Noțiunea 3 · Exercițiile noțiunii · Lecția 11

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiile noțiunii 3

Lecturi grafice și funcția din condiții

63 exerciții, de la ușor la greu, nivel cu nivel. La prima parcurgere îți recomand drumul complet, micro-noțiune cu micro-noțiune: acolo exersezi pe loc fiecare idee.

Sari direct la exercițiile unei micro-noțiuni:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.1 · 1 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Nu rezolva încă nimic, doar scrie ecuațiile. E primul pas al metodei, exersat separat.

Cerință3.1.1 Centura albă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin punctele A(0, 2) și B(1, 5). Scrie cele două ecuații în a și b pe care le obții punând, pentru fiecare punct, condiția de apartenență la grafic.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 4 și y între -3 și 8; 2 puncte marcate.

1Un punct e pe grafic când coordonatele lui verifică formula: abscisa în locul lui x, ordonata în locul lui f(x).

2Pentru A, x = 0 și f(x) = 2. Scrie a · 0 + b = 2 și simplific-o.

3Pentru B, x = 1 și f(x) = 5. Fiecare punct dă propria lui ecuație; nu le amesteca.

răspunsul tău:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.2 · 2 din 63 · 3.1 ☆☆☆

O întrebare scurtă, care verifică dacă ai înțeles ce înseamnă „funcție”. Răspunsul vine din definiție, nu din calcul.

Cerință3.1.2 Centura albă

Există o funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, pentru care f(1) = 2 și f(1) = 5? Justifică.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 4 și y între -1 și 7; 2 puncte marcate.

1Câte valori poate avea o funcție pentru un același x? Gândește-te la diagrama cu săgeți din Lecția 10.

2Dacă ai încerca sistemul: a + b = 2 și a + b = 5. Se poate ca aceeași sumă să fie și 2, și 5?

3Pe desen, punctele (1, 2) și (1, 5) stau unul deasupra celuilalt. Ce fel de dreaptă ar trece prin ele? E ea graficul unei funcții?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.1 · 3 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Graficul e deja desenat. Tot ce ai de făcut e să citești, fără nicio formulă.

Cerință3.2.1 Centura albă

În planul xOy este desenat graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ. Graficul este un segment pe care sunt marcate punctele A, C, D și B. Citind de pe grafic, precizează valorile f(0), f(2) și f(4).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1Fiecare punct marcat e o pereche (x, f(x)). Caută punctul care are abscisa cerută.

2f(0): care dintre punctele marcate are abscisa 0? A doua lui coordonată e răspunsul.

3f(4): punctul cu abscisa 4 e sub axa Ox. Ce semn are valoarea?

a) f(0) =

b) f(2) =

c) f(4) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.2 · 4 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Două citiri: valoarea de la capătul stâng și locul în care graficul atinge axa Ox.

Cerință3.2.2 Centura albă

În planul xOy este desenat graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ, un segment pe care sunt marcate punctele A, C, D și B. Citind de pe grafic, precizează: a) valoarea f(−3); b) abscisa punctului în care graficul taie axa Ox.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1La a), caută punctul marcat cu abscisa −3 și citește-i a doua coordonată.

2La b), un punct de pe Ox are ordonata 0. Care dintre punctele marcate are a doua coordonată 0?

3Răspunsul la b) e abscisa acelui punct, adică prima lui coordonată.

a) f(−3) =

b) abscisa punctului de pe Ox:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.3 · 5 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Nu calcula: un punct marcat pe segment îți dă direct răspunsul.

Cerință3.2.3 Centura albă

În planul xOy, graficul funcției f : [0, 5] → ℝ este segmentul cu capetele P și Q, iar pe segment este marcat și punctul R, de abscisă 3. Citind de pe grafic, valoarea f(3) este egală cu:

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -1 și 8; 3 puncte marcate.

1Un punct de pe grafic e o pereche (x, f(x)). Caută perechea care începe cu 3.

2Ai găsit punctul R, deasupra lui 3. Care dintre cele două coordonate ale lui e valoarea funcției?

3Valoarea se citește pe axa Oy, nu pe axa Ox.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.1 · 6 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Abscisa e deja dată, deci ai făcut deja jumătate din drum. Mai rămâne ordonata.

Cerință3.3.1 Centura albă

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2 și g(x) = x + 4, se intersectează într-un punct A de abscisă 3. Calculează ordonata punctului A.

1A e pe graficul lui f. Ce știi despre ordonata unui punct de pe grafic, dacă îi cunoști abscisa?

2Pune 3 în f. Apoi, ca verificare, pune 3 și în g: trebuie să iasă același număr.

3Dacă în f și în g iese altceva, s-a strecurat o greșeală de calcul; punctul comun are o singură ordonată.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.2 · 7 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Un punct e comun celor două grafice dacă verifică ambele formule. Nu rezolvi nimic: doar verifici.

Cerință3.3.2 Centura albă

Este punctul (1, 4) punctul comun al graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 1 și g(x) = −x + 5? Justifică răspunsul.

1Două teste, câte unul pentru fiecare funcție: pune 1 în locul lui x și compară cu 4.

2f(1) = 3 · 1 + 1. Cât iese? E 4?

3Dacă ambele teste dau 4, punctul e pe ambele grafice, adică e comun.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.3 · 8 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Nu calcula nimic: alege doar ecuația potrivită. Asta e toată ideea metodei.

Cerință3.3.3 Centura albă

Pentru a afla abscisa punctului în care se intersectează graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 2 și g(x) = 3x + 4, se rezolvă ecuația:

1Ce au în comun cele două grafice în punctul în care se taie: abscisa, ordonata sau amândouă?

2Dacă ordonata e aceeași, atunci f(x) = g(x). Scrie asta cu formulele date.

3Variantele B și C caută altceva: punctul în care fiecare dreaptă taie axa Ox.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.1 · 9 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Întrebare de gândire: dacă toate trei sunt pe același grafic, ce știi despre ele?

Cerință3.4.1 Centura albă

Punctele A(1, 5), B(3, 9) și C(6, 15) aparțin toate graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3. Sunt cele trei puncte coliniare? Justifică răspunsul.

1Ce figură e graficul unei funcții de forma ax + b, cu domeniul ℝ?

2Dacă trei puncte stau pe aceeași dreaptă, cum se numesc?

3Nu ai nevoie de calcule: enunțul ți-a spus deja că toate trei sunt pe grafic.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.2 · 10 din 63 · 3.4 ☆☆☆

O întrebare despre metodă, nu despre calcul: cu ce începi?

Cerință3.4.2 Centura albă

Pentru a verifica dacă punctele A(−1, 0), B(1, 4) și C(4, 10) sunt coliniare, primul pas corect este:

1Câte puncte îți trebuie ca să fixezi o dreaptă? Restul sunt de verificat.

2Varianta D cere o funcție prin toate trei; dar dacă punctele nu sunt coliniare, o astfel de funcție nu există. Cu ce ai începe atunci?

3Ordonatele pot crește și când punctele nu sunt aliniate. Deci varianta C nu dovedește nimic.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.3 · 11 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Dreapta prin A și B e graficul unei funcții pe care o ai deja. Al treilea punct e coliniar cu ele dacă îi verifică formula.

Cerință3.4.3 Centura albă

Punctele A(0, −2) și B(1, 1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. Care dintre punctele de mai jos este coliniar cu A și B?

1Dreapta AB e deja cunoscută: e graficul lui f. Un punct e pe ea dacă îi verifică formula.

2Pentru fiecare variantă, pune abscisa în f și compară cu ordonata.

3La (−1, −4): f(−1) = 3 · (−1) − 2. Pune −1 în paranteze.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.3 · 12 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Două condiții, niciuna în 0: scrii sistemul, afli a și b, apoi cauți perechea potrivită printre cele patru variante.

Cerință3.1.3 Centura galbenă

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, îndeplinește condițiile f(1) = 2 și f(−2) = 11. Atunci:

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -4 și 3 și y între -2 și 13; 2 puncte marcate.

1Fiecare condiție e un punct de pe grafic: (1, 2) și (−2, 11). Scrie câte o ecuație pentru fiecare.

2Ai a + b = 2 și −2a + b = 11. Scade-le: b dispare și rămâne a.

3Ai a? Pune-l în a + b = 2 și află b. La final, verifică perechea aleasă în amândouă condițiile.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.4 · 13 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Două valori date, o funcție de aflat. Una dintre ele îți dă b pe loc. Care?

Cerință3.1.4 Centura galbenă

Determină funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, știind că f(0) = 3 și f(2) = 7.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 5 și y între -2 și 10; 2 puncte marcate.

1Care dintre cele două condiții are x = 0? Ea îți dă unul dintre coeficienți fără niciun calcul.

2Cu b = 3, condiția f(2) = 7 devine 2a + 3 = 7.

3Cerința e funcția completă, nu doar a. Scrie f(x) = … și verifică ambele condiții.

f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.5 · 14 din 63 · 3.1 ☆☆☆

O condiție îți dă b pe loc, fără niciun calcul: cea cu punctul de pe Oy. Cu b aflat, cealaltă îți dă a.

Cerință3.1.5 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, intersectează axa Oy în punctul (0, −2) și trece prin punctul (1, 3). Determină numerele a și b.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 3 și y între -4 și 6; 2 puncte marcate.

1Punctul de pe Oy are abscisa 0. Ce îți spune ordonata lui despre formulă?

2Cu b = −2, pune punctul (1, 3) în formulă: a · 1 − 2 = 3.

3La a − 2 = 3, termenul −2 trece dincolo ca +2.

a) a =

b) b =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.6 · 15 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Același drum ca în lecție, cu alte două puncte. De data asta îl parcurgi tu, cap-coadă: două ecuații, un sistem.

Cerință3.1.6 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin punctele A(2, 3) și B(4, 11). Determină numerele a și b.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 6 și y între -8 și 14; 2 puncte marcate.

1Fiecare punct dă o ecuație: abscisa în locul lui x, ordonata în dreapta. Scrie-le pe amândouă.

2Ai 2a + b = 3 și 4a + b = 11. Ce se întâmplă cu b dacă scazi prima ecuație din a doua?

3După ce ai a, pune-l în 2a + b = 3 și află b; iese negativ. Verifică la final cu ambele puncte.

a) a =

b) b =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.7 · 16 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Puncte cu coordonate negative, dar metoda e aceeași: două ecuații, un sistem. Uită-te la coeficienții lui a din cele două ecuații înainte să alegi ce faci cu ele.

Cerință3.1.7 Centura galbenă

Punctele A(−2, 7) și B(2, −1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Determină funcția f.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -4 și 4 și y între -4 și 10; 2 puncte marcate.

1Scrie câte o ecuație pentru fiecare punct. La A, abscisa e −2: a · (−2) + b = 7.

2Uită-te la termenii cu a din cele două ecuații: −2a și 2a. Ce operație îi face să dispară?

3După ce ai b, pune-l într-una dintre ecuații ca să afli a. Verifică la final cu ambele puncte.

f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.8 · 17 din 63 · 3.1 ☆☆☆

O condiție e dată printr-o valoare, cealaltă prin punctul în care graficul taie axa Oy. Tradu-o pe a doua în limbajul formulei: cât e b?

Cerință3.1.8 Centura galbenă

Determină funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, știind că f(1) = 4 și că graficul ei intersectează axa Oy în punctul (0, −1).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 3 și y între -4 și 8; 2 puncte marcate.

1Punctul de pe Oy are abscisa 0. Care dintre a și b e ordonata lui?

2Cu b = −1, condiția f(1) = 4 devine a − 1 = 4.

3Atenție la semn când treci −1 dincolo: devine +1.

f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.9 · 18 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Știi unde taie dreapta ambele axe. E suficient ca s-o afli complet.

Cerință3.1.9 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, taie axa Ox în punctul (5, 0) și axa Oy în punctul (0, −10). Determină funcția f.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 7 și y între -12 și 4; 2 puncte marcate.

1Care dintre cele două puncte îți dă b direct? Cel cu abscisa 0.

2Cu b = −10, pune punctul (5, 0) în formulă: 5a − 10 = 0.

3Dreapta urcă (pleacă de la −10 pe Oy și ajunge la 0 la x = 5). Ce semn aștepți pentru a?

f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.4 · 19 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Din desen poți citi nu doar valori, ci și semnele coeficienților. Uită-te unde taie dreapta axa Oy și încotro merge.

Cerință3.2.4 Centura galbenă

În desen este graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Ce semne au a și b?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 8 și y între -2 și 6; graficul unei funcții.

1Două lucruri de citit pe desen: unde taie dreapta axa Oy și dacă urcă sau coboară.

2Punctul de pe Oy e deasupra sau dedesubtul originii? Asta e semnul lui b.

3Mergi cu ochii de la stânga la dreapta pe dreaptă: urci sau cobori? Asta e semnul lui a.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.5 · 20 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Acum citești un semn, nu o valoare: unde e segmentul deasupra axei Ox?

Cerință3.2.5 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ este segmentul pe care sunt marcate punctele A(−3, 5), C(0, 2), D(2, 0) și B(4, −2). Determină, citind de pe grafic, valorile lui x din domeniu pentru care f(x) > 0.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1f(x) > 0 înseamnă „graficul e deasupra axei Ox”. Uită-te unde e segmentul deasupra.

2Segmentul trece de pe o parte pe cealaltă a axei Ox într-un singur punct marcat. Care?

3Nu uita capetele: domeniul începe la −3 (inclus), iar la 2 valoarea e 0, nu mai mare decât 0.

intervalul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.6 · 21 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Urmărește segmentul de la stânga la dreapta, ca pe o potecă: urcă sau coboară?

Cerință3.2.6 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ este segmentul cu capetele A(−3, 5) și B(4, −2). a) Ce se întâmplă cu valorile funcției atunci când x crește de la −3 la 4? b) Precizează cea mai mare valoare luată de funcție. c) Precizează cea mai mică valoare luată de funcție.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 2 puncte marcate.

1Pune degetul pe A și mergi spre B. Degetul urcă sau coboară?

2Dacă segmentul coboară, unde e punctul cel mai înalt: la stânga sau la dreapta?

3Cea mai mare și cea mai mică valoare sunt ordonatele capetelor, nu abscisele lor.

a) ce fac valorile când x crește:

b) cea mai mare valoare:

c) cea mai mică valoare:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.7 · 22 din 63 · 3.2 ☆☆☆

O ecuație și o inecuație rezolvate doar din privire: una pe orizontală, cealaltă după semn.

Cerință3.2.7 Centura galbenă

Se folosește graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ, segmentul pe care sunt marcate punctele A(−3, 5), C(0, 2), D(2, 0) și B(4, −2). Rezolvă, citind de pe grafic: a) ecuația f(x) = 2; b) inecuația f(x) < 0.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1La a), pornești de pe axa Oy, de la 2, și mergi orizontal până lovești segmentul. Apoi cobori pe Ox.

2La b), f(x) < 0 înseamnă „graficul e sub axa Ox”. De unde până unde e sub ea?

3Capetele: la 2 valoarea e exact 0, deci nu intră; la 4 domeniul se termină și valoarea e negativă, deci intră.

a) soluția ecuației f(x) = 2:

b) soluțiile inecuației f(x) < 0:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.8 · 23 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Două lucruri: formula scoasă din desen și o verificare tot pe desen. Dacă se potrivesc, ai lucrat bine.

Cerință3.2.8 Centura galbenă

Graficul funcției f : [0, 5] → ℝ este segmentul cu capetele P(0, 1) și Q(5, 6). a) Determină formula funcției. b) Verifică rezultatul citind de pe grafic valoarea f(3), știind că pe segment este marcat și punctul (3, 4).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -1 și 8; 3 puncte marcate.

1Unul dintre capete e pe axa Oy. Ce coeficient îți dă?

2Cu b = 1, pune celălalt capăt în formulă: 5a + 1 = 6.

3La b), compară două lucruri: ce dă formula în 3 și ce arată punctul marcat (3, 4).

a) f(x) =

b) f(3) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.9 · 24 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Graficul din desen nu e o linie, ci câteva puncte separate. Ce poți afla despre funcție doar privindu-le?

Cerință3.2.9 Centura galbenă

În desen este graficul unei funcții f definite pe o mulțime finită, cu legea de forma f(x) = ax + b. Graficul are punctele (−1, −3), (0, −1), (1, 1) și (2, 3). a) Scrie domeniul funcției. b) Scrie legea funcției.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 4 și y între -5 și 5; 4 puncte marcate.

1Domeniul e mulțimea numerelor de la care pleacă săgețile, adică abscisele punctelor.

2Punctul cu abscisa 0 îți dă b. Apoi uită-te cu cât urcă ordonata de la un punct la următorul.

3Verifică formula pe toate cele patru puncte, nu doar pe două.

a) D =

b) f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.10 · 25 din 63 · 3.2 ☆☆☆

Reamintire din clasa a VII-a: un grafic cu linii, cum vezi la știri la vreme. Nu e o dreaptă, dar se citește exact la fel: urci din oră până la linie, apoi mergi la stânga și citești gradele.

Cerință3.2.10 Centura galbenă

În desen este graficul temperaturii dintr-o zi de primăvară, un grafic cu linii (o linie frântă): la orele 6, 9, 12, 15 și 18 s-au înregistrat 4, 8, 14, 13 și, respectiv, 8 grade Celsius, iar punctele vecine sunt unite cu segmente. a) Ce temperatură era la ora 12? b) Între care două ore consecutive de măsurare a crescut temperatura cel mai mult? c) La ce ore de măsurare temperatura a fost de 8 grade?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 4 și 20 și y între 0 și 16; 5 puncte marcate.

1La a), pornește de la ora 12 pe axa orizontală, urcă până la linie și citește pe axa verticală.

2La b), compară segmentele care urcă: care e cel mai abrupt? Poți și să scazi temperaturile vecine.

3La c), trage o linie orizontală la 8 grade. Prin câte puncte marcate trece?

a) temperatura la ora 12 (°C):

b) între care ore a crescut cel mai mult:

c) la ce ore era 8 °C:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.4 · 26 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Același calcul ca în lecție, cu alte două drepte. De data asta e al tău. Nu te opri la x.

Cerință3.3.4 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 5. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează cele două formule: în punctul comun, f(x) = g(x).

2Adună termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă; schimbă semnul la ce treci dincolo.

3Ai aflat x. Un punct are două coordonate: pune x într-una dintre funcții și află y.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.5 · 27 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Aici vezi legătura cu sistemele din clasa a VII-a: punctul comun e chiar soluția sistemului.

Cerință3.3.5 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 și g(x) = x − 4. a) Determină punctul comun al graficelor. b) Scrie sistemul de două ecuații cu două necunoscute a cărui soluție este dată de coordonatele acestui punct.

1La a), egalează formulele și rezolvă. Atenție: iese un x negativ.

2Ai aflat x? E negativ; pune-l, cu paranteze, într-una dintre formule ca să afli ordonata.

3La b), fiecare funcție se scrie ca o ecuație în x și y: y = f(x) și y = g(x). Puse una sub alta, dau sistemul.

a) punctul comun:

b) sistemul de ecuații:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.6 · 28 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Afli punctul comun, apoi îl verifici în ambele formule. Dacă iese în amândouă, nu ai cum să greșești.

Cerință3.3.6 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 3 și g(x) = −2x + 9. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții și verifică rezultatul în ambele formule.

1Egalează formulele: x + 3 = −2x + 9. Termenul −2x trece dincolo ca +2x.

2Ai x = 2? Pune-l în f și află y.

3Verificarea cere să pui x = 2 și în g. Trebuie să iasă același y.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.7 · 29 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Sistemele de două ecuații din clasa a VII-a au acum și o imagine: fiecare ecuație e o dreaptă, iar soluția e locul în care se întâlnesc.

Cerință3.3.7 Centura galbenă

Rezolvă sistemul { y = 2x − 3 ; y = −x + 6 } și interpretează geometric soluția.

1Amândouă ecuațiile îl dau pe y. Ce obții dacă egalezi cele două expresii?

2Rezolvă 2x − 3 = −x + 6, apoi află y din oricare ecuație.

3Fiecare ecuație e graficul unei funcții. Ce reprezintă atunci perechea (x, y) pe desen?

a) x =

b) y =

c) interpretarea geometrică:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.8 · 30 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Una dintre funcții trece prin origine, pentru că nu are termen liber. Nu schimbă nimic la metodă.

Cerință3.3.8 Centura galbenă

Determină, prin rezolvarea unei ecuații, coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x/5 și g(x) = −2x + 12.

1Egalează: 2x/5 = −2x + 12. Fracția te încurcă? Înmulțește toată egalitatea cu 5.

2După înmulțire: 2x = −10x + 60. Adu termenii cu x în stânga.

3Ai aflat x? Pune-l în f, care e mai simplă, și află ordonata; apoi verifică și cu g.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.9 · 31 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Uneori poți răspunde fără niciun calcul, doar privind formulele. Uită-te la coeficienții lui x.

Cerință3.3.9 Centura galbenă

Fără să rezolvi sistemul, precizează câte puncte comune au graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 și g(x) = 2x − 4. Ce înseamnă acest lucru pentru sistemul { y = 2x + 1 ; y = 2x − 4 }?

1Ce au la fel cele două formule? Ce înseamnă asta pentru direcția celor două drepte?

2Două drepte cu aceeași direcție, dar care pleacă din puncte diferite de pe Oy: se întâlnesc vreodată?

3Dacă ai încerca ecuația 2x + 1 = 2x − 4, ce ar rămâne după ce scazi 2x din ambele părți?

a) numărul de puncte comune:

b) ce înseamnă pentru sistem:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.10 · 32 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Două grafice în același desen. Fără niciun calcul, desenul îți spune unde se întâlnesc și când una dintre funcții e mai mică decât cealaltă.

Cerință3.3.10 Centura galbenă

În desen sunt graficele funcțiilor f, g : [0, 6] → ℝ, f(x) = x + 1 și g(x) = −x + 5. Citind de pe grafic: a) scrie coordonatele punctului comun; b) scrie mulțimea valorilor lui x pentru care f(x) < g(x).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -2 și 8; graficele a 2 funcții.

1La a), uită-te unde se taie cele două drepte și citește coordonatele; apoi verifică-le în ambele formule.

2La b), f(x) < g(x) înseamnă „dreapta lui f e sub dreapta lui g”. Pe care parte a punctului comun se întâmplă asta?

3Nu uita domeniul [0, 6] și faptul că în punctul comun valorile sunt egale, nu mai mici.

a) punctul comun:

b) f(x) < g(x) pentru x ∈

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.11 · 33 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Trei drepte. Afli unde se întâlnesc primele două, apoi verifici dacă trece și a treia pe acolo.

Cerință3.3.11 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4, g(x) = x + 2 și h(x) = 2x − 1. a) Determină abscisa punctului A de intersecție a graficelor funcțiilor f și g. b) Determină ordonata punctului A. c) Arată că punctul A aparține și graficului funcției h.

1La a), lucrezi doar cu f și g: egalează-le și rezolvă.

2Ai x = 3? Ordonata o iei din f sau din g; trebuie să iasă la fel.

3La c), nu rezolvi nimic nou: pune abscisa lui A în h și compară cu ordonata lui A.

a) abscisa lui A:

b) ordonata lui A:

c) arată, prin calcul, că A e și pe graficul lui h:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.3.12 · 34 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Încă o intersecție, cu un coeficient negativ. Egalezi, rezolvi, calculezi ordonata.

Cerință3.3.12 Centura galbenă

Se dau funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5 și g(x) = −2x + 10. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează formulele. Termenul −2x trece în stânga ca +2x, iar −5 trece în dreapta ca +5.

2După grupare, în stânga rămân toți termenii cu x, în dreapta un singur număr. Câți x ai în stânga și ce număr ai în dreapta? Împarte apoi la coeficientul lui x și află ordonata.

3Verifică ordonata în ambele formule: dacă diferă, revezi calculul.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.4 · 35 din 63 · 3.4 ☆☆☆

La examen pot fi și patru puncte, nu doar trei. Aici sunt patru, iar unul strică alinierea; găsește-l.

Cerință3.4.4 Centura galbenă

Se consideră punctele A(0, 1), B(1, 3), C(3, 7) și D(4, 10). Dintre ele, trei sunt coliniare, iar unul nu se află pe dreapta celorlalte trei. Care este acest punct?

1Alege două puncte și află dreapta prin ele. A are abscisa 0, deci îți dă b pe loc.

2Cu f(x) = 2x + 1, testează C și D. Care nu verifică?

3Dacă intrusul ar fi A sau B, dreapta prin C și D ar trebui să treacă prin celălalt. Verifică și așa, dacă vrei să fii sigur.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.5 · 36 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Trei puncte, ca în teoria noțiunii, dar cu alte numere. Acum faci tu tot testul, pas cu pas.

Cerință3.4.5 Centura galbenă

Verifică dacă punctele A(−1, −1), B(1, 3) și C(3, 7) sunt coliniare.

1Fixează dreapta din două puncte: scrie câte o ecuație pentru A și pentru B.

2−a + b = −1 și a + b = 3: adună-le și b iese imediat.

3Ai dreapta prin A și B. Pune abscisa lui C în formula ei și compară rezultatul cu ordonata lui C.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.6 · 37 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Aceeași întrebare, alte puncte. Scoate funcția din primele două, apoi fă proba cu al treilea.

Cerință3.4.6 Centura galbenă

Verifică dacă punctele M(0, 2), N(2, 6) și P(5, 11) sunt coliniare.

1M are abscisa 0: îți dă b direct. Apoi N îți dă a.

2Cu formula găsită din M și N, calculează valoarea în 5 și compară cu 11.

3Calculează f(5) cu formula găsită din M și N, apoi compară exact numerele: valoarea obținută și ordonata lui P. Coliniaritatea cere egalitate, nu „aproape”.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.7 · 38 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Test de coliniaritate în care a nu iese număr întreg. Nu te speria de fracții.

Cerință3.4.7 Centura galbenă

Verifică dacă punctele A(−2, 1), B(0, 4) și C(4, 10) sunt coliniare.

1B are abscisa 0, deci b = 4 fără calcul. Folosește-l pe A ca să afli a.

2Din A: −2a + 4 = 1. Trece 4 dincolo, cu semnul schimbat, apoi împarte. Nu te opri dacă a nu iese număr întreg: aici așa trebuie să fie.

3Testează C: pune 4 în formula găsită și compară rezultatul cu ordonata lui C.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.8 · 39 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Afli dreapta prin A și B, apoi pui x = 3 ca să afli cât trebuie să fie m.

Cerință3.4.8 Centura galbenă

Determină numărul real m pentru care punctele A(−1, 2), B(1, 6) și C(3, m) sunt coliniare.

1C are ordonata necunoscută, deci dreapta o fixezi din A și B.

2−a + b = 2 și a + b = 6: adună-le ca să-l afli pe b.

3C e pe dreaptă exact când m = f(3), unde f e formula găsită din A și B.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.4.9 · 40 din 63 · 3.4 ☆☆☆

Al treilea punct are abscisa necunoscută, nu ordonata. Tot din condiția de a fi pe dreaptă o afli.

Cerință3.4.9 Centura galbenă

Determină numărul real m pentru care punctele A(1, 3), B(3, 7) și C(m, 13) sunt coliniare.

1Fixează dreapta din A și B; C intră abia la final.

2Ai a + b = 3 și 3a + b = 7. Scade-le și află a.

3C e pe dreaptă când f(m) = 13, cu formula ta pentru f: o ecuație în m.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 · 41 din 63 · 3.1 ☆☆☆

O afirmație care sună a adevăr. Verific-o cu ce știi despre drumul de la puncte la formulă și, dacă pică, arată-mi cu ce puncte pică.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 Centura galbenă

Este adevărată afirmația: „Prin orice două puncte distincte din planul xOy trece graficul unei funcții de forma f(x) = ax + b”? Răspunde cu da sau nu și justifică printr-un exemplu sau printr-un contraexemplu.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 5 și y între -1 și 7; 2 puncte marcate.

1Gândește-te la ecranul „De ce abscise diferite”. Ce se întâmplă cu sistemul când cele două puncte au aceeași abscisă?

2Alege două puncte unul deasupra celuilalt, de exemplu cu abscisa 2 amândouă. Ce ar trebui să fie f(2)?

3O dreaptă verticală: e ea graficul vreunei funcții? Câte valori ar avea funcția în acel x?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 · 42 din 63 · 3.2 ☆☆☆

De la desen la formulă și înapoi la desen: citești o valoare, scoți formula din două puncte, apoi verifici un al treilea punct. Toată noțiunea, într-un exercițiu.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−1, 3] → ℝ este segmentul cu capetele P(−1, −1) și Q(3, 7); pe segment este marcat și punctul (1, 3). a) Citește de pe grafic f(1). b) Determină formula funcției. c) Este punctul R(5, 11) coliniar cu P și Q?

1La a), e un punct marcat chiar la abscisa 1. Citește-l.

2La b), capetele P și Q sunt două puncte cu abscise diferite: scrie sistemul și rezolvă-l. Verifică apoi cu punctul de la a).

3La c), pune abscisa lui R în formula dreptei PQ și compară cu ordonata lui. Întrebarea e despre dreaptă, nu despre segment.

a) f(1) =

b) f(x) =

c) R coliniar cu P și Q? (da / nu)

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 · 43 din 63 · 3.3 ☆☆☆

Trei puncte îți dau o dreaptă, o a doua dreaptă e dată prin formulă. Unde se întâlnesc și de unde încolo una dă valori mai mari decât cealaltă: ultimele două întrebări ale noțiunii.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 Centura galbenă

Punctele A(0, 1), B(2, 5) și C(4, 9) se află pe graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, iar g : ℝ → ℝ, g(x) = −x + 7. a) Determină funcția f. b) Determină punctul comun al graficelor lui f și g. c) Pentru ce valori ale lui x este g(x) > f(x)? (Pe desen: unde stă graficul lui g deasupra graficului lui f.)

1La a), A e pe Oy: b = 1 fără calcul. Folosește B pentru a și C ca verificare.

2La b), egalează formulele. Nu te mira dacă punctul comun e unul dintre punctele date.

3La c), alege un x la stânga punctului comun și compară f și g; apoi unul la dreapta.

a) f(x) =

b) punctul comun:

c) g(x) > f(x) pentru x ∈

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.1.10 · 44 din 63 · 3.1 ☆☆☆

Problema celor două bonuri de taxi, dar la un atelier de reparații: nu știi tariful, ai doar două facturi.

Cerință3.1.10 Centura verde

Un atelier de reparații cere o taxă fixă de deplasare, la care adaugă o sumă fixă pentru fiecare oră de lucru. Pentru o intervenție de 2 ore s-au plătit 190 de lei, iar pentru una de 5 ore s-au plătit 385 de lei. Suma de plată pentru x ore de lucru este f(x) = ax + b. a) Determină numărul a. b) Determină numărul b. c) Calculează suma de plată pentru o intervenție de 3 ore.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 0 și 8 și y între 0 și 600; 2 puncte marcate.

1Fiecare factură e o pereche (ore, lei), adică un punct de pe grafic. Scrie condiția de apartenență pentru fiecare.

2Ai 2a + b = 190 și 5a + b = 385. Taxa de deplasare, b, apare o singură dată în fiecare: scade ecuațiile și dispare.

3Diferența dintre facturi, 195 lei, s-a plătit pentru 3 ore în plus. Cât costă o oră?

a) a, lei pe oră:

b) b, taxa de deplasare (lei):

c) costul pentru 3 ore (lei):

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Exercițiul 3.2.11 · 45 din 63 · 3.2 ☆☆☆

În sere, aparatele înregistrează temperatura toată noaptea, ca să se știe când trebuie pornită încălzirea. Unele răspunsuri le citești direct de pe grafic. Pentru cel care nu e marcat, afli întâi formula din două puncte.

Cerință3.2.11 Centura verde

Într-o seră, un aparat înregistrează temperatura și o afișează pe un grafic. Graficul temperaturii, în grade Celsius, după x ore de la ora 20:00, este un segment pe care sunt marcate punctele (0, 18), (2, 15) și (6, 9), pentru x ∈ [0, 6]. a) Citește de pe grafic temperatura după 2 ore. b) După câte ore temperatura ajunge la 12 grade? c) Cu câte grade scade temperatura în cele 6 ore?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 0 și 7 și y între 0 și 20; 3 puncte marcate.

1La a), e un punct marcat cu abscisa 2. Citește-i a doua coordonată.

2La b), 12 grade nu e marcat. Află formula dreptei din două puncte marcate, apoi rezolvă f(x) = 12.

3La c), nu răspunzi cu temperatura finală, ci cu cât a scăzut: de la cât la cât?

a) temperatura după 2 ore (°C):

b) după câte ore ajunge la 12 °C:

c) cu câte grade scade în 6 ore:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivelul 3 din 6

Centura verde

Subiectul III de la Evaluarea Națională.

Probleme care cer raționament, nu doar calcul.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 46 din 63

Centura verde

Triunghiul prins între două drepte și axa Oy

Două drepte pleacă din puncte diferite ale axei Oy și se întâlnesc mai departe. Împreună cu axa Oy închid un triunghi. Uită-te pe desen înainte să calculezi și ghicește ce fel de triunghi e: ascuțit, drept, turtit? Apoi îi afli vârfurile, aria și forma, doar cu grafice și cu teorema lui Pitagora.

Ideea problemei: Latura de pe axa Oy este baza. Înălțimea corespunzătoare ei e distanța de la al treilea vârf la axa Oy, adică abscisa lui.

CerințăProblema 46 din 63 Centura verde

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x − 1 și g(x) = −x + 7. Graficele lor intersectează axa Oy în punctele B, respectiv C, iar între ele se intersectează în punctul A. a) Determină coordonatele punctelor A, B și C. b) Calculează aria triunghiului ABC. c) Arată că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

Experimentează pe grafic

Trage de k, coeficientul lui x din g(x) = kx + 7, și urmărește cum se mută A și cum se schimbă înălțimea triunghiului. Baza BC stă pe Oy; aria o calculezi tu. Pentru k = −1 obții triunghiul din problemă.

Laborator interactiv: Trage de k, coeficientul lui x din g(x) = kx + 7, și urmărește cum se mută A și cum se schimbă înălțimea triunghiului. Baza BC stă pe Oy; aria o calculezi tu. Pentru k = −1 obții triunghiul din problemă.

1A: egalezi f(x) = g(x). B și C: calculezi f(0) și g(0).

2Latura BC stă pe axa Oy. Înălțimea din A pe BC este distanța de la A la axa Oy, adică abscisa lui A.

3Calculează AB și AC cu teorema lui Pitagora, din diferențele de coordonate, apoi compară AB² + AC² cu BC².

a) abscisa lui A:

a) ordonata lui A:

a) ordonata lui B (de pe Oy):

a) ordonata lui C (de pe Oy):

b) aria triunghiului ABC:

c) AB = AC =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 47 din 63

Centura verde

Aceeași formulă, alt m la fiecare cerință

Uneori formula funcției mai are o literă, m, pe care trebuie s-o afli tu. Nu te speria de ea: fiecare condiție din problemă devine o ecuație în m, iar traducerea condițiilor o știi de la micro-noțiunea 2.2 și micro-noțiunea 3.3. Mută m pe desen și uită-te cum se rotește și se mută dreapta; pentru ce m crezi că trece prin (2, 10)?

Ideea problemei: Fiecare cerință se traduce într-o ecuație: „f(2) = 10”, „punct cu abscisa egală cu ordonata” și „drepte paralele” au fiecare traducerea ei.

CerințăProblema 47 din 63 Centura verde

Pentru fiecare număr real m se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (3m − 1)x + 2m + 4. a) Determină m pentru care f(2) = 10. b) Pentru valoarea lui m găsită la a), determină punctul graficului care are abscisa egală cu ordonata. c) Determină m pentru care graficul lui f este paralel cu graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = −4x + 1.

Experimentează pe grafic

Mișcă m și urmărește dreapta. Pentru ce m trece prin punctul (2, 10)?

Laborator interactiv: Mișcă m și urmărește dreapta. Pentru ce m trece prin punctul (2, 10)?

1f(2) = 10 înseamnă: pui x = 2 în formulă și obții o ecuație în m.

2Un punct cu abscisa egală cu ordonata are forma (t, t). Scrie că este pe grafic: f(t) = t.

3Două drepte sunt paralele când au același coeficient al lui x și termeni liberi diferiți (micro-noțiunea 3.3). Verifică și termenul liber, nu doar pe a.

a) m =

b) punctul are abscisa:

b) și ordonata:

c) m =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 48 din 63

Centura verde

Cea mai mare și cea mai mică valoare

Pe un segment, dreapta merge mereu în același sens, deci cea mai mare și cea mai mică valoare stau la capete (micro-noțiunea 3.2). Dar care capăt e sus și care e jos? Asta nu ți-o spune nimeni, așa că trebuie să te gândești la ambele posibilități. Reglează a și b pe desen și încearcă să prinzi un segment care merge exact de la −1 la 7: câte feluri găsești?

Ideea problemei: Valorile extreme sunt f(−1) și f(3). Ordinea lor depinde de semnul lui a, deci ai două cazuri, fiecare cu sistemul lui.

CerințăProblema 48 din 63 Centura verde

Funcția f : [−1, 3] → ℝ, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, are cea mai mică valoare egală cu −1 și cea mai mare valoare egală cu 7. Determină toate funcțiile f cu această proprietate.

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Caută segmentele care merg exact de la −1 la 7.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Caută segmentele care merg exact de la −1 la 7.

1Pe un segment, valorile extreme sunt la capete, în x = −1 și în x = 3.

2Dacă a > 0, dreapta urcă: f(−1) = −1 și f(3) = 7. Dacă a < 0, este invers.

3În fiecare caz ai un sistem de două ecuații în a și b, ca la micro-noțiunea 3.1.

a) funcția cu a > 0: f(x) =

b) funcția cu a < 0: f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 49 din 63

Centura verde

Ce valori ia funcția pe un interval

Pe un interval, desenul funcției e un segment, iar capetele lui îți spun aproape tot: între ce valori stă f(x), câte colțuri de pătrățel atinge desenul și unde stă el deasupra unei linii orizontale. Pe desen mută linia y = k și uită-te care puncte rămân deasupra ei. Înainte să calculezi, ghicește: cea mai mare valoare e în capătul din stânga sau din dreapta?

Ideea problemei: Dreapta coboară, deci valorile merg de la f(4) până la f(−2). Iar o inecuație se rezolvă și apoi se intersectează cu domeniul.

CerințăProblema 49 din 63 Centura verde

Se consideră funcția f : [−2, 4] → ℝ, f(x) = −3x + 5. a) Determină mulțimea valorilor funcției, adică mulțimea numerelor f(x), cu x ∈ [−2, 4]. b) Câte puncte ale graficului au ambele coordonate numere întregi? c) Determină valorile lui x din domeniu pentru care f(x) ≥ 2.

Experimentează pe grafic

Mută linia orizontală y = k și vezi pentru ce x graficul este deasupra ei.

Laborator interactiv: Mută linia orizontală y = k și vezi pentru ce x graficul este deasupra ei.

1Dreapta coboară (a = −3 < 0), deci cea mai mare valoare este în capătul din stânga al domeniului.

2Dacă abscisa unui punct e număr întreg, e întreagă și ordonata? Dar dacă abscisa nu e întreagă, mai poate punctul să aibă ambele coordonate întregi?

3f(x) ≥ 2 înseamnă −3x + 5 ≥ 2. Rezolvă inecuația și păstrează doar soluțiile din domeniu.

a) mulțimea valorilor:

b) numărul punctelor:

c) x ∈

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 50 din 63

Centura verde

Dreapta care taie triunghiul în două

Ai o grădină în formă de triunghi și vrei s-o împarți în două parcele cu aceeași arie, printr-un gard drept care pleacă dintr-un colț. Pe desen mută capătul gardului pe latura de jos și urmărește cele două arii: ghicește unde trebuie să ajungă. Apoi demonstrează și scrie funcția al cărei grafic e gardul.

Ideea problemei: Cele două triunghiuri au același vârf A și bazele pe aceeași dreaptă, deci aceeași înălțime. Ariile sunt egale exact când bazele sunt egale.

CerințăProblema 50 din 63 Centura verde

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x și g(x) = −x + 8 se intersectează în punctul A, graficul lui g intersectează axa Ox în punctul B, iar O este originea reperului. a) Calculează aria triunghiului OAB. b) Determină funcția h : ℝ → ℝ, h(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin A și împarte triunghiul OAB în două triunghiuri cu arii egale.

Experimentează pe grafic

Mută capătul gardului pe latura OB și urmărește cele două arii.

Laborator interactiv: Mută capătul gardului pe latura OB și urmărește cele două arii.

1A: rezolvi 3x = −x + 8. B: rezolvi −x + 8 = 0.

2Baza OB stă pe axa Ox, iar înălțimea din A este ordonata lui A.

3Gardul taie latura OB într-un punct P(t, 0). Cele două triunghiuri au același vârf A și bazele OP și PB, pe aceeași dreaptă: ce au atunci în comun? Când le sunt ariile egale?

a) aria triunghiului OAB:

b) h(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 51 din 63

Centura verde

Al treilea punct, pe aceeași dreaptă

Pe o hartă cu reper xOy, două orașe A și B sunt legate de o șosea dreaptă. Un al treilea sat, C, are o coordonată încă necunoscută, dar știi că se plimbă pe o altă dreaptă când schimbi m. Mută m pe desen și prinde momentul în care C ajunge pe șosea. Apoi arată prin calcul ce loc are C pe șosea, față de cele două orașe.

Ideea problemei: Dreapta prin A și B e graficul unei funcții. C e coliniar cu A și B exact când e pe acest grafic (3.4).

CerințăProblema 51 din 63 Centura verde

Se consideră punctele A(1, 2), B(3, 8) și C(m, 2m + 1), unde m este un număr real. a) Determină m pentru care punctele A, B și C sunt coliniare. b) Pentru valoarea găsită, arată că AC = CB.

Experimentează pe grafic

Mută m: punctul C se plimbă pe o altă dreaptă. Când ajunge pe dreapta AB?

Laborator interactiv: Mută m: punctul C se plimbă pe o altă dreaptă. Când ajunge pe dreapta AB?

1Află întâi funcția al cărei grafic trece prin A și B (micro-noțiunea 3.1).

2C e pe această dreaptă exact când valoarea funcției în m este 2m + 1 (micro-noțiunea 2.2).

3Pentru b), calculează AC și CB cu teorema lui Pitagora, din diferențele de coordonate.

a) m =

b) AC = CB =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 52 din 63

Centura verde

Cea mai mică dintre două, cât mai mare

Două grafice pe același desen. În fiecare x păstrezi doar valoarea mai mică dintre cele două și obții o linie frântă, ca un acoperiș în două ape. Plimbă x pe desen și urmărește linia groasă: unde e vârful acoperișului? Ghicește, apoi demonstrează că nicăieri altundeva nu e mai sus.

Ideea problemei: Împarte intervalul în două părți, după care dreaptă e dedesubt. Pe fiecare parte, h coincide cu o funcție pe care o cunoști și care merge într-un singur sens.

CerințăProblema 52 din 63 Centura verde

Se consideră funcțiile f, g : [0, 6] → ℝ, f(x) = x + 1 și g(x) = −2x + 10. Pentru fiecare x din [0, 6], notăm cu h(x) cea mai mică dintre valorile f(x) și g(x). a) Determină cea mai mare valoare pe care o poate lua h(x) și justifică. b) Pentru ce x se obține această valoare?

Experimentează pe grafic

Plimbă x. Linia groasă este h: mereu cea mai de jos dintre cele două drepte.

Laborator interactiv: Plimbă x. Linia groasă este h: mereu cea mai de jos dintre cele două drepte.

1Unde se intersectează graficele? Acolo f(x) = g(x).

2La stânga punctului comun, care dintre drepte e mai jos? Dar la dreapta lui? Verifică cu un x concret din fiecare parte.

3Pe fiecare parte, h coincide cu o dreaptă care fie urcă, fie coboară. Unde își atinge fiecare cea mai mare valoare?

a) cea mai mare valoare a lui h:

b) x =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura verde – problema 53 din 63

Centura verde

Coordonate schimbate între ele

Punctele (2, 5) și (5, 2) sunt în oglindă față de dreapta y = x: unul e imaginea celuilalt. Alege p și q pe desen și uită-te la dreapta care trece prin (p, q) și (q, p): oricum le-ai alege, pare înclinată la fel. Ghicește coeficientul ei, apoi demonstrează-l pentru orice p și q diferite.

Ideea problemei: Scrie cele două condiții de apartenență și scade-le: termenul liber dispare și rămâne doar coeficientul lui x.

CerințăProblema 53 din 63 Centura verde

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n, trece prin punctele (p, q) și (q, p), unde p și q sunt numere reale diferite. a) Arată că m = −1. b) Calculează f(p + q).

Experimentează pe grafic

Alege p și q, cu p ≠ q. Punctele (p, q) și (q, p) sunt în oglindă față de y = x.

Laborator interactiv: Alege p și q, cu p ≠ q. Punctele (p, q) și (q, p) sunt în oglindă față de y = x.

1Scrie cele două condiții de apartenență: mp + n = q și mq + n = p.

2Scade egalitățile: n dispare. Împarte la p − q, care nu este 0.

3Cu m aflat la a), întoarce-te la prima ecuație: din ea iese n în funcție de p și q. Apoi calculează f(p + q) și uită-te ce se reduce.

a) m =

b) f(p + q) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivelul 4 din 6

Centura albastră

Dincolo de examen: o idee ascunsă.

De aici încep problemele pentru pasionați. Nimic nu e blocat și nimic nu se pierde: încerci, deschizi indiciile pe rând, iar fiecare idee găsită singur e a ta.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 54 din 63

Centura albastră

Două drepte legate de același m

Două drepte se mișcă împreună, după același număr m. Mută m pe desen și urmărește punctul lor comun: ceva din el nu se schimbă niciodată, și tocmai asta pare să-ți strice planul. Întrebarea e dacă punctul comun poate ajunge vreodată în cadranul I. Ghicește din desen înainte să calculezi, apoi fii atent la fiecare operație pe care o faci cu litera m.

Ideea problemei: Punctul comun îl găsești egalând formulele. Când formulele conțin litera m, la fiecare împărțire întreabă-te dacă ai voie s-o faci.

CerințăProblema 54 din 63 Centura albastră

Pentru fiecare număr real m se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 1 și g(x) = (2m − 1)x + m. Determină valorile lui m pentru care graficele lui f și g au cel puțin un punct comun situat în cadranul I, adică cu ambele coordonate strict pozitive.

Experimentează pe grafic

Mută m și urmărește abscisa punctului comun. Ce se întâmplă când m ajunge la 1?

Laborator interactiv: Mută m și urmărește abscisa punctului comun. Ce se întâmplă când m ajunge la 1?

1Egalează formulele: mx + 1 = (2m − 1)x + m. Adu termenii cu x într-o parte și restul în cealaltă.

2Obții o ecuație de forma (ceva cu m) · x = (ceva cu m). Rezolv-o și uită-te la abscisa punctului comun: poate fi ea vreodată pozitivă?

3Când ai împărțit, ai presupus ceva despre m fără să-ți dai seama. Pentru ce valoare a lui m nu aveai voie să împarți? Tratează acest caz separat.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 55 din 63

Centura albastră

Punctele ascunse în triunghi

Două drepte și axa Ox închid un triunghi pe hârtia cu pătrățele. Câte colțuri de pătrățel stau strict înăuntru, fără să atingă laturile? Poți apăsa pe desen pe cele pe care le crezi înăuntru și să le numeri. Dar ideea e să le numeri fără desen, rând cu rând, cu inecuațiile pe care le știi de la Lecția 4. Întâi ghicește numărul, apoi demonstrează-l.

Ideea problemei: Un punct e în interior dacă verifică trei inegalități în același timp. Fixezi y și numeri x-urile întregi posibile.

CerințăProblema 55 din 63 Centura albastră

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 2 și g(x) = −2x + 8, împreună cu axa Ox, mărginesc un triunghi. a) Determină aria triunghiului. b) Câte puncte cu ambele coordonate numere întregi se află strict în interiorul triunghiului?

Experimentează pe grafic

Atinge colțurile de pătrățel care crezi că sunt strict în interior. Contorul le numără pe cele marcate de tine.

Laborator interactiv: Atinge colțurile de pătrățel care crezi că sunt strict în interior. Contorul le numără pe cele marcate de tine.

1Vârfurile triunghiului sunt tăieturile celor două drepte cu axa Ox și punctul lor comun. Le afli ca la micro-noțiunea 2.4 și micro-noțiunea 3.3.

2După ce ai vârfurile, descrie interiorul în cuvinte: un punct e înăuntru dacă stă deasupra axei Ox și sub ambele drepte. Scrie asta cu trei inegalități stricte.

3Ia pe rând fiecare valoare întreagă posibilă a lui y (nu multe, uită-te cât de înalt e triunghiul) și numără x-urile întregi care respectă ambele inegalități cu dreptele.

a) aria triunghiului:

b) numărul de puncte:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 56 din 63

Centura albastră

Drumul cel mai scurt, cu o atingere a marginii

La biliard, bila albă e în A, bila roșie în B, iar axa Ox e manta mesei. Vrei să lovești bila albă în manta astfel încât, după ricoșeu, să ajungă exact în B. Jucătorii buni știu din reflex unde să țintească; tu vei afla prin calcul. Pe desen mută punctul M pe manta și urmărește suma MA + MB: drumul cu ricoșeu bun e chiar drumul cel mai scurt. Heron din Alexandria a observat asta acum aproape 2000 de ani, pentru lumina care se reflectă în oglindă.

Ideea problemei: Oglindește B față de axa Ox: MB = MB′, deci MA + MB = MA + MB′. Iar o linie frântă între A și B′ nu e niciodată mai scurtă decât segmentul AB′.

CerințăProblema 56 din 63 Centura albastră

În reperul xOy se dau punctele A(1, 2) și B(7, 6). Punctul M se află pe axa Ox. a) Determină funcția al cărei grafic trece prin A și prin B′(7, −6), simetricul lui B față de axa Ox. b) Determină coordonatele punctului M de pe axa Ox pentru care suma MA + MB este cea mai mică. c) Calculează această valoare minimă.

Experimentează pe grafic

Mută punctul M pe axa Ox și urmărește suma MA + MB.

Laborator interactiv: Mută punctul M pe axa Ox și urmărește suma MA + MB.

1Pentru orice M de pe axa Ox, MB = MB′: axa Ox este mediatoarea segmentului BB′.

2Deci MA + MB = MA + MB′. Gândește-te la triunghiul AMB′: când e suma a două laturi cea mai mică posibil față de a treia?

3Suma e cea mai mică exact când M stă pe segmentul AB′. Afli M ca tăietura dreptei AB′ cu axa Ox, iar valoarea minimă e lungimea AB′.

a) f(x) =

b) abscisa lui M:

c) valoarea minimă a sumei MA + MB:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 57 din 63

Centura albastră

Trei informații și o valoare ascunsă

Despre o funcție de forma ax + b știi doar trei lucruri, și niciunul nu e o egalitate: sunt inegalități. Cât de mică poate fi atunci valoarea ei în 3? Și cât de mare? Pe desen reglează a și b și încearcă să cobori f(3) cât mai mult, apoi să-l urci cât mai mult, fără să strici vreo condiție. Nu încerca să afli a și b: nu se poate. Caută legături directe între valori.

Ideea problemei: Nu afla a și b. Caută legături directe între f(3) și valorile despre care știi ceva: pentru cea mai mică valoare, f(1) și f(4); pentru cea mai mare, f(1) și f(2).

CerințăProblema 57 din 63 Centura albastră

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică f(1) ≥ 0, f(2) ≤ 3 și f(4) ≥ 5. a) Arată că f(3) = (f(1) + 2f(4))/3. b) Determină cea mai mică valoare posibilă a lui f(3) și o funcție f pentru care se obține. c) Determină cea mai mare valoare posibilă a lui f(3) și o funcție f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Reglează a și b și urmărește cele trei condiții. Cât de jos poți coborî f(3) fără să strici vreo condiție? Și cât de sus îl poți urca?

Laborator interactiv: Reglează a și b și urmărește cele trei condiții. Cât de jos poți coborî f(3) fără să strici vreo condiție? Și cât de sus îl poți urca?

1Scrie f(1) și f(4) cu a și b, apoi calculează f(1) + 2f(4).

2Din a), f(3) se calculează din f(1) și f(4). Întreabă-te întâi: f(3) scade când f(1) scade sau când crește? La fel pentru f(4). Abia apoi pune, pentru fiecare, capătul pe care îl permite inegalitatea ei. Condiția f(2) ≤ 3 nu intră în acest calcul: o verifici la final și o pui la lucru la c).

3La b), egalitatea cere f(1) = 0 și f(4) = 5: află funcția din aceste două puncte și verifică apoi și condiția f(2) ≤ 3. La c), caută o legătură între f(3), f(2) și f(1): saltul de la f(2) la f(3) e același cu saltul de la f(1) la f(2).

a) calculul:

b) cea mai mică valoare a lui f(3):

b) o funcție pentru care se obține: f(x) =

c) cea mai mare valoare a lui f(3):

c) o funcție pentru care se obține: f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 58 din 63

Centura albastră

Sume care cresc după o regulă

Aduni pe rând valorile unei funcții: f(1), apoi f(1) + f(2), apoi f(1) + f(2) + f(3) și tot așa. Cineva îți spune o formulă pentru fiecare astfel de sumă, dar nu și funcția. O poți reconstitui, pas cu pas, ca un detectiv. Pe desen reglează a și b și urmărește suma primilor zece stâlpi: când ajunge la 120, ești aproape.

Ideea problemei: Diferența dintre două sume consecutive e chiar ultimul termen adunat. Primele două sume îți dau f(1) și f(2), adică două puncte.

CerințăProblema 58 din 63 Centura albastră

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are proprietatea că f(1) + f(2) + … + f(n) = n² + 2n, pentru orice număr natural n ≥ 1. a) Calculează f(1) și f(2). b) Determină funcția f. c) Calculează f(2026).

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), …, f(10); urmărește suma lor și compar-o cu n² + 2n pentru n = 10.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), …, f(10); urmărește suma lor și compar-o cu n² + 2n pentru n = 10.

1Pentru n = 1 suma are un singur termen, f(1). Pune n = 1 în formulă.

2Pentru n = 2: f(1) + f(2) = 8. Scade f(1) și afli f(2).

3Din f(1) și f(2) afli a și b, ca din două puncte (micro-noțiunea 3.1). Verifică apoi formula pentru n = 3.

a) f(1) =

a) f(2) =

b) f(x) =

c) f(2026) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura albastră – problema 59 din 63

Centura albastră

Puncte cu coordonate raționale pe o dreaptă cu a irațional

Pe hârtie, orice dreaptă pare să treacă prin o mulțime de puncte „frumoase”, cu coordonate fracții. Dar dacă a, coeficientul lui x, e un număr irațional, ca √2, lucrurile se schimbă radical. Plimbă punctul pe desen și uită-te la coordonatele lui: când sunt amândouă frumoase? Ghicește câte astfel de puncte există pe toată dreapta, apoi demonstrează.

Ideea problemei: Două puncte cu coordonate raționale ar face coeficientul a rațional. De aici, pe o dreaptă cu a irațional nu încap două.

CerințăProblema 59 din 63 Centura albastră

a) Arată că, dacă graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, conține două puncte distincte care au ambele coordonate numere raționale, atunci a și b sunt numere raționale. b) Câte puncte cu ambele coordonate numere raționale are graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = √2 · x + 1?

Experimentează pe grafic

Plimbă punctul pe grafic. Când sunt ambele coordonate „frumoase”?

Laborator interactiv: Plimbă punctul pe grafic. Când sunt ambele coordonate „frumoase”?

1Două puncte distincte ale graficului unei funcții au abscise diferite. De ce?

2Scade condițiile y₁ = a·x₁ + b și y₂ = a·x₂ + b și exprimă a. Ce fel de număr e un raport de numere raționale?

3Pentru b): dacă graficul lui g ar avea două puncte cu coordonate raționale, ce ar rezulta despre √2? Și găsești măcar un punct bun?

a) justificarea:

b) numărul de puncte:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivelul 5 din 6

Centura maro

Două idei legate.

La centura maro, problemele cer mai multe idei legate între ele. Ia-o încet, cu hârtie și creion; graficul de lângă fiecare problemă te ajută să vezi.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura maro – problema 60 din 63

Centura maro

Zece drepte și punctele lor de întâlnire

Desenezi zece drepte după aceeași rețetă, fiecare cu alt număr k. Oricare două se taie. Întrebarea pare ușoară: câte puncte de intersecție vezi? Capcana e că trei drepte ar putea trece prin același punct, și atunci ai număra mai puține. Pe desen crește numărul de drepte și uită-te în panou dacă numărul de puncte distincte rămâne egal cu numărul de perechi. Apoi demonstrează că așa e mereu.

Ideea problemei: Punctul comun al dreptelor j și k este (j + k, jk). Suma și produsul a două numere le determină pe amândouă, deci perechi diferite dau puncte diferite.

CerințăProblema 60 din 63 Centura maro

Pentru k = 1, 2, 3, …, 10 se consideră funcțiile f_k : ℝ → ℝ, f_k(x) = kx − k². a) Arată că, pentru j ≠ k, graficele funcțiilor f_j și f_k se intersectează în punctul (j + k, jk). b) Câte puncte distincte de intersecție au, în total, cele zece grafice?

Experimentează pe grafic

Alege câte drepte desenezi și numără punctele de intersecție. Apar vreodată trei drepte prin același punct?

Laborator interactiv: Alege câte drepte desenezi și numără punctele de intersecție. Apar vreodată trei drepte prin același punct?

1Egalează f_j(x) = f_k(x) și împarte la j − k, care nu este 0. Formula a² − b² te ajută.

2Fiecare pereche de drepte dă un punct. Câte perechi sunt? Dar pot două perechi diferite să dea același punct?

3Dacă j + k = s și jk = p, atunci (j − k)² = s² − 4p. Deci din sumă și produs afli și diferența; cu suma și diferența, afli numerele.

a) calculul punctului comun:

b) numărul de puncte distincte:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura maro – problema 61 din 63

Centura maro

Funcția închisă în cutie

Funcția f(x) = ax + b e „închisă într-o cutie”: pe intervalul [1, 3], valorile ei nu au voie să iasă din banda dintre 1 și 5. Cât de sus poate totuși să ajungă, în afara cutiei, la x = 6? Pe desen mută a și b cât timp segmentul rămâne verde și urmărește f(6). Un candidat îl ghicești repede. Greu e să arăți că nimeni nu-l poate întrece: sunt două idei de legat, iar cerința a) ți-o pregătește pe prima.

Ideea problemei: Nu lucra cu a și b, ci cu două valori ale funcției, u = f(1) și v = f(3), despre care știi tot: sunt în cutie. Scrie a, b și f(6) cu ajutorul lor.

CerințăProblema 61 din 63 Centura maro

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are proprietatea că 1 ≤ f(x) ≤ 5 pentru orice x ∈ [1, 3]. a) Arată că −2 ≤ a ≤ 2. b) Determină cea mai mare valoare posibilă a lui f(6) și o funcție f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Mută a și b. Segmentul e verde cât timp funcția stă în cutie pe [1, 3]. Caută cel mai mare f(6) cu segmentul verde.

Laborator interactiv: Mută a și b. Segmentul e verde cât timp funcția stă în cutie pe [1, 3]. Caută cel mai mare f(6) cu segmentul verde.

1Pe [1, 3] graficul e un segment, deci cea mai mare și cea mai mică valoare sunt la capete (micro-noțiunea 3.2). Așadar condiția spune ceva doar despre f(1) și f(3).

2Notează u = f(1) = a + b și v = f(3) = 3a + b, amândouă între 1 și 5. Exprimă a prin u și v: a = (v − u)/2. Cât de mare și cât de mic poate fi?

3Scrie f(6) = 6a + b tot cu u și v. Apoi întreabă-te: ce valori ale lui u și v îl fac cât mai mare? Nu uita să verifici că funcția găsită chiar stă în cutie.

a) demonstrația:

b) cea mai mare valoare a lui f(6):

b) o funcție pentru care se obține, f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivelul 6 din 6

Centura neagră

O zi pe o problemă.

Aici și profesorii stau o zi pe o problemă. Nu e nevoie pentru examen. Intră când vrei să vezi cât de departe poți merge.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura neagră – problema 62 din 63

Centura neagră

Cel mai mic perimetru printr-un punct

Același colț de placă și același cui din P(6, 3) ca la centura maro, unde ai căutat tăietura cu cea mai mică arie. Acum vrei cel mai scurt contur: cel mai mic perimetru. Pe desen rotește tăietura și urmărește perimetrul; ghicește dacă tăietura cea mai bună e aceeași ca la arie sau alta. Demonstrația merge doar cu teorema lui Pitagora și cu formulele de calcul prescurtat, dar cere răbdare: e o zi de lucru.

Ideea problemei: Scrie perimetrul cu OA = α. Pentru „perimetru ≥ număr”, izolează radicalul, ridică la pătrat și caută un pătrat perfect.

CerințăProblema 62 din 63 Centura neagră

O dreaptă trece prin punctul P(6, 3) și intersectează semiaxa pozitivă Ox în A(α, 0) și semiaxa pozitivă Oy în B(0, β). Dreapta este graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n. a) Arată că 6/α + 3/β = 1. b) Determină cel mai mic perimetru posibil al triunghiului OAB și funcția f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Rotește tăietura în jurul punctului P și urmărește perimetrul. Cât de mic îl poți face?

Laborator interactiv: Rotește tăietura în jurul punctului P și urmărește perimetrul. Cât de mic îl poți face?

1Dreapta prin A(α, 0) și B(0, β) este f(x) = −βx/α + β. Pune condiția f(6) = 3 și împarte la β.

2Din a), β = 3α/(α − 6), cu α > 6. Ia câteva valori pentru α (de pildă 8, 9, 11, 12, 15) și calculează de fiecare dată perimetrul α + β + √(α² + β²): pare că nu coboară sub un anumit număr. Ghicește-l, apoi încearcă să-l demonstrezi.

3Notează numărul tău cu M. Dacă α + β ≥ M, perimetrul e clar cel puțin M. Altfel arată că √(α² + β²) ≥ M − α − β: ridică la pătrat (ambii membri sunt pozitivi), folosește relația αβ = 6β + 3α din a) și caută un pătrat perfect.

a) justificarea:

b) perimetrul minim:

b) f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

Nivel Centura neagră – problema 63 din 63

Centura neagră

Segmente tăiate în trei, pe colțuri de pătrățel

În plus față de programăPrincipiul cutiei și lema lui Gauss, două unelte de la cercul de matematică; apasă pe numele lor ca să le citești definiția.

Alegi pe o dreaptă câteva colțuri de pătrățel, adică puncte cu ambele coordonate întregi. Unești două dintre ele și tai segmentul în trei bucăți egale: uneori cele două tăieturi cad tot pe colțuri de pătrățel, alteori cad înăuntrul pătrățelelor sau pe laturile lor, nu în colțuri. Câte puncte trebuie să alegi ca să fii sigur că măcar o pereche se taie „frumos”? Pe desen alege a = p/q și uită-te la culorile punctelor: ele ascund răspunsul. Apoi demonstrează-l.

Ideea problemei: Pe o astfel de dreaptă, punctele cu coordonate întregi nu sunt împrăștiate la întâmplare: urmează un pas fix, dat de a, scris ca fracție ireductibilă. Numără pașii și uită-te la restul lor la împărțirea cu 3.

CerințăProblema 63 din 63 Centura neagră

Determină cel mai mic număr natural n cu proprietatea următoare: oricare ar fi funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, și oricum am alege n puncte distincte ale graficului ei, fiecare cu ambele coordonate numere întregi, există două dintre ele pentru care cele două puncte care împart segmentul determinat de ele în trei părți egale au, de asemenea, ambele coordonate întregi. (Punctele care împart segmentul cu capetele (x₁, y₁) și (x₂, y₂) în trei părți egale au coordonatele ((2x₁ + x₂)/3, (2y₁ + y₂)/3) și ((x₁ + 2x₂)/3, (y₁ + 2y₂)/3).)

Experimentează pe grafic

Alege coeficientul a = p/q; fracția se aduce singură la forma ireductibilă. Colțurile de pătrățel de pe grafic apar în trei culori. Alege două dintre ele, oricare, și împarte segmentul dintre ele în trei: tăieturile cad pe colțuri sau nu? Caută ce au în comun perechile care se taie „frumos”. După răspuns îți spun și regula culorilor.

Laborator interactiv: Alege coeficientul a = p/q; fracția se aduce singură la forma ireductibilă. Colțurile de pătrățel de pe grafic apar în trei culori. Alege două dintre ele, oricare, și împarte segmentul dintre ele în trei: tăieturile cad pe colțuri sau nu? Caută ce au în comun perechile care se taie „frumos”. După răspuns îți spun și regula culorilor.

1Încearcă întâi cu trei puncte pe dreapta y = x. Apoi gândește-te ce fel de număr e a, dacă graficul trece prin două puncte cu coordonate întregi.

2Scrie a = p/q, fracție ireductibilă, cu q > 0. Dacă (x₁, y₁) și (x, y) sunt puncte întregi ale graficului, ce poți spune despre x − x₁ față de q?

3Uită-te la formulele punctelor de tăiere din enunț: ce anume trebuie să se împartă exact la 3, ca amândouă coordonatele să fie întregi? Scrie condiția cu pașii k ai celor două puncte. Apoi gândește-te la resturile pe care le pot da numerele k la împărțirea cu 3.

a) n =

b) justificarea (un contraexemplu pentru n − 1 și demonstrația pentru n):

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții

Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3

bilanțul

„Lecturi grafice și funcția din condiții”: seria gata

3.1 ☆☆☆ 0 din 11 corecte în seria aceasta (11 nefăcute)
3.2 ☆☆☆ 0 din 12 corecte în seria aceasta (12 nefăcute)
3.3 ☆☆☆ 0 din 13 corecte în seria aceasta (13 nefăcute)
3.4 ☆☆☆ 0 din 9 corecte în seria aceasta (9 nefăcute)