toată teoria noțiunii, pe îndelete; apoi o luăm micro-noțiune cu micro-noțiune.
Pe scurt: Noțiunea 2, „Graficul este o dreaptă”: 2.1 → 2.2 → 2.3 → 2.4 → 2.5. Formula devine desen, și desenul se stăpânește din formulă.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 1 din 10 · Teoremă
Graficul este o dreaptă
Ai văzut-o la începutul lecției; acum o luăm pe îndelete. Acolo ai primit-o într-o frază: graficul lui f(x) = ax + b e o dreaptă. Aici afli de ce.
Pornesc de la ce știi din Noțiunea 1: când x crește cu 1, valoarea se schimbă exact cu a. Uită-te pe desen la f(x) = 3x − 2 și spune, înainte de orice calcul: la fiecare pas de 1 spre dreapta, cât urci?
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 4 și y între −3 și 8; graficul funcției f(x) = 3x − 2; treptele de creștere ale funcției, câte +3 la fiecare pas.
Urci 3, de fiecare dată. Și nu doar la pași întregi: la o jumătate de pas urci 3/2, la un pas de lungime h urci 3 · h. Cât înaintezi și cât urci stau mereu în aceeași proporție, deci linia nu are unde să cotească: e dreaptă. Demonstrația, cu triunghiuri asemenea, e din clasa a VII-a; noi, în clasa a VIII-a, luăm rezultatul ca teoremă, fără s-o refacem:
Teoremă
Reprezentarea geometrică a graficului
funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b
este o dreaptă.
Dreapta e sigură. Întrebarea următoare: din câte puncte o desenezi? Răspunsul, pe ecranul următor.
Pe scurt: Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se reprezintă printr-o dreaptă (teoremă pe care în clasa a VIII-a o acceptăm fără demonstrație).
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 2 din 10 · Metodă
O desenezi din două puncte
Graficul e o dreaptă; de câte puncte ai nevoie ca s-o desenezi? Gândește-te la o sfoară de rufe: o întinzi între două cârlige și gata; al treilea cârlig n-ar schimba nimic.
Metodă
Prin două puncte distincte
trece o dreaptă și numai una.
Hai să desenăm graficul lui f(x) = 3x − 2. Un punct comod e cel cu x = 0: nu ai nimic de înmulțit. Pentru al doilea, caută un x la care valoarea iese număr întreg, ca să nimerești ușor pătrățelul.
1
x = 0
f(0) = −2, deci A(0, −2)
2
x = 2
f(2) = 4, deci B(2, 4)
3
Dreapta AB, cu rigla
prelungită dincolo de A și de B, nu doar segmentul AB
4
Controlul: încă un punct
f(1) = 1; (1, 1) cade pe dreaptă ✓
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 4 și y între −4 și 6; graficul funcției f(x) = 3x − 2; punctele A (0; −2), B (2; 4), C (1; 1).
Punctul de control nu e obligatoriu, dar te scutește de o dreaptă strâmbă: dacă nu cade pe ea, ți-a scăpat un calcul, și afli acum, nu la corectare. Dreapta are și un nume: graficul lui f se notează Gf. La drept vorbind, Gf e mulțimea perechilor (x, f(x)), iar dreapta de pe hârtie e desenul ei. În probleme vei citi „dreapta y = 3x − 2”: aceleași puncte, cu y în locul lui f(x).
Metodă
Gf = { (x, 3x − 2) | x ∈ ℝ }
se reprezintă prin dreapta y = 3x − 2
Asta e tot ce trebuie să-ți amintești de aici:
Metodă
pe ℝ, Gf este o dreaptă
două puncte comode (x = 0 și încă unul)
al treilea punct: verificare
Gf se reprezintă prin dreapta y = ax + b
Dar dacă al treilea punct nu cade pe dreaptă, care dintre cele trei e de vină? O afli cu rigla în mână, când ajungem la desenul pas cu pas; până atunci mai avem câteva lucruri de văzut despre dreaptă.
Pe scurt: Graficul se desenează din două puncte; al treilea servește la verificare. Gf este graficul lui f; pe ℝ, desenul lui este dreapta y = ax + b.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 3 din 10 · Metodă
Testul punctului
Testul punctului e unealta pe care o vei folosi cel mai des în toată lecția, așa că merită desfăcut cu grijă: ochiul se înșală la un milimetru, calculul nu.
Ce e graficul, de la Lecția 10? Mulțimea perechilor (x, f(x)). Deci un punct M(x₀, y₀), cu numele de bilețel din Noțiunea 1, stă pe grafic exact când y₀ e valoarea funcției în x₀:
Metodă
M(x₀, y₀) ∈ Gf
⇔
f(x₀) = y₀
Săgeata dublă ⇔ se citește „dacă și numai dacă”: merge în ambele sensuri. Punctul e pe grafic, deci egalitatea e adevărată; și invers, egalitatea e adevărată, deci punctul e pe grafic. Primul sens e cel care îți dă o coordonată lipsă, pe ecranul următor.
Pe dreapta de adineauri, f(x) = 3x − 2: P(2, 4) e pe grafic? Dar Q(−1, −4)? Hotărăște-te în gând. Regula mea: abscisa intră în formulă, ordonata așteaptă la comparație.
1
P(2, 4): iei abscisa
x₀ = 2
2
Calculezi valoarea funcției în ea
f(2) = 3 · 2 − 2 = 4
3
Compari cu ordonata
4 = 4, deci P este pe grafic
4
Q(−1, −4), la fel
f(−1) = 3 · (−1) − 2 = −5 ≠ −4, deci Q nu este pe grafic
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −3 și 4 și y între −7 și 6; graficul funcției f(x) = 3x − 2; punctele P (2; 4), Q (−1; −4), f(−1) (−1; −5); dreapta verticală x = −1.
Pe desen, Q stă cu o unitate deasupra dreptei: exact diferența dintre −4 și −5 din calcul. Și observă paranteza din jurul lui −1: minusul rămâne lipit de număr, ca în Noțiunea 1.
Pe scurt: Un punct este pe grafic exact atunci când ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa lui.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 4 din 10 · Metodă
Coordonata lipsă; desenul nu decide
Drumul invers: punctul e sigur pe grafic, dar o coordonată lipsește, iar egalitatea f(x₀) = y₀ ți-o scoate. Ghicește întâi: pentru R(4, m) pe graficul lui f(x) = 3x − 2, m iese mai mare sau mai mic decât 8?
1
Lipsește ordonata: R(4, m)
m = f(4) = 12 − 2 = 10
2
Lipsește abscisa: S(t, 7)
f(t) = 7, adică 3t − 2 = 7, deci 3t = 9 și t = 3
3
Verifici
f(3) = 9 − 2 = 7 ✓
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 6 și y între −3 și 12; graficul funcției f(x) = 3x − 2; punctele R(4, 10) (4; 10), S(3, 7) (3; 7).
Mai mare: 10. Observă cele două cazuri: ordonata lipsă e un simplu calcul, abscisa lipsă e o ecuație de gradul I, ca în clasa a VII-a: știi cât ai plătit la taxi și cauți câți kilometri ai mers.
Și un lucru pe care îl vei auzi la examen: desenul nu decide. Punctul (2; 4,1) pare pe dreapta y = 3x − 2, dar f(2) = 4, nu 4,1: o zecime deasupra, pe care hârtia n-o arată. Verdictul îl dă calculul. Punctul și virgula dintre coordonate țin virgula zecimală separată; așa scriem când o coordonată are zecimale.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între 0 și 4 și y între 2 și 6; graficul funcției f(x) = 3x − 2; punctele (2; 4,1) (2; 41/10), (2, 4) (2; 4).
Testul, cu cele două drumuri ale lui, într-o tablă:
Metodă
M(x₀, y₀) ∈ Gf ⇔ f(x₀) = y₀
ordonata lipsă: calculezi f(x₀)
abscisa lipsă: rezolvi a · x + b = y₀
Acum știi testul pe numere alese de mine. Îl poți face și pe un bon adevărat, cu 8 km și 25 de lei? Asta urmează, la Micro-noțiunea 2.2.
Pe scurt: Din f(x₀) = y₀ afli coordonata care lipsește: ordonata prin calcul, abscisa printr-o ecuație. Apartenența la grafic se verifică prin calcul, niciodată doar din desen.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 5 din 10 · Proprietate
Ce fac a și b
Formula f(x) = ax + b are două numere fixe, și la începutul lecției ți-am spus pe scurt ce face fiecare. Acum le luăm pe rând, cu desenul în față: întâi b, că e mai simplu, apoi a.
Pune x = 0 în formulă și uită-te ce rămâne:
Proprietate
f(0) = a · 0 + b
= 0 + b
= b
Produsul a · 0 dispare, oricare ar fi a: f(0) = b, fără excepție. Punctul (0, b) trece testul, deci e pe grafic, și, cu abscisa 0, stă pe axa Oy. Pe desen ai trei drepte foarte diferite, toate cu b = −2: prin ce punct trec toate?
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 4 și y între −6 și 5; graficul funcției f(x) = 3x − 2 (a = 3); graficul funcției g(x) = −x − 2 (a = −1); graficul funcției h(x) = 0,5·x − 2 (a = 1/2); punctele (0, −2) (0; −2).
g(x) = −x − 2 (a = −1)h(x) = 0,5·x − 2 (a = 1/2)
Prin (0, −2): „pornirea”, pe care o citești direct din formulă. Acum a. Din Noțiunea 1 știi că un pas de 1 schimbă valoarea exact cu a; pe desen, dreapta cu a = 3 urcă, cea cu a = −1 coboară, iar cea cu a = 1/2 abia urcă. Regula:
1
a > 0
la fiecare pas valoarea crește, dreapta urcă: spunem că valorile funcției cresc
2
a < 0
la fiecare pas valoarea scade, dreapta coboară: valorile scad
3
a = 0
valoarea nu se schimbă: f(x) = b, dreapta e orizontală (funcție constantă)
Și mărimea lui a contează, nu doar semnul: uită-te iar la desen, a = 3 ridică dreapta abrupt, iar a = 1/2 abia o înclină. Un a departe de 0, fie el pozitiv sau negativ, face dreapta abruptă; unul apropiat de 0 o lasă aproape culcată. Numele lor, ca în manual și la examen:
Proprietate
a = coeficientul lui x: încotro merge dreapta și cât de abruptă e
b = termenul liber: unde taie dreapta axa Oy
Pe scurt: b îți spune unde taie dreapta axa Oy: în punctul (0, b), pentru că f(0) = b. Semnul lui a spune încotro merge dreapta: urcă (a > 0, valorile cresc), coboară (a < 0, valorile scad) sau stă orizontal (a = 0). a se numește coeficientul lui x, iar b termenul liber.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 6 din 10 · Proprietate
Când b lipsește
Un exemplu doar din formulă, fără desen: f(x) = −6x + 1. Unde taie Oy? Urcă sau coboară? E mai abruptă decât g(x) = x + 1? Răspunde la toate trei, în gând sau pe caiet.
Compară: taie Oy în (0, 1), pentru că b = 1; coboară, pentru că a = −6 < 0; e mai abruptă, pentru că −6 e mai departe de 0 decât 1.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 3 și y între −6 și 5; graficul funcției f(x) = −6x + 1; graficul funcției g(x) = x + 1; punctele (0, 1) (0; 1).
g(x) = x + 1
Rămâne cazul în care b lipsește de tot. Să zicem că roșiile sunt 8 lei kilogramul: 1 kg, 8 lei; 2 kg, 16 lei; 3 kg, 24 lei. Costul e 8x, fără termen liber, iar 0 kg costă 0: dreapta pleacă din origine. Sunt mărimi direct proporționale, din clasa a VI-a: dublezi una, se dublează și cealaltă.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 4 și y între −3 și 27; graficul funcției f(x) = 8x; punctele (1, 8) (1; 8), (2, 16) (2; 16), (3, 24) (3; 24).
Proprietate
f(x) = a · x
f(x) / x = a, pentru orice x ≠ 0
f(0) = 0: graficul trece prin O(0, 0)
Aici a e chiar coeficientul de proporționalitate. Compară cu taxiul: cei 5 lei de pornire sunt un b ≠ 0, și de aceea două curse de câte un kilometru nu costă cât una de doi. Cum apare un b ≠ 0, proporționalitatea se strică.
Dacă reții un singur lucru de pe ecranul ăsta:
Proprietate
b = f(0): dreapta taie Oy în (0, b)
a > 0 urcă · a < 0 coboară · a = 0 orizontală
b = 0, a ≠ 0: f(x) = ax, mărimi direct proporționale, prin O
La Micro-noțiunea 2.3 tragi tu de dreaptă și vezi cum se mișcă a și b.
Pe scurt: f(x) = ax, cu a ≠ 0, descrie mărimi direct proporționale: graficul trece prin origine.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 7 din 10 · Proprietate
Tăieturile cu axele
Două puncte ale dreptei sunt cele mai comode pentru desen și apar des la examen: cele de pe axe. Hai să le găsim pe amândouă, cu cazurile lor, și cu capcana de la a = 0.
Totul pornește de la Lecția 10. Ce au în comun (0, 4) și (0, −1)? Dar (3, 0) și (−2, 0)? Primele stau pe axa Oy, cu abscisa 0; celelalte pe axa Ox, cu ordonata 0.
Proprietate
pe axa Oy: x = 0
pe axa Ox: y = 0
De aici, metoda: pentru punctul de pe o axă, fixezi la 0 coordonata care trebuie să fie 0 și o afli pe cealaltă. Pe Oy, x = 0, deci calculez f(0), și f(0) e b:
Proprietate
pentru f : ℝ → ℝ:
Gf ∩ Oy = {(0, b)}
Semnul ∩ înseamnă „intersecția”, punctele comune: graficul și axa Oy au exact unul, (0, b), când 0 e în domeniu. Pe Ox, y = 0, adică f(x) = 0: rezolv ecuația ax + b = 0, ca în clasa a VII-a. Înainte să deschizi pașii: împărțirea la a merge mereu? Ce se întâmplă când a = 0?
1
a ≠ 0
x = −b/a: un singur punct, (−b/a, 0)
2
a = 0 și b ≠ 0
f(x) = b, dreaptă orizontală, paralelă cu Ox: nu o taie niciodată
3
a = 0 și b = 0
f(x) = 0: graficul este chiar axa Ox
Exemplu: f(x) = −2x + 4. Spune tu punctul de pe Oy, apoi rezolvă −2x + 4 = 0 pe caiet.
Pe Oy: (0, 4). Pe Ox: 2x = 4, deci x = 2 și punctul A(2, 0); verificare: f(2) = 0 ✓. Două puncte comode pentru desen, fără niciun tabel.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 4 și y între −2 și 6; graficul funcției f(x) = −2x + 4; punctele (0, 4) (0; 4), A(2, 0) (2; 0).
Pe scurt: Pe Oy, x = 0; pe Ox, y = 0. Graficul taie axa Oy în (0, b), dacă 0 este în domeniu. Tăietura cu Ox se află rezolvând ax + b = 0; pentru a ≠ 0, ea este (−b/a, 0).
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 8 din 10 · Proprietate
Triunghiul cu axele
Dacă a ≠ 0 și b ≠ 0, ai A pe Ox, B pe Oy și originea O: trei puncte, un triunghi, dreptunghic în O, pentru că axele sunt perpendiculare. Catetele au lungimile |−b/a| și |b|, numerele fără semn. La dreapta noastră, A(2, 0) și B(0, 4): OA = 2 și OB = 4. Calculează tu aria, apoi compară cu tabla.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 4 și y între −1 și 5; graficul funcției f(x) = −2x + 4; punctele A (2; 0), B (0; 4); un triunghi cu axele.
Ai aria? Catetele sunt chiar OA și OB, deci produsul lor împărțit la 2. Pentru AB, ipotenuza, chemi teorema lui Pitagora din clasa a VII-a:
Proprietate
aria = OA · OB / 2 = 2 · 4 / 2 = 4
AB² = OA² + OB² = 4 + 16 = 20
AB = √20 = 2√5
O precizare pentru ecranul următor: dacă domeniul nu e tot ℝ, punctul (−b/a, 0) e pe grafic doar când numărul −b/a stă în domeniu. Notează-ți, dacă vrei:
Proprietate
cu Oy: x = 0 → (0, b)
cu Ox: f(x) = 0 → ax + b = 0 → (−b/a, 0), a ≠ 0
triunghiul OAB: dreptunghic în O
Autonomia de pe bordul unei mașini, la Micro-noțiunea 2.4: acolo tăietura cu Ox se măsoară în kilometri.
Pe scurt: Când a ≠ 0 și b ≠ 0, dreapta formează cu axele un triunghi dreptunghic în O, cu catetele |−b/a| și |b|.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 9 din 10 · Definiție
Domeniul decide desenul
Ultima idee a noțiunii, și cea pe care o uită cei mai mulți la examen: formula spune pe ce dreaptă stau punctele, domeniul spune care dintre ele sunt în grafic. Aceeași formulă, patru domenii, patru desene diferite: le vezi imediat.
Definiție
Gf = { (x, a · x + b) | x ∈ D }
Citește-o așa: perechile (x, ax + b), dar numai pentru x din D. Ce e în afara domeniului nu aparține graficului, oricât de frumos ar continua dreapta. La noi, în clasa a VIII-a, D e fie o mulțime finită, fie un interval nedegenerat, adică unul cu capete diferite, nu un singur punct.
Păstrăm regula f(x) = −x + 5 și schimbăm doar domeniul. Înainte să te uiți, hotărăște: pe [−1, 3] ce figură iese? Dar pe {0, 1, 3}?
1. D = ℝ: dreaptă
Desen interactiv „D = ℝ: dreaptă”: în planul xOy, cu x între −2 și 7 și y între −2 și 8; graficul funcției f(x) = −x + 5.
2. D = [−1, 3]: segment
Desen interactiv „D = [−1, 3]: segment”: în planul xOy, cu x între −2 și 7 și y între −2 și 8; graficul funcției f(x) = −x + 5, cu domeniul [-1, 3].
3. D = [2, +∞): semidreaptă
Desen interactiv „D = [2, +∞): semidreaptă”: în planul xOy, cu x între −2 și 7 și y între −2 și 8; graficul funcției f(x) = −x + 5, cu domeniul [2, +∞).
4. D = {0, 1, 3}: puncte
Desen interactiv „D = {0, 1, 3}: puncte”: în planul xOy, cu x între −2 și 7 și y între −2 și 8; graficul funcției f(x) = −x + 5, cu domeniul {0, 1, 3}.
Interval mărginit: segment. Interval nemărginit la un singur capăt, ca [2, +∞): semidreaptă. ℝ: dreapta întreagă. Mulțime finită: puncte izolate. Aceeași formulă de patru ori; domeniul a făcut toată diferența.
Pe scurt: Graficul conține doar punctele dreptei cu abscisa în domeniul D; D este un interval nedegenerat (cu capete diferite) sau o mulțime finită. ℝ → dreaptă; interval mărginit → segment; interval nemărginit la un singur capăt → semidreaptă; mulțime finită → puncte.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Teoria noțiunii· Noțiunea 2
Pasul 10 din 10 · Definiție
Capetele și punctele izolate
La un interval contează și capetele, cum știi de la Lecția 2. Pe desen, asta se vede la cerculeț:
Definiție
[ ] → ● capăt inclus
( ) → ○ capăt exclus
Exemplu: f(x) = −x + 5 pe [1, 4). Spune tu, înainte să te uiți: care capăt e mai sus? Cel din stânga, (1, 4), e plin: 1 e în domeniu. Cel din dreapta, (4, 1), e un cerculeț gol: segmentul se apropie oricât de el, dar punctul lipsește, fiindcă 4 nu e în domeniu.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 5 și y între 0 și 6; graficul funcției f(x) = −x + 5, cu domeniul [1, 4).
Și mulțimea finită, cu o situație: să zicem că un bilet de autobuz e 3 lei. Unul, 3 lei; două, 6; trei, 9; patru, 12: costul e f(x) = 3x pe D = {1, 2, 3, 4}. Le unești cu rigla? Punctul (2,5; 7,5) ar însemna două bilete și jumătate, iar șoferul s-ar uita lung la tine. Rămân puncte separate, și așa e corect.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între 0 și 5 și y între 0 și 14; punctele (1, 3) (1; 3), (2, 6) (2; 6), (3, 9) (3; 9), (4, 12) (4; 12).
Ordinea corectă e mereu aceeași: întâi te uiți la domeniu, pe urmă desenezi. Esența: