Centurile · Lecția 11 · Matematică clasa a VIII-a

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centurile: toate exercițiile și problemele lecției, pe 6 niveluri

Primele trei centuri acoperă programa și examenul. Ultimele trei folosesc aceeași materie, dar sunt pentru pasionați.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura albă

Nivelul 1 din 6 · Lecția 11

Centura albă

Primii pași: aplici regula tocmai învățată.

Pentru toți. Aici te asiguri că ai prins ideea.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.1 · 1 din 29

Încălzire: trei numere de pus, pe rând, în aceeași formulă. Ultimul e negativ; acolo cad cei grăbiți.

Cerință1.1.1 Centura albă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5. Calculează f(0), f(2) și f(−1).

1Formula e o mașină cu o singură intrare: litera x. Tot ce ai de făcut e să pui numărul dat în locul ei și să calculezi.

2Scrie formula cu o căsuță goală, 3 · [ ] − 5, și completează căsuța pe rând cu 0, cu 2, cu −1. Întâi înmulțirea, apoi scăderea.

3La −1, pune-l între paranteze: 3 · (−1). Ce semn are un produs dintre un număr pozitiv și unul negativ?

a) f(0) =

b) f(2) =

c) f(−1) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.2 · 2 din 29

Un tabel de valori e ca o fișă de antrenament: aceeași regulă, patru numere. După ce îl completezi, uită-te cum se schimbă rândul de jos.

Cerință1.1.2 Centura albă

Completează tabelul de valori al funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 7, pentru x egal, pe rând, cu −2, 0, 1 și 3.

1Ia coloanele una câte una. Pentru fiecare, pune numărul de sus în locul lui x și calculează; rezultatul merge dedesubt.

2Prima coloană are x = −2: produsul e −2 · (−2). Ce semn are produsul a două numere negative?

3La fiecare coloană, calculează întâi produsul −2 · x, apoi adună 7. Nu sări peste produs.

a) pentru x = −2, f(x) =

b) pentru x = 0, f(x) =

c) pentru x = 1, f(x) =

d) pentru x = 3, f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.3 · 3 din 29

Înainte să calculezi ceva cu o formulă, trebuie să o recunoști. Îți arăt patru formule, iar tu cauți intrusul.

Cerință1.1.3 Centura albă

Care dintre formulele de mai jos NU descrie o funcție de forma f(x) = ax + b?

1Forma căutată este „un număr ori x, plus un număr”. Întreabă-te, la fiecare variantă: așa apare x?

2Nu te lăsa păcălit de ordinea termenilor sau de o fracție: 4 − 2x și x/3 se pot rescrie în forma cerută.

3Uită-te la ce i se întâmplă lui x în fiecare formulă. Într-una dintre ele i se face ceva ce nu are voie să i se facă.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.1 · 4 din 29

O întrebare de înțelegere, fără calcule: ce desenezi și cu cât efort minim.

Cerință2.1.1 Centura albă

Vrei să desenezi în planul xOy graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0. a) Ce fel de linie obții? b) De câte puncte ale ei ai nevoie ca să o poți trasa?

1Gândește-te la tabelul de valori al unei astfel de funcții: la fiecare pas de 1, valoarea urcă (sau coboară) cu același număr. Ce formă dau punctele așezate așa?

2Câte linii drepte poți trasa prin două puncte care nu coincid? Încearcă cu rigla.

3Dacă ai tras deja dreapta prin două puncte, ce ți-ar mai aduce un al treilea?

a) linia obținută:

b) numărul de puncte necesare:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.2 · 5 din 29

Cele două puncte comode sunt aici deja alese. Tu le calculezi și spui ce iese când le unești.

Cerință2.1.2 Centura albă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3. a) Determină punctul graficului care are abscisa 0. b) Determină punctul graficului care are abscisa 2. c) Ce obții unind cele două puncte?

1Abscisa e primul număr din pereche, adică x. Calculează f pentru fiecare dintre cele două abscise date.

2f(0) se calculează cel mai ușor: produsul cu 0 dispare. Ce rămâne?

3Scrie perechile în ordinea (x, f(x)). Apoi: ce figură e graficul unei funcții de forma ax + b pe ℝ?

a) punctul cu abscisa 0:

b) punctul cu abscisa 2:

c) unindu-le, obții:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.3 · 6 din 29

Un singur lucru verific aici: te uiți la domeniu înainte să te uiți la formulă?

Cerință2.1.3 Centura albă

Reprezentarea geometrică a graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 5, în planul xOy este:

1Nu te uita la formulă, uită-te la domeniu: f : ℝ → ℝ. Ce valori poate lua x?

2Dacă x poate fi oricât de mic și oricât de mare, are figura vreun capăt?

3Cele două puncte pe care le folosești la desen nu sunt graficul: sunt doar unealta cu care îl trasezi.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.1 · 7 din 29

Un singur punct, o singură verificare: exact testul bonului de taxi din introducere.

Cerință2.2.1 Centura albă

Verifică dacă punctul A(3, 7) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1. Justifică răspunsul.

1Un punct are două numere. Unul intră în formulă, cu celălalt compari rezultatul. Care intră?

2În formulă intră abscisa, primul număr: calculează f(3).

3Ai obținut un număr. Dacă e egal cu a doua coordonată a punctului, punctul e pe grafic.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.2 · 8 din 29

Trei puncte candidate. Pune-l pe fiecare la probă și păstrează doar punctele care trec.

Cerință2.2.2 Centura albă

Stabilește care dintre punctele A(−1, 4), B(1, 4) și C(0, 1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 1.

1Testul e același pentru fiecare punct: pui abscisa în formulă și compari cu ordonata. Fă-l de trei ori.

2A și B au aceeași ordonată, 4, dar abscise diferite: −1 și 1. Testul poate ieși diferit pentru ele.

3La A, pune −1 în paranteze: −3 · (−1). Ce semn are produsul?

răspunsul tău:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.1 · 9 din 29

Citește cele două numere direct din formulă, apoi spune de unde pleacă dreapta pe axa Oy.

Cerință2.3.1 Centura albă

Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −5x + 2: a) precizează valoarea coeficientului a; b) precizează valoarea termenului liber b; c) scrie punctul în care graficul funcției intersectează axa Oy.

1Pune formula dată lângă forma generală a · x + b și potrivește: cine stă în locul lui a, cine în locul lui b?

2Semnul merge împreună cu numărul: în −5x, coeficientul e −5, nu 5.

3Pe axa Oy, x este 0. Ce rămâne din formulă când x = 0?

a) a =

b) b =

c) punctul de pe axa Oy:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.2 · 10 din 29

Trei funcții, trei comportamente. Te uiți doar la semnul lui a.

Cerință2.3.2 Centura albă

Se dau funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 7, g(x) = −x + 3 și h(x) = 5. Pentru fiecare, precizează dacă valorile funcției cresc, scad sau rămân aceleași atunci când x crește.

1La fiecare formulă, caută numărul care îl înmulțește pe x. Semnul lui hotărăște totul.

2La g(x) = −x + 3, x e înmulțit cu −1, chiar dacă nu scrie nimic în fața lui.

3La h(x) = 5 nu apare x deloc. Cât e a atunci? Și ce face o funcție cu a = 0?

a) valorile lui f:

b) valorile lui g:

c) valorile lui h:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.3 · 11 din 29

Patru formule și un singur punct pe axa Oy. Ca să alegi, îți trebuie doar b.

Cerință2.3.3 Centura albă

Dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, singura al cărei grafic intersectează axa Oy în punctul (0, −3) este:

1Pe axa Oy, x = 0. Calculează f(0) pentru fiecare variantă: produsul dispare, rămâne un singur număr.

2Caută numărul −3 în poziția de termen liber, nu oriunde în formulă.

3La varianta D, −3 stă lângă x. Asta îl face coeficient, nu termen liber.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.1 · 12 din 29

Prima dintre cele două tăieturi, cea ușoară: o citești direct din formulă.

Cerință2.4.1 Centura albă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. Determină coordonatele punctului în care graficul funcției intersectează axa Oy.

1Toate punctele de pe axa Oy au ceva în comun: prima lor coordonată. Cât e?

2Pune x = 0 în formulă. Produsul 2 · 0 dispare; ce rămâne?

3Scrie perechea în ordinea (abscisă, ordonată): abscisa e 0, ordonata e ce ai calculat.

a) abscisa punctului:

b) ordonata punctului:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.2 · 13 din 29

Aceeași funcție, a doua tăietură. Aici chiar trebuie să rezolvi o ecuație.

Cerință2.4.2 Centura albă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. Determină coordonatele punctului în care graficul funcției intersectează axa Ox.

1Pe axa Ox toate punctele au a doua coordonată 0. Deci valoarea funcției trebuie să fie 0.

2Scrie 2x − 6 = 0 și rezolvă ca pe orice ecuație de gradul I.

3Ai găsit x. Punctul e (x, 0): ordonata e 0, nu trebuie calculată.

a) abscisa punctului:

b) ordonata punctului:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.1 · 14 din 29

Domeniul are doar trei numere, ca biletele de cinema din introducere. Ce rămâne atunci din dreaptă pe desen?

Cerință2.5.1 Centura albă

Se consideră funcția f : {−1, 0, 2} → ℝ, f(x) = 2x + 1. a) Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi. b) Din câte puncte este format desenul graficului în planul xOy?

1Câte numere are domeniul? Pentru fiecare, calculezi o valoare și obții o pereche.

2Scrie perechile ca (x, f(x)): la stânga numărul din domeniu, la dreapta ce a ieșit.

3Între −1 și 0 nu există alte numere în domeniu. Deci între punctele lor nu desenezi nimic.

a) graficul, ca mulțime de perechi:

b) din câte puncte e format desenul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.2 · 15 din 29

Același f(x) = x + 2 din lecție, dar acum domeniul are un început și un sfârșit. Ce figură are și ea început și sfârșit?

Cerință2.5.2 Centura albă

Se consideră funcția f : [0, 4] → ℝ, f(x) = x + 2. a) Ce figură este graficul funcției? b) Determină capetele acestei figuri.

1Uită-te la domeniu: [0, 4]. Unde începe și unde se termină desenul?

2O bucată de dreaptă cu două capete se numește segment. Capetele se află calculând f în capetele intervalului.

3Parantezele pătrate spun că 0 și 4 sunt în domeniu: capetele sunt pline.

a) ce figură este graficul:

b) capetele ei:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.3 · 16 din 29

Uită-te întâi la domeniu: e un interval, ca la benzină, sau câteva numere, ca la bilete?

Cerință2.5.3 Centura albă

Reprezentarea geometrică a graficului funcției f : {1, 2, 3} → ℝ, f(x) = x + 1, este:

1Nu te uita la formulă, uită-te la domeniu: {1, 2, 3}. Câte numere sunt acolo?

2E numărul 1,5 în domeniu? Dacă nu, poate exista un punct al graficului deasupra lui?

3Fără puncte intermediare, nu ai ce uni. Ce rămâne pe desen?

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.1 · 17 din 29

Nu rezolva încă nimic, doar scrie ecuațiile. E primul pas al metodei, exersat separat.

Cerință3.1.1 Centura albă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin punctele A(0, 2) și B(1, 5). Scrie cele două ecuații în a și b pe care le obții punând, pentru fiecare punct, condiția de apartenență la grafic.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 4 și y între -3 și 8; 2 puncte marcate.

1Un punct e pe grafic când coordonatele lui verifică formula: abscisa în locul lui x, ordonata în locul lui f(x).

2Pentru A, x = 0 și f(x) = 2. Scrie a · 0 + b = 2 și simplific-o.

3Pentru B, x = 1 și f(x) = 5. Fiecare punct dă propria lui ecuație; nu le amesteca.

răspunsul tău:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.2 · 18 din 29

O întrebare scurtă, care verifică dacă ai înțeles ce înseamnă „funcție”. Răspunsul vine din definiție, nu din calcul.

Cerință3.1.2 Centura albă

Există o funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, pentru care f(1) = 2 și f(1) = 5? Justifică.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 4 și y între -1 și 7; 2 puncte marcate.

1Câte valori poate avea o funcție pentru un același x? Gândește-te la diagrama cu săgeți din Lecția 10.

2Dacă ai încerca sistemul: a + b = 2 și a + b = 5. Se poate ca aceeași sumă să fie și 2, și 5?

3Pe desen, punctele (1, 2) și (1, 5) stau unul deasupra celuilalt. Ce fel de dreaptă ar trece prin ele? E ea graficul unei funcții?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.1 · 19 din 29

Graficul e deja desenat. Tot ce ai de făcut e să citești, fără nicio formulă.

Cerință3.2.1 Centura albă

În planul xOy este desenat graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ. Graficul este un segment pe care sunt marcate punctele A, C, D și B. Citind de pe grafic, precizează valorile f(0), f(2) și f(4).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1Fiecare punct marcat e o pereche (x, f(x)). Caută punctul care are abscisa cerută.

2f(0): care dintre punctele marcate are abscisa 0? A doua lui coordonată e răspunsul.

3f(4): punctul cu abscisa 4 e sub axa Ox. Ce semn are valoarea?

a) f(0) =

b) f(2) =

c) f(4) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.2 · 20 din 29

Două citiri: valoarea de la capătul stâng și locul în care graficul atinge axa Ox.

Cerință3.2.2 Centura albă

În planul xOy este desenat graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ, un segment pe care sunt marcate punctele A, C, D și B. Citind de pe grafic, precizează: a) valoarea f(−3); b) abscisa punctului în care graficul taie axa Ox.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1La a), caută punctul marcat cu abscisa −3 și citește-i a doua coordonată.

2La b), un punct de pe Ox are ordonata 0. Care dintre punctele marcate are a doua coordonată 0?

3Răspunsul la b) e abscisa acelui punct, adică prima lui coordonată.

a) f(−3) =

b) abscisa punctului de pe Ox:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.3 · 21 din 29

Nu calcula: un punct marcat pe segment îți dă direct răspunsul.

Cerință3.2.3 Centura albă

În planul xOy, graficul funcției f : [0, 5] → ℝ este segmentul cu capetele P și Q, iar pe segment este marcat și punctul R, de abscisă 3. Citind de pe grafic, valoarea f(3) este egală cu:

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -1 și 8; 3 puncte marcate.

1Un punct de pe grafic e o pereche (x, f(x)). Caută perechea care începe cu 3.

2Ai găsit punctul R, deasupra lui 3. Care dintre cele două coordonate ale lui e valoarea funcției?

3Valoarea se citește pe axa Oy, nu pe axa Ox.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.1 · 22 din 29

Abscisa e deja dată, deci ai făcut deja jumătate din drum. Mai rămâne ordonata.

Cerință3.3.1 Centura albă

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2 și g(x) = x + 4, se intersectează într-un punct A de abscisă 3. Calculează ordonata punctului A.

1A e pe graficul lui f. Ce știi despre ordonata unui punct de pe grafic, dacă îi cunoști abscisa?

2Pune 3 în f. Apoi, ca verificare, pune 3 și în g: trebuie să iasă același număr.

3Dacă în f și în g iese altceva, s-a strecurat o greșeală de calcul; punctul comun are o singură ordonată.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.2 · 23 din 29

Un punct e comun celor două grafice dacă verifică ambele formule. Nu rezolvi nimic: doar verifici.

Cerință3.3.2 Centura albă

Este punctul (1, 4) punctul comun al graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 1 și g(x) = −x + 5? Justifică răspunsul.

1Două teste, câte unul pentru fiecare funcție: pune 1 în locul lui x și compară cu 4.

2f(1) = 3 · 1 + 1. Cât iese? E 4?

3Dacă ambele teste dau 4, punctul e pe ambele grafice, adică e comun.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.3 · 24 din 29

Nu calcula nimic: alege doar ecuația potrivită. Asta e toată ideea metodei.

Cerință3.3.3 Centura albă

Pentru a afla abscisa punctului în care se intersectează graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 2 și g(x) = 3x + 4, se rezolvă ecuația:

1Ce au în comun cele două grafice în punctul în care se taie: abscisa, ordonata sau amândouă?

2Dacă ordonata e aceeași, atunci f(x) = g(x). Scrie asta cu formulele date.

3Variantele B și C caută altceva: punctul în care fiecare dreaptă taie axa Ox.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.1 · 25 din 29

Întrebare de gândire: dacă toate trei sunt pe același grafic, ce știi despre ele?

Cerință3.4.1 Centura albă

Punctele A(1, 5), B(3, 9) și C(6, 15) aparțin toate graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3. Sunt cele trei puncte coliniare? Justifică răspunsul.

1Ce figură e graficul unei funcții de forma ax + b, cu domeniul ℝ?

2Dacă trei puncte stau pe aceeași dreaptă, cum se numesc?

3Nu ai nevoie de calcule: enunțul ți-a spus deja că toate trei sunt pe grafic.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.2 · 26 din 29

O întrebare despre metodă, nu despre calcul: cu ce începi?

Cerință3.4.2 Centura albă

Pentru a verifica dacă punctele A(−1, 0), B(1, 4) și C(4, 10) sunt coliniare, primul pas corect este:

1Câte puncte îți trebuie ca să fixezi o dreaptă? Restul sunt de verificat.

2Varianta D cere o funcție prin toate trei; dar dacă punctele nu sunt coliniare, o astfel de funcție nu există. Cu ce ai începe atunci?

3Ordonatele pot crește și când punctele nu sunt aliniate. Deci varianta C nu dovedește nimic.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.3 · 27 din 29

Dreapta prin A și B e graficul unei funcții pe care o ai deja. Al treilea punct e coliniar cu ele dacă îi verifică formula.

Cerință3.4.3 Centura albă

Punctele A(0, −2) și B(1, 1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2. Care dintre punctele de mai jos este coliniar cu A și B?

1Dreapta AB e deja cunoscută: e graficul lui f. Un punct e pe ea dacă îi verifică formula.

2Pentru fiecare variantă, pune abscisa în f și compară cu ordonata.

3La (−1, −4): f(−1) = 3 · (−1) − 2. Pune −1 în paranteze.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.1 · 28 din 29

Un depozit din care se scot saci în fiecare zi. Ce spune, în cuvinte, semnul minus?

Cerință4.1.1 Centura albă

Într-un depozit se află 500 de saci de ciment și, în fiecare zi, se scot 20 de saci. Numărul de saci rămași după t zile este dat de funcția f(t) = −20t + 500. Ce arată, în această situație, semnul minus din fața numărului 20?

1Calculează f(0), f(1), f(2) și pune-le unul sub altul. Ce se întâmplă cu ele?

2Coeficientul lui t e −20. Ce face o funcție cu a negativ când x crește?

3Minusul nu spune că numărul de saci e negativ; spune în ce direcție se schimbă el, zi de zi.

răspunsul tău:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.2 · 29 din 29

Drumul invers: din formulă înapoi în cuvinte.

Cerință4.1.2 Centura albă

Costul, în lei, al unei comenzi de x tricouri imprimate este dat de funcția C : ℕ → ℝ, C(x) = 18x + 25. Prețul imprimării unui tricou este:

1Cu cât crește costul dacă comanzi un tricou în plus? Compară C(1) cu C(2).

2Numărul care se înmulțește cu x e cel care se plătește pentru fiecare bucată.

325 se plătește o singură dată, oricâte tricouri ar fi: nu e preț pe bucată.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura albă · gata

Nivelul 1 din 6 · gata

Ai terminat centura albă

Ai rezolvat 0 din 29. Urmează centura galbenă.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura galbenă

Nivelul 2 din 6 · Lecția 11

Centura galbenă

Ca la examen: subiectele I și II.

Pentru Evaluarea Națională: exerciții în forma de la examen.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.4 · 1 din 79

Ca la Evaluarea Națională: patru variante, una bună. Celelalte trei sunt greșeli de semn, puse acolo anume.

Cerință1.1.4 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 4. Valoarea f(−2) este egală cu:

1Pune −2 în locul lui x, cu paranteze. Produsul se face întâi, adunarea după.

2Ce semn are −3 · (−2)? Dacă răspunzi corect aici, ai eliminat deja două variante.

3După produs, termenul liber +4 se adună, nu se scade. Verifică ce ai făcut cu el.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.5 · 2 din 79

Aici a e o fracție: x/2 înseamnă jumătatea lui x. Norocul tău: toate cele trei numere se împart exact la 2.

Cerință1.1.5 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x/2 − 3. Calculează f(4), f(−6) și f(0).

1x/2 înseamnă x împărțit la 2, adică jumătatea lui x. Întâi jumătatea, apoi scazi 3.

2La f(−6): jumătatea lui −6 este un număr negativ. Apoi mai scazi 3; mergi și mai jos pe axă.

3La f(0): jumătatea lui 0 este 0. Ce rămâne din formulă?

a) f(4) =

b) f(−6) =

c) f(0) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.6 · 3 din 79

Drumul invers: știi ce a ieșit, 17, și cauți ce ai pus. Ca atunci când ai suma de pe bon și vrei kilometrii.

Cerință1.1.6 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 2. Determină numărul real x pentru care f(x) = 17.

1De data asta nu știi x, știi rezultatul. Scrie formula egală cu 17 și ai o ecuație.

2Ecuația e 5x + 2 = 17. Scapă întâi de +2: ce faci cu el când îl treci dincolo?

3Când ai găsit un x, pune-l înapoi în formulă. Dacă iese 17, e bun.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.7 · 4 din 79

Uneori primești doar un tabel, fără formulă. Regula „la pas de 1, valoarea se schimbă cu a” îți permite să scoți formula din tabel.

Cerință1.1.7 Centura galbenă

Tabelul de valori al unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are patru coloane: x = 0 → f(x) = 4; x = 1 → f(x) = 7; x = 2 → f(x) = 10; x = 3 → f(x) = 13. a) Determină a. b) Determină b. c) Calculează f(10).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 5 și y între -1 și 16; graficul unei funcții; 4 puncte marcate.

1Uită-te la coloana cu x = 0. Ce rămâne din formula ax + b când x e 0?

2Acum compară două coloane vecine: cu cât crește valoarea de jos când x crește cu 1? Numărul acela are un nume în formulă.

3După ce ai formula, c) e un calcul obișnuit: pune 10 în locul lui x.

a) a =

b) b =

c) f(10) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.8 · 5 din 79

Aici calculezi întâi două valori ale funcției, apoi mergi pe drumul invers: știi valoarea și cauți numărul x.

Cerință1.1.8 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 4. Determină numărul real x pentru care f(x) = f(2) + f(3).

1Membrul drept e un număr, doar că e ascuns: calculează f(2) și f(3) și adună-le.

2Ai obținut 17? Atunci cerința e f(x) = 17: o ecuație de gradul I.

3La 5x − 4 = 17, termenul −4 trece dincolo cu semn schimbat. Răspunsul nu e număr întreg și e în regulă.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.9 · 6 din 79

Rândul de jos al unui tabel de valori e un șir de numere. Dacă știi cum merge șirul, poți sări direct la orice termen, fără să-i scrii pe toți.

Cerință1.1.9 Centura galbenă

Pentru x = 1, 2, 3, …, valorile unei funcții f(x) = ax + b formează șirul 5, 8, 11, … a) Scrie următorii doi termeni ai șirului. b) Determină a. c) Determină b. d) Calculează al zecelea termen al șirului.

1Cu cât crește șirul de la un termen la următorul? Numărul acela se repetă mereu.

2Saltul constant este a. Pentru b, pune x = 1 în formulă: trebuie să iasă primul termen, 5.

3Al zecelea termen nu se află numărând pe degete: pune x = 10 în formula pe care ai găsit-o.

a) următorii doi termeni:

b) a =

c) b =

d) al zecelea termen:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.10 · 7 din 79

Un șir care scade, de data asta. Regula e aceeași, doar că saltul e cu minus.

Cerință1.1.10 Centura galbenă

Un șir începe cu 20, 17, 14, … și fiecare termen se obține din cel dinainte după aceeași regulă. a) Cu cât se schimbă șirul de la un termen la următorul? b) Scrie funcția f(x) = ax + b care dă termenul de pe locul x (x = 1, 2, 3, …). c) Calculează al optulea termen.

1Scade fiecare termen din cel de dinainte: 17 − 20, apoi 14 − 17. Ce obții?

2Numărul găsit, cu semnul lui, este a. Pentru b, cere ca f(1) să fie 20.

3Al optulea termen: pune x = 8 în formulă. Poate ieși și un număr negativ; șirul coboară.

a) saltul (cu semn):

b) f(x) =

c) al optulea termen:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.11 · 8 din 79

Radicalii nu schimbă regula: tot înmulțești cu a și aduni b. Doar că aici a și b sunt √2 și −√2.

Cerință1.1.11 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = √2 · x − √2. a) Calculează f(√2). b) Calculează f(1).

1Regula e aceeași ca la numere obișnuite: pui √2 în locul lui x, peste tot unde apare x.

2Cât face √2 înmulțit cu el însuși? Gândește-te la definiția radicalului.

3La b), x = 1: √2 · 1 − √2. Ce rămâne?

a) f(√2) =

b) f(1) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 1.1.12 · 9 din 79

Regula funcției merge la fel și cu radicali: pui numărul între paranteze în locul lui x. Produsul celor două valori se calculează repede, cu o formulă de calcul prescurtat.

Cerință1.1.12 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2. Calculează f(√3) · f(−√3).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 3 și y între -6 și 9; graficul unei funcții; 2 puncte marcate.

1Calculează separat cele două valori; a doua are x negativ, pune-l în paranteze.

2Ai obținut 3√3 + 2 și −3√3 + 2? Scrie-le ca 2 + 3√3 și 2 − 3√3: ce formulă recunoști?

3(p + q)(p − q) = p² − q². Aici p = 2 și q = 3√3; atenție la pătratul lui 3√3.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.4 · 10 din 79

De data asta alegi tu valorile lui x. Un sfat de meserie: x = 0 e aproape mereu alegerea cea mai comodă.

Cerință2.1.4 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −x + 4. Alege două valori convenabile pentru x, calculează valorile funcției în ele și scrie coordonatele a două puncte prin care trece graficul.

1Nu există un singur răspuns bun: orice două valori ale lui x merg. Care îți dă cel mai ușor calcul?

2Cu x = 0, produsul dispare și rămâne 4. Alege al doilea x la distanță, ca dreapta să iasă precisă.

3Scrie fiecare punct ca (x, f(x)): întâi numărul pe care l-ai pus, apoi ce a ieșit.

răspunsul tău:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.5 · 11 din 79

Punctele sunt date. Tu verifici că sunt pe grafic și spui câte drepte pot trece prin ele.

Cerință2.1.5 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 6. a) Arată că punctele A(−2, 0) și B(0, 6) aparțin graficului funcției. b) Câte drepte trec prin punctele A și B?

1Ca să arăți că un punct e pe grafic, pui prima lui coordonată în formulă și compari rezultatul cu a doua coordonată.

2Pentru A: f(−2) = 3 · (−2) + 6. Pune −2 în paranteze. Cu cât trebuie să compari rezultatul?

3La b): câte drepte poți duce prin două puncte diferite? Întrebarea e din clasa a VI-a.

a) de ce A și B sunt pe grafic:

b) câte drepte trec prin A și B:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.6 · 12 din 79

O rampă de acces descrisă printr-o formulă: înălțimea ei depinde de câți metri ai înaintat pe orizontală. Două puncte și o întrebare despre forma graficului.

Cerință2.1.6 Centura galbenă

La intrarea unei săli de sport se montează o rampă de acces. Să zicem că ea pornește de pe o bordură înaltă de o jumătate de metru și că urcă un sfert de metru la fiecare metru pe orizontală. Într-un reper xOy cu unitatea de 1 metru, înălțimea rampei deasupra solului, la distanța x metri de capătul de jos, este f(x) = x/4 + 1/2 (luăm x număr real oarecare). a) Determină două puncte ale graficului funcției f. b) Ce figură formează, pe desen, toate punctele graficului lui f?

1Alege două distanțe x comode. Una dintre ele e aproape mereu 0: capătul de jos al rampei.

2Pentru al doilea punct ia un x care se împarte exact la 4; calculul iese fără fracții grele.

3La b), întrebarea e despre forma graficului: funcția e de forma ax + b, cu a = 1/4. Ce figură dă pe ℝ?

a) două puncte ale graficului:

b) graficul lui f este:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.3 · 13 din 79

Aici necunoscuta e chiar coeficientul a. Punctul M îți dă ecuația pentru el.

Cerință2.2.3 Centura galbenă

Punctul M(−2, 9) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 3. Numărul a este egal cu:

1M e pe grafic, deci coordonatele lui verifică formula: pune −2 în locul lui x și 9 în locul lui f(x).

2Ai o ecuație în a: a · (−2) + 3 = 9. Trece-l pe 3 dincolo, cu semn schimbat.

3La −2a = 6, împarți la −2. Ce semn iese?

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.4 · 14 din 79

Știi pe unde trece graficul, dar o coordonată lipsește. Formula ți-o dă imediat.

Cerință2.2.4 Centura galbenă

Determină numărul real m astfel încât punctul P(4, m) să aparțină graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 9.

1Ce coordonată a lui P cunoști? Pe aceea o pui în formulă.

2Ordonata unui punct de pe grafic este valoarea funcției în abscisa lui. Deci m = f(4).

3Calculează −2 · 4 + 9. Atenție: produsul e negativ, apoi aduni 9.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.5 · 15 din 79

Acum lipsește abscisa. Pui 10 în locul lui f(x) și rezolvi o ecuație de gradul I.

Cerință2.2.5 Centura galbenă

Determină numărul real t astfel încât punctul Q(t, 10) să aparțină graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 2.

1Care coordonată lipsește: prima sau a doua? De data asta lipsește cea care intră în formulă.

2Ordonata e 10, deci f(t) = 10: scrie 4t − 2 = 10 și rezolvă.

3La 4t − 2 = 10, −2 trece dincolo ca +2. Apoi împarți la 4.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.6 · 16 din 79

Afli coeficientul din punctul dat, apoi verifici. Verificarea face parte din răspuns.

Cerință2.2.6 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 7, trece prin punctul A(−3, 1). a) Determină numărul a. b) Scrie funcția și verifică rezultatul obținut.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 3 și y între -2 și 10; 2 puncte marcate.

1Punctul e pe grafic, deci coordonatele lui verifică formula: −3 în locul lui x, între paranteze, și 1 în locul lui f(x).

2Ai −3a + 7 = 1. Trece-l pe 7 dincolo, cu semn schimbat.

3După ce ai a, scrie funcția completă și pune −3 în ea: trebuie să iasă 1.

a) a =

b) f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.2.7 · 17 din 79

Un exercițiu de sortare: ai o listă de perechi și o regulă. Păstrezi doar perechile care respectă regula.

Cerință2.2.7 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 și perechile (0, 3), (1, 5), (2, 8), (−1, 1), (4, 11). a) Câte dintre perechi reprezintă puncte ale graficului funcției? b) Scrie perechea care nu aparține graficului.

1Același test de cinci ori: primul număr intră în formulă, cu al doilea compari.

2La (−1, 1), pune −1 în paranteze: 2 · (−1) + 3.

3Testează-le pe toate cinci, chiar dacă după primele două ți se pare că ai înțeles regula.

a) numărul de perechi de pe grafic:

b) perechea care nu aparține:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.4 · 18 din 79

Formula e scrisă „pe dos”, cu termenul liber în față. Pune-o în ordine și cele două întrebări se răspund singure.

Cerință2.3.4 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 − 3x, intersectează axa Oy în punctul P, iar valorile funcției, atunci când x crește:

1Scrie formula ca „un număr ori x, plus un număr”: 4 − 3x devine −3x + 4.

2Termenul liber e cel fără x. El dă punctul de pe Oy: (0, b).

3Coeficientul lui x e −3, cu minus. Ce face dreapta când a e negativ?

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.5 · 19 din 79

Formula are înăuntru o literă necunoscută, m. Punctul de pe axa Oy ți-l dă pe m, iar m îți spune apoi încotro merge dreapta.

Cerință2.3.5 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m − 1)x + m + 5, unde m este un număr real. Graficul funcției intersectează axa Oy în punctul (0, 8). a) Determină numărul m. b) Pentru m găsit, valorile funcției cresc sau scad atunci când x crește?

1Cine e termenul liber în formula asta? Tot ce nu e lipit de x.

2Punctul (0, 8) e pe Oy, deci f(0) = 8. Dar f(0) e chiar termenul liber: ai o ecuație în m.

3După ce ai m, calculează coeficientul lui x, 2m − 1, și uită-te la semnul lui.

a) m =

b) valorile funcției:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.6 · 20 din 79

De data asta nu primești formula, ci două informații despre ea: de unde pleacă și cu cât coboară la fiecare pas. Le traduci în a și b.

Cerință2.3.6 Centura galbenă

Despre funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(0) = −2 și că, de fiecare dată când x crește cu 1, valoarea funcției scade cu 3. a) Scrie funcția f. b) Graficul taie axa Oy deasupra sau dedesubtul originii?

1f(0) e un număr pe care îl cunoști. Ce coeficient din formulă e chiar f(0)?

2„Când x crește cu 1, valoarea scade cu 3” descrie un singur număr din formulă, cu semnul lui.

3Punctul de pe Oy e (0, b). Dacă b e negativ, unde stă punctul față de origine?

a) f(x) =

b) taie Oy deasupra sau dedesubtul originii?

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.7 · 21 din 79

Din clasa a VI-a știi mărimile direct proporționale: dacă una se dublează, se dublează și cealaltă. Acum le recunoști printre funcțiile lecției.

Cerință2.3.7 Centura galbenă

Care dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, descrie două mărimi direct proporționale?

1Dacă dublezi x, se dublează și valoarea? Încearcă la fiecare variantă cu x = 1 și x = 2.

2La mărimi direct proporționale, graficul trece prin origine: f(0) = 0. Ce înseamnă asta pentru b?

3Ai nevoie de b = 0 și, în plus, de a ≠ 0. O singură variantă le are pe amândouă.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.8 · 22 din 79

La piață, să zicem că merele costă 6 lei kilogramul. Costul depinde de cantitate în felul cel mai simplu: de câte ori mai mult cumperi, de atâtea ori mai mult plătești.

Cerință2.3.8 Centura galbenă

Un kilogram de mere costă 6 lei. a) Scrie funcția f care dă costul, în lei, pentru x kilograme. b) Sunt costul și cantitatea mărimi direct proporționale? Răspunde cu da sau nu și spune de ce.

1Cât costă 0 kilograme? Dar 2 kilograme față de 1 kilogram?

2Nu există nicio sumă fixă care se plătește indiferent de cantitate. Ce înseamnă asta pentru b?

3Împarte costul la cantitate pentru câteva valori. Obții mereu același număr?

a) f(x) =

b) direct proporționale (da / nu):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.9 · 23 din 79

Aici nu știi nimic despre funcție, în afară de o comparație între două valori. Totuși, poți trage o concluzie sigură.

Cerință2.3.9 Centura galbenă

Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(1) < f(2). Este adevărat că a > 0? Justifică.

1Scrie f(1) și f(2) cu literele a și b, apoi calculează diferența f(2) − f(1). Ce rămâne?

2Rămâne doar a. Iar f(1) < f(2) spune ceva despre semnul diferenței.

3Dacă valoarea urcă de la x = 1 la x = 2, dreapta urcă. Ce semn are a la o dreaptă care urcă?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.10 · 24 din 79

De data asta nu există un singur răspuns bun: construiești tu un exemplu. Orice funcție care respectă ambele cerințe e corectă.

Cerință2.3.10 Centura galbenă

Dă un exemplu de funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctul (0, −3) și ale cărei valori cresc atunci când x crește.

1Două condiții, două numere de fixat. Punctul (0, −3) e pe Oy: ce îți spune despre b?

2„Valorile cresc” vorbește despre semnul lui a. Alege orice număr cu semnul potrivit.

3Verifică exemplul tău: f(0) trebuie să dea −3, iar f(1) trebuie să fie mai mare decât f(0).

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.11 · 25 din 79

Coeficientul lui x depinde aici de un număr necunoscut, m. Întrebarea devine o inecuație, ca la Lecția 4.

Cerință2.3.11 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (m − 3)x + 1, unde m este un număr real. Determină valorile lui m pentru care valorile funcției scad atunci când x crește.

1Cine e coeficientul lui x aici? Nu e un număr, e o expresie cu m.

2Valorile scad când coeficientul lui x e negativ. Scrie condiția ca inecuație.

3m − 3 < 0 se rezolvă ca orice inecuație de gradul I. Nu uita: 3 nu intră în soluție (acolo a = 0, funcția e constantă).

intervalul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.12 · 26 din 79

Când ia o funcție ax + b aceeași valoare pentru orice x? Gândește-te la ce face a.

Cerință2.3.12 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m + 1)x + 3, unde m este un număr real. Determină m astfel încât funcția să ia aceeași valoare pentru orice x.

1O funcție care dă mereu aceeași valoare nu „simte” pe x. Ce parte a formulei trebuie să dispară?

2Partea cu x dispare când coeficientul ei e 0. Scrie 2m + 1 = 0.

3Când treci 1 dincolo, schimbă-i semnul, apoi împarte la 2. Verifică: pune m-ul găsit în 2m + 1 și vezi dacă iese 0.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.3 · 27 din 79

Tăietura cu Ox, cu variante de ales. Atenție: una dintre ele e tăietura cu Oy, pusă acolo ca momeală.

Cerință2.4.3 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −4x + 10, intersectează axa Ox în punctul:

1Pe Ox valoarea funcției e 0. Scrie ecuația −4x + 10 = 0.

2Când treci 10 dincolo, schimbă-i semnul. Ce ecuație îți rămâne? Apoi împarți la coeficientul lui x, cu semnul lui cu tot.

3Trei variante au ordonata 0, cum are orice punct de pe Ox. Nu te lua nici după semn, nici după termenul liber: abscisa bună iese numai din ecuația −4x + 10 = 0.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.4 · 28 din 79

Ambele tăieturi deodată. Sunt exact punctele pe care le-ai alege ca să desenezi graficul.

Cerință2.4.4 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 12. Determină coordonatele punctelor A și B în care graficul funcției intersectează axa Ox, respectiv axa Oy.

1Două axe, două condiții: pe Ox, f(x) = 0; pe Oy, x = 0. Nu le încurca.

2Pentru A rezolvă −3x + 12 = 0. Pentru B calculează f(0): e mai ușor, citești b.

3A are ordonata 0 și B are abscisa 0. Dacă ți-au ieșit invers, le-ai schimbat între ele.

a) A, pe axa Ox:

b) B, pe axa Oy:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.5 · 29 din 79

Coeficient fracționar, dar metoda e aceeași. La final ai două puncte gata de desenat.

Cerință2.4.5 Centura galbenă

Determină punctele în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x/3 − 5, taie axele de coordonate, apoi trasează graficul folosind aceste două puncte.

1Pentru Ox: f(x) = 0. Pentru Oy: x = 0. Începe cu cea mai ușoară, Oy.

2La 5x/3 − 5 = 0, treci −5 dincolo și apoi scapă de numitor înmulțind cu 3.

3După ce ai scăpat de numitor, împarte la coeficientul lui x. Verifică: pune abscisa găsită în formulă; trebuie să dea 0.

a) punctul de pe Ox:

b) punctul de pe Oy:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.6 · 30 din 79

Semne negative peste tot. Lucrează încet și verifică la final că punctele chiar stau pe axe.

Cerință2.4.6 Centura galbenă

Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −x/4 − 3, taie axele de coordonate.

1Începe cu Oy, e cea ușoară: f(0) e termenul liber.

2Pentru Ox: −x/4 − 3 = 0. Treci −3 dincolo ca +3; apoi ai −x/4 = 3.

3Ca să scapi și de fracție, și de minus deodată, înmulțește ambii membri cu −4.

a) punctul de pe Ox:

b) punctul de pe Oy:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.7 · 31 din 79

Încă o dată ambele tăieturi, pentru o funcție cu coeficienți pozitivi. Observă unde cade punctul de pe Ox.

Cerință2.4.7 Centura galbenă

Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 6, taie axele de coordonate.

1Pe Ox pui f(x) = 0; pe Oy pui x = 0.

2La 2x + 6 = 0, termenul 6 trece dincolo ca −6. Abscisa iese negativă: e în regulă, dreapta urcă și taie Ox la stânga.

3Pe Oy nu ai nimic de rezolvat: f(0) e termenul liber.

a) punctul de pe Ox:

b) punctul de pe Oy:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.8 · 32 din 79

Două întrebări despre aceeași funcție: întâi calculezi valori, apoi cauți x-ul la care valoarea e 0. A doua îți dă chiar abscisa punctului în care dreapta taie axa Ox.

Cerință2.4.8 Centura galbenă

Se dă funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 5. a) Calculează f(3). b) Calculează f(−4). c) Determină numărul real x pentru care f(x) = 0.

1La a) și b) pui numerele în locul lui x. La −4, paranteze.

2La c) nu știi x, știi valoarea: 0. Scrie 2x + 5 = 0.

3Când treci 5 dincolo, schimbă-i semnul. Împarte apoi la 2 și verifică: pune rezultatul în formulă și vezi dacă iese 0.

a) f(3) =

b) f(−4) =

c) x pentru care f(x) = 0:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.4 · 33 din 79

Interval închis la stânga și deschis la dreapta: un capăt se desenează plin, celălalt gol. Care e care?

Cerință2.5.4 Centura galbenă

Se consideră funcția f : [−2, 3) → ℝ, f(x) = −2x + 1. a) Calculează f(−2). b) Aplicând legea funcției și în capătul 3, află unde se termină figura și precizează care dintre cele două capete ale ei aparține graficului.

1La a), pune −2 în paranteze: −2 · (−2) + 1.

2Parantezele intervalului [−2, 3): pătrată la stânga, rotundă la dreapta. Ce înseamnă fiecare pentru capăt?

3Calculează și ce ar da formula în 3, ca să știi unde se termină desenul; dar punctul acela se desenează gol.

a) f(−2) =

b) care capăt aparține graficului:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.5 · 34 din 79

Domeniul are un capăt la stânga, dar la dreapta merge la nesfârșit. Ce figură are un singur capăt?

Cerință2.5.5 Centura galbenă

Se consideră funcția f : [1, +∞) → ℝ, f(x) = 3x − 2. a) Ce figură este graficul funcției? b) Determină originea acestei figuri.

1Are intervalul [1, +∞) un capăt în dreapta? Simbolul +∞ nu e un număr.

2O bucată de dreaptă cu un singur capăt are un nume din clasa a VI-a.

3Capătul figurii e la x = 1. Calculează f(1) ca să-i afli ordonata.

a) ce figură este graficul:

b) originea figurii:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.6 · 35 din 79

De data asta domeniul e un interval cu paranteze rotunde la ambele capete. Ce se schimbă la desen?

Cerință2.5.6 Centura galbenă

Se consideră funcția f : (1, 5) → ℝ, f(x) = −x + 6. a) Ce figură este graficul funcției? b) Care sunt capetele acestei figuri? c) Aparțin capetele graficului?

1Domeniul e un interval mărginit: ce figură dă?

2Capetele figurii sunt la x = 1 și x = 5; calculează f în fiecare, ca să știi unde se oprește desenul.

3La c): parantezele sunt rotunde, deci 1 și 5 nu sunt în domeniu. Cum desenezi atunci capetele?

a) figura:

b) capetele (le scrii pe amândouă):

c) aparțin capetele graficului? (da / nu)

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.7 · 36 din 79

Domeniul e dat printr-o proprietate a elementelor, ca la lecția despre mulțimi, iar din interval păstrezi doar numerele întregi, ca la lecția despre intervale. Scrie-l întâi element cu element.

Cerință2.5.7 Centura galbenă

Se consideră funcția f : D → ℝ, f(x) = −x + 3, unde D = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 2}. a) Scrie elementele mulțimii D. b) Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi.

1Scrie întâi numerele întregi de la −2 până la 2, apoi verifică fiecare capăt: ≤ la stânga, < la dreapta.

2Pentru fiecare element al lui D calculează f. La numerele negative, −x devine pozitiv.

3Graficul are exact atâtea perechi câte elemente are D.

a) elementele lui D:

b) graficul, ca mulțime de perechi:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.5.8 · 37 din 79

O rampă adevărată are un început și un sfârșit. De aceea domeniul este [0, 6], nu tot ℝ.

Cerință2.5.8 Centura galbenă

O rampă de încărcare pentru camioane are lungimea orizontală de 6 metri. Înălțimea ei deasupra solului, la distanța x metri de capătul de jos, este dată de f : [0, 6] → ℝ, f(x) = x/4. a) Determină capetele graficului în planul xOy. b) La ce înălțime ajunge rampa la capătul de sus?

1Rampa începe la x = 0 și se termină la x = 6. Calculează f în amândouă.

26/4 se simplifică. Scrie-l ca fracție ireductibilă sau ca zecimal, cum vrei.

3Înălțimea de la capătul de sus e a doua coordonată a capătului din dreapta.

a) capetele graficului:

b) înălțimea la capătul de sus (m):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.3 · 38 din 79

Două condiții, niciuna în 0: scrii sistemul, afli a și b, apoi cauți perechea potrivită printre cele patru variante.

Cerință3.1.3 Centura galbenă

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, îndeplinește condițiile f(1) = 2 și f(−2) = 11. Atunci:

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -4 și 3 și y între -2 și 13; 2 puncte marcate.

1Fiecare condiție e un punct de pe grafic: (1, 2) și (−2, 11). Scrie câte o ecuație pentru fiecare.

2Ai a + b = 2 și −2a + b = 11. Scade-le: b dispare și rămâne a.

3Ai a? Pune-l în a + b = 2 și află b. La final, verifică perechea aleasă în amândouă condițiile.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.4 · 39 din 79

Două valori date, o funcție de aflat. Una dintre ele îți dă b pe loc. Care?

Cerință3.1.4 Centura galbenă

Determină funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, știind că f(0) = 3 și f(2) = 7.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 5 și y între -2 și 10; 2 puncte marcate.

1Care dintre cele două condiții are x = 0? Ea îți dă unul dintre coeficienți fără niciun calcul.

2Cu b = 3, condiția f(2) = 7 devine 2a + 3 = 7.

3Cerința e funcția completă, nu doar a. Scrie f(x) = … și verifică ambele condiții.

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.5 · 40 din 79

O condiție îți dă b pe loc, fără niciun calcul: cea cu punctul de pe Oy. Cu b aflat, cealaltă îți dă a.

Cerință3.1.5 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, intersectează axa Oy în punctul (0, −2) și trece prin punctul (1, 3). Determină numerele a și b.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 3 și y între -4 și 6; 2 puncte marcate.

1Punctul de pe Oy are abscisa 0. Ce îți spune ordonata lui despre formulă?

2Cu b = −2, pune punctul (1, 3) în formulă: a · 1 − 2 = 3.

3La a − 2 = 3, termenul −2 trece dincolo ca +2.

a) a =

b) b =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.6 · 41 din 79

Același drum ca în lecție, cu alte două puncte. De data asta îl parcurgi tu, cap-coadă: două ecuații, un sistem.

Cerință3.1.6 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin punctele A(2, 3) și B(4, 11). Determină numerele a și b.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 6 și y între -8 și 14; 2 puncte marcate.

1Fiecare punct dă o ecuație: abscisa în locul lui x, ordonata în dreapta. Scrie-le pe amândouă.

2Ai 2a + b = 3 și 4a + b = 11. Ce se întâmplă cu b dacă scazi prima ecuație din a doua?

3După ce ai a, pune-l în 2a + b = 3 și află b; iese negativ. Verifică la final cu ambele puncte.

a) a =

b) b =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.7 · 42 din 79

Puncte cu coordonate negative, dar metoda e aceeași: două ecuații, un sistem. Uită-te la coeficienții lui a din cele două ecuații înainte să alegi ce faci cu ele.

Cerință3.1.7 Centura galbenă

Punctele A(−2, 7) și B(2, −1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Determină funcția f.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -4 și 4 și y între -4 și 10; 2 puncte marcate.

1Scrie câte o ecuație pentru fiecare punct. La A, abscisa e −2: a · (−2) + b = 7.

2Uită-te la termenii cu a din cele două ecuații: −2a și 2a. Ce operație îi face să dispară?

3După ce ai b, pune-l într-una dintre ecuații ca să afli a. Verifică la final cu ambele puncte.

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.8 · 43 din 79

O condiție e dată printr-o valoare, cealaltă prin punctul în care graficul taie axa Oy. Tradu-o pe a doua în limbajul formulei: cât e b?

Cerință3.1.8 Centura galbenă

Determină funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, știind că f(1) = 4 și că graficul ei intersectează axa Oy în punctul (0, −1).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 3 și y între -4 și 8; 2 puncte marcate.

1Punctul de pe Oy are abscisa 0. Care dintre a și b e ordonata lui?

2Cu b = −1, condiția f(1) = 4 devine a − 1 = 4.

3Atenție la semn când treci −1 dincolo: devine +1.

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.9 · 44 din 79

Știi unde taie dreapta ambele axe. E suficient ca s-o afli complet.

Cerință3.1.9 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, taie axa Ox în punctul (5, 0) și axa Oy în punctul (0, −10). Determină funcția f.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -2 și 7 și y între -12 și 4; 2 puncte marcate.

1Care dintre cele două puncte îți dă b direct? Cel cu abscisa 0.

2Cu b = −10, pune punctul (5, 0) în formulă: 5a − 10 = 0.

3Dreapta urcă (pleacă de la −10 pe Oy și ajunge la 0 la x = 5). Ce semn aștepți pentru a?

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.4 · 45 din 79

Din desen poți citi nu doar valori, ci și semnele coeficienților. Uită-te unde taie dreapta axa Oy și încotro merge.

Cerință3.2.4 Centura galbenă

În desen este graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Ce semne au a și b?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 8 și y între -2 și 6; graficul unei funcții.

1Două lucruri de citit pe desen: unde taie dreapta axa Oy și dacă urcă sau coboară.

2Punctul de pe Oy e deasupra sau dedesubtul originii? Asta e semnul lui b.

3Mergi cu ochii de la stânga la dreapta pe dreaptă: urci sau cobori? Asta e semnul lui a.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.5 · 46 din 79

Acum citești un semn, nu o valoare: unde e segmentul deasupra axei Ox?

Cerință3.2.5 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ este segmentul pe care sunt marcate punctele A(−3, 5), C(0, 2), D(2, 0) și B(4, −2). Determină, citind de pe grafic, valorile lui x din domeniu pentru care f(x) > 0.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1f(x) > 0 înseamnă „graficul e deasupra axei Ox”. Uită-te unde e segmentul deasupra.

2Segmentul trece de pe o parte pe cealaltă a axei Ox într-un singur punct marcat. Care?

3Nu uita capetele: domeniul începe la −3 (inclus), iar la 2 valoarea e 0, nu mai mare decât 0.

intervalul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.6 · 47 din 79

Urmărește segmentul de la stânga la dreapta, ca pe o potecă: urcă sau coboară?

Cerință3.2.6 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ este segmentul cu capetele A(−3, 5) și B(4, −2). a) Ce se întâmplă cu valorile funcției atunci când x crește de la −3 la 4? b) Precizează cea mai mare valoare luată de funcție. c) Precizează cea mai mică valoare luată de funcție.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 2 puncte marcate.

1Pune degetul pe A și mergi spre B. Degetul urcă sau coboară?

2Dacă segmentul coboară, unde e punctul cel mai înalt: la stânga sau la dreapta?

3Cea mai mare și cea mai mică valoare sunt ordonatele capetelor, nu abscisele lor.

a) ce fac valorile când x crește:

b) cea mai mare valoare:

c) cea mai mică valoare:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.7 · 48 din 79

O ecuație și o inecuație rezolvate doar din privire: una pe orizontală, cealaltă după semn.

Cerință3.2.7 Centura galbenă

Se folosește graficul funcției f : [−3, 4] → ℝ, segmentul pe care sunt marcate punctele A(−3, 5), C(0, 2), D(2, 0) și B(4, −2). Rezolvă, citind de pe grafic: a) ecuația f(x) = 2; b) inecuația f(x) < 0.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 6 și y între -4 și 7; 4 puncte marcate.

1La a), pornești de pe axa Oy, de la 2, și mergi orizontal până lovești segmentul. Apoi cobori pe Ox.

2La b), f(x) < 0 înseamnă „graficul e sub axa Ox”. De unde până unde e sub ea?

3Capetele: la 2 valoarea e exact 0, deci nu intră; la 4 domeniul se termină și valoarea e negativă, deci intră.

a) soluția ecuației f(x) = 2:

b) soluțiile inecuației f(x) < 0:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.8 · 49 din 79

Două lucruri: formula scoasă din desen și o verificare tot pe desen. Dacă se potrivesc, ai lucrat bine.

Cerință3.2.8 Centura galbenă

Graficul funcției f : [0, 5] → ℝ este segmentul cu capetele P(0, 1) și Q(5, 6). a) Determină formula funcției. b) Verifică rezultatul citind de pe grafic valoarea f(3), știind că pe segment este marcat și punctul (3, 4).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -1 și 8; 3 puncte marcate.

1Unul dintre capete e pe axa Oy. Ce coeficient îți dă?

2Cu b = 1, pune celălalt capăt în formulă: 5a + 1 = 6.

3La b), compară două lucruri: ce dă formula în 3 și ce arată punctul marcat (3, 4).

a) f(x) =

b) f(3) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.9 · 50 din 79

Graficul din desen nu e o linie, ci câteva puncte separate. Ce poți afla despre funcție doar privindu-le?

Cerință3.2.9 Centura galbenă

În desen este graficul unei funcții f definite pe o mulțime finită, cu legea de forma f(x) = ax + b. Graficul are punctele (−1, −3), (0, −1), (1, 1) și (2, 3). a) Scrie domeniul funcției. b) Scrie legea funcției.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 4 și y între -5 și 5; 4 puncte marcate.

1Domeniul e mulțimea numerelor de la care pleacă săgețile, adică abscisele punctelor.

2Punctul cu abscisa 0 îți dă b. Apoi uită-te cu cât urcă ordonata de la un punct la următorul.

3Verifică formula pe toate cele patru puncte, nu doar pe două.

a) D =

b) f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.10 · 51 din 79

Reamintire din clasa a VII-a: un grafic cu linii, cum vezi la știri la vreme. Nu e o dreaptă, dar se citește exact la fel: urci din oră până la linie, apoi mergi la stânga și citești gradele.

Cerință3.2.10 Centura galbenă

În desen este graficul temperaturii dintr-o zi de primăvară, un grafic cu linii (o linie frântă): la orele 6, 9, 12, 15 și 18 s-au înregistrat 4, 8, 14, 13 și, respectiv, 8 grade Celsius, iar punctele vecine sunt unite cu segmente. a) Ce temperatură era la ora 12? b) Între care două ore consecutive de măsurare a crescut temperatura cel mai mult? c) La ce ore de măsurare temperatura a fost de 8 grade?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 4 și 20 și y între 0 și 16; 5 puncte marcate.

1La a), pornește de la ora 12 pe axa orizontală, urcă până la linie și citește pe axa verticală.

2La b), compară segmentele care urcă: care e cel mai abrupt? Poți și să scazi temperaturile vecine.

3La c), trage o linie orizontală la 8 grade. Prin câte puncte marcate trece?

a) temperatura la ora 12 (°C):

b) între care ore a crescut cel mai mult:

c) la ce ore era 8 °C:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.4 · 52 din 79

Același calcul ca în lecție, cu alte două drepte. De data asta e al tău. Nu te opri la x.

Cerință3.3.4 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 5. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează cele două formule: în punctul comun, f(x) = g(x).

2Adună termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă; schimbă semnul la ce treci dincolo.

3Ai aflat x. Un punct are două coordonate: pune x într-una dintre funcții și află y.

a) x =

b) y =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.5 · 53 din 79

Aici vezi legătura cu sistemele din clasa a VII-a: punctul comun e chiar soluția sistemului.

Cerință3.3.5 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 și g(x) = x − 4. a) Determină punctul comun al graficelor. b) Scrie sistemul de două ecuații cu două necunoscute a cărui soluție este dată de coordonatele acestui punct.

1La a), egalează formulele și rezolvă. Atenție: iese un x negativ.

2Ai aflat x? E negativ; pune-l, cu paranteze, într-una dintre formule ca să afli ordonata.

3La b), fiecare funcție se scrie ca o ecuație în x și y: y = f(x) și y = g(x). Puse una sub alta, dau sistemul.

a) punctul comun:

b) sistemul de ecuații:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.6 · 54 din 79

Afli punctul comun, apoi îl verifici în ambele formule. Dacă iese în amândouă, nu ai cum să greșești.

Cerință3.3.6 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 3 și g(x) = −2x + 9. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții și verifică rezultatul în ambele formule.

1Egalează formulele: x + 3 = −2x + 9. Termenul −2x trece dincolo ca +2x.

2Ai x = 2? Pune-l în f și află y.

3Verificarea cere să pui x = 2 și în g. Trebuie să iasă același y.

a) x =

b) y =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.7 · 55 din 79

Sistemele de două ecuații din clasa a VII-a au acum și o imagine: fiecare ecuație e o dreaptă, iar soluția e locul în care se întâlnesc.

Cerință3.3.7 Centura galbenă

Rezolvă sistemul { y = 2x − 3 ; y = −x + 6 } și interpretează geometric soluția.

1Amândouă ecuațiile îl dau pe y. Ce obții dacă egalezi cele două expresii?

2Rezolvă 2x − 3 = −x + 6, apoi află y din oricare ecuație.

3Fiecare ecuație e graficul unei funcții. Ce reprezintă atunci perechea (x, y) pe desen?

a) x =

b) y =

c) interpretarea geometrică:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.8 · 56 din 79

Una dintre funcții trece prin origine, pentru că nu are termen liber. Nu schimbă nimic la metodă.

Cerință3.3.8 Centura galbenă

Determină, prin rezolvarea unei ecuații, coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x/5 și g(x) = −2x + 12.

1Egalează: 2x/5 = −2x + 12. Fracția te încurcă? Înmulțește toată egalitatea cu 5.

2După înmulțire: 2x = −10x + 60. Adu termenii cu x în stânga.

3Ai aflat x? Pune-l în f, care e mai simplă, și află ordonata; apoi verifică și cu g.

a) x =

b) y =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.9 · 57 din 79

Uneori poți răspunde fără niciun calcul, doar privind formulele. Uită-te la coeficienții lui x.

Cerință3.3.9 Centura galbenă

Fără să rezolvi sistemul, precizează câte puncte comune au graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 și g(x) = 2x − 4. Ce înseamnă acest lucru pentru sistemul { y = 2x + 1 ; y = 2x − 4 }?

1Ce au la fel cele două formule? Ce înseamnă asta pentru direcția celor două drepte?

2Două drepte cu aceeași direcție, dar care pleacă din puncte diferite de pe Oy: se întâlnesc vreodată?

3Dacă ai încerca ecuația 2x + 1 = 2x − 4, ce ar rămâne după ce scazi 2x din ambele părți?

a) numărul de puncte comune:

b) ce înseamnă pentru sistem:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.10 · 58 din 79

Două grafice în același desen. Fără niciun calcul, desenul îți spune unde se întâlnesc și când una dintre funcții e mai mică decât cealaltă.

Cerință3.3.10 Centura galbenă

În desen sunt graficele funcțiilor f, g : [0, 6] → ℝ, f(x) = x + 1 și g(x) = −x + 5. Citind de pe grafic: a) scrie coordonatele punctului comun; b) scrie mulțimea valorilor lui x pentru care f(x) < g(x).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -2 și 8; graficele a 2 funcții.

1La a), uită-te unde se taie cele două drepte și citește coordonatele; apoi verifică-le în ambele formule.

2La b), f(x) < g(x) înseamnă „dreapta lui f e sub dreapta lui g”. Pe care parte a punctului comun se întâmplă asta?

3Nu uita domeniul [0, 6] și faptul că în punctul comun valorile sunt egale, nu mai mici.

a) punctul comun:

b) f(x) < g(x) pentru x ∈

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.11 · 59 din 79

Trei drepte. Afli unde se întâlnesc primele două, apoi verifici dacă trece și a treia pe acolo.

Cerință3.3.11 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4, g(x) = x + 2 și h(x) = 2x − 1. a) Determină abscisa punctului A de intersecție a graficelor funcțiilor f și g. b) Determină ordonata punctului A. c) Arată că punctul A aparține și graficului funcției h.

1La a), lucrezi doar cu f și g: egalează-le și rezolvă.

2Ai x = 3? Ordonata o iei din f sau din g; trebuie să iasă la fel.

3La c), nu rezolvi nimic nou: pune abscisa lui A în h și compară cu ordonata lui A.

a) abscisa lui A:

b) ordonata lui A:

c) arată, prin calcul, că A e și pe graficul lui h:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.3.12 · 60 din 79

Încă o intersecție, cu un coeficient negativ. Egalezi, rezolvi, calculezi ordonata.

Cerință3.3.12 Centura galbenă

Se dau funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5 și g(x) = −2x + 10. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează formulele. Termenul −2x trece în stânga ca +2x, iar −5 trece în dreapta ca +5.

2După grupare, în stânga rămân toți termenii cu x, în dreapta un singur număr. Câți x ai în stânga și ce număr ai în dreapta? Împarte apoi la coeficientul lui x și află ordonata.

3Verifică ordonata în ambele formule: dacă diferă, revezi calculul.

a) x =

b) y =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.4 · 61 din 79

La examen pot fi și patru puncte, nu doar trei. Aici sunt patru, iar unul strică alinierea; găsește-l.

Cerință3.4.4 Centura galbenă

Se consideră punctele A(0, 1), B(1, 3), C(3, 7) și D(4, 10). Dintre ele, trei sunt coliniare, iar unul nu se află pe dreapta celorlalte trei. Care este acest punct?

1Alege două puncte și află dreapta prin ele. A are abscisa 0, deci îți dă b pe loc.

2Cu f(x) = 2x + 1, testează C și D. Care nu verifică?

3Dacă intrusul ar fi A sau B, dreapta prin C și D ar trebui să treacă prin celălalt. Verifică și așa, dacă vrei să fii sigur.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.5 · 62 din 79

Trei puncte, ca în teoria noțiunii, dar cu alte numere. Acum faci tu tot testul, pas cu pas.

Cerință3.4.5 Centura galbenă

Verifică dacă punctele A(−1, −1), B(1, 3) și C(3, 7) sunt coliniare.

1Fixează dreapta din două puncte: scrie câte o ecuație pentru A și pentru B.

2−a + b = −1 și a + b = 3: adună-le și b iese imediat.

3Ai dreapta prin A și B. Pune abscisa lui C în formula ei și compară rezultatul cu ordonata lui C.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.6 · 63 din 79

Aceeași întrebare, alte puncte. Scoate funcția din primele două, apoi fă proba cu al treilea.

Cerință3.4.6 Centura galbenă

Verifică dacă punctele M(0, 2), N(2, 6) și P(5, 11) sunt coliniare.

1M are abscisa 0: îți dă b direct. Apoi N îți dă a.

2Cu formula găsită din M și N, calculează valoarea în 5 și compară cu 11.

3Calculează f(5) cu formula găsită din M și N, apoi compară exact numerele: valoarea obținută și ordonata lui P. Coliniaritatea cere egalitate, nu „aproape”.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.7 · 64 din 79

Test de coliniaritate în care a nu iese număr întreg. Nu te speria de fracții.

Cerință3.4.7 Centura galbenă

Verifică dacă punctele A(−2, 1), B(0, 4) și C(4, 10) sunt coliniare.

1B are abscisa 0, deci b = 4 fără calcul. Folosește-l pe A ca să afli a.

2Din A: −2a + 4 = 1. Trece 4 dincolo, cu semnul schimbat, apoi împarte. Nu te opri dacă a nu iese număr întreg: aici așa trebuie să fie.

3Testează C: pune 4 în formula găsită și compară rezultatul cu ordonata lui C.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.8 · 65 din 79

Afli dreapta prin A și B, apoi pui x = 3 ca să afli cât trebuie să fie m.

Cerință3.4.8 Centura galbenă

Determină numărul real m pentru care punctele A(−1, 2), B(1, 6) și C(3, m) sunt coliniare.

1C are ordonata necunoscută, deci dreapta o fixezi din A și B.

2−a + b = 2 și a + b = 6: adună-le ca să-l afli pe b.

3C e pe dreaptă exact când m = f(3), unde f e formula găsită din A și B.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.4.9 · 66 din 79

Al treilea punct are abscisa necunoscută, nu ordonata. Tot din condiția de a fi pe dreaptă o afli.

Cerință3.4.9 Centura galbenă

Determină numărul real m pentru care punctele A(1, 3), B(3, 7) și C(m, 13) sunt coliniare.

1Fixează dreapta din A și B; C intră abia la final.

2Ai a + b = 3 și 3a + b = 7. Scade-le și află a.

3C e pe dreaptă când f(m) = 13, cu formula ta pentru f: o ecuație în m.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.3 · 67 din 79

Din cuvinte în formulă: care număr e fix și care se înmulțește cu x?

Cerință4.1.3 Centura galbenă

Abonamentul lunar la o sală de lectură costă 30 de lei, la care se adaugă 2 lei pentru fiecare carte împrumutată acasă. Suma de plată, în lei, pentru o lună în care s-au împrumutat x cărți este dată de funcția:

1Care sumă se plătește o singură dată, indiferent câte cărți împrumuți? Aceea e termenul liber.

2Care sumă se repetă la fiecare carte? Aceea se înmulțește cu x.

3Probează varianta aleasă cu un număr: pentru 0 cărți, cât plătești? Trebuie să iasă 30.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.4 · 68 din 79

Nu orice situație din viață se potrivește cu ax + b. Aici alegi situațiile care chiar se potrivesc, adică acelea în care ceva crește cu aceeași cantitate la fiecare pas.

Cerință4.1.4 Centura galbenă

Se consideră situațiile: a) perimetrul unui pătrat, în funcție de latura lui, x; b) aria unui pătrat, în funcție de latura lui, x; c) costul a x bilete de câte 25 de lei, la care se adaugă o taxă de rezervare de 10 lei. Care dintre ele se descriu printr-o funcție de forma f(x) = ax + b?

1Scrie formula pentru fiecare situație: perimetrul pătratului, aria pătratului, costul biletelor.

2În care formulă apare x la pătrat? Aceea nu e de forma ax + b.

3La c), 10 lei se plătesc o singură dată și 25 de lei la fiecare bilet. Recunoști forma?

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.5 · 69 din 79

Taxiul de la începutul lecției cere 5 lei la pornire și 2,50 lei pe kilometru. Aici, altă firmă, cu alt preț pe kilometru: scrii regula ei, apoi calculezi o cursă.

Cerință4.1.5 Centura galbenă

Firma de taxi „Săgeata” are alt tarif decât taxiul de la începutul lecției: 5 lei la pornire și încă 3,5 lei pentru fiecare kilometru parcurs. a) Scrie funcția f care dă suma de plată, în lei, pentru o cursă de x kilometri cu un taxi „Săgeata”. b) Calculează suma de plată pentru o cursă de 6 kilometri.

1Care sumă se plătește o singură dată, oricâți kilometri? Aceea e termenul liber.

2Care sumă se repetă la fiecare kilometru? Aceea se înmulțește cu x.

3La b), pune 6 în formulă: 3,5 · 6, apoi adaugă pornirea.

a) f(x) =

b) costul cursei de 6 km (lei):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.6 · 70 din 79

Tipografiile chiar lucrează așa: o sumă fixă pentru pregătire, apoi un preț pe fiecare bucată.

Cerință4.1.6 Centura galbenă

O tipografie cere 40 de lei pentru pregătirea unei comenzi și 3 lei pentru fiecare afiș tipărit. a) Scrie funcția C care dă costul comenzii, în lei, pentru x afișe. b) Cât costă o comandă de 25 de afișe? c) Câte afișe se pot tipări cu 190 de lei?

1Care cost se plătește o singură dată, oricâte afișe? Acela e termenul liber.

2La b), pune 25 în formulă. La c), nu știi x, știi costul: scrie C(x) = 190.

3La c), scade întâi pregătirea din 190, apoi împarte la prețul unui afiș.

a) C(x) =

b) costul pentru 25 de afișe (lei):

c) afișe cu 190 de lei:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.7 · 71 din 79

Un cicloturist care se îndepărtează de cabană cu viteză constantă. Întrebarea-cheie: ce joacă rolul lui b și ce joacă rolul lui a?

Cerință4.1.7 Centura galbenă

Un cicloturist se află la 12 km de cabană și pornește în linie dreaptă, îndepărtându-se de ea cu viteza constantă de 18 km/h. a) Scrie funcția d care dă distanța, în kilometri, până la cabană, după t ore de mers. b) După cât timp ajunge la 75 km de cabană? c) La ce distanță de cabană se află după o jumătate de oră?

1Unde e cicloturistul la t = 0? Nu la cabană. Numărul acela e termenul liber.

2Viteza spune cu cât crește distanța în fiecare oră: e coeficientul lui t.

3La b), scrie d(t) = 75 și rezolvă. La c), pune t = 1/2 în formulă.

a) d(t) =

b) după câte ore ajunge la 75 km:

c) distanța după o jumătate de oră (km):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Subiectul de sinteză 3 · 72 din 79

Îți mai aduci aminte ce spune fiecare număr din formulă? Unul pune punctul pe Oy, celălalt hotărăște sensul. Aici îți trebuie amândouă.

CerințăSubiectul de sinteză 3 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 6, este o dreaptă care intersectează axa Oy în punctul (0, 6), iar valorile funcției scad atunci când x crește. Aceleași două proprietăți le are și graficul funcției g : ℝ → ℝ, unde:

1Două condiții, două numere: punctul de pe Oy vorbește despre b, direcția despre semnul lui a.

2Elimină întâi variantele cu alt termen liber decât 6.

3Dintre cele rămase, păstreaz-o pe cea cu coeficientul lui x negativ.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Subiectul de sinteză 4 · 73 din 79

Două drepte, patru puncte candidate. Poți calcula sau poți proba fiecare variantă în ambele formule.

CerințăSubiectul de sinteză 4 Centura galbenă

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 4 și g(x) = 3x − 2, se intersectează în punctul:

1Egalează formulele și rezolvă; sau probează fiecare variantă în amândouă funcțiile.

2La (1, 5): f(1) = 5, bun; dar g(1) = 1, nu 5. Un punct comun trebuie să treacă ambele teste.

3Când scrii perechea, prima coordonată e x, cea pe care o afli din ecuație, iar a doua e valoarea funcției în ea. Uită-te la ordine înainte să alegi.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 · 74 din 79

Înainte să trecem mai departe, o afirmație despre dreaptă și cele două numere din formulă. Tu spui dacă e adevărată și, oricum ar fi, dai un exemplu sau un contraexemplu.

CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 Centura galbenă

Adevărat sau fals? „Dacă graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin originea O(0, 0), atunci a = 0.” Justifică printr-un exemplu sau printr-un contraexemplu.

1Ce înseamnă, pentru formulă, că graficul trece prin origine? Pune x = 0.

2Condiția obținută vorbește despre b. Afirmația vorbește despre a. Nu e același lucru.

3Caută o funcție cu b = 0 și a oricare, diferit de 0. Trece prin O? Atunci ai contraexemplul.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 · 75 din 79

Toată noțiunea într-un singur exercițiu: tăieturile cu axele, direcția dreptei și testul unui punct. Dacă îl poți face cap-coadă, ideea s-a legat.

CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 6. a) Determină punctele în care graficul taie axele de coordonate. b) Dreapta urcă sau coboară de la stânga la dreapta? c) Verifică dacă punctul M(4, −2) aparține graficului.

1La a), două condiții: f(x) = 0 pentru Ox, x = 0 pentru Oy.

2La b), nu desena: uită-te la semnul coeficientului lui x.

3La c), pune 4 în formulă și compară cu −2.

a) punctele de pe Ox și Oy:

b) urcă sau coboară:

c) M(4, −2) e pe grafic? (da / nu)

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 · 76 din 79

Aceeași lege, trei domenii. Formula nu se schimbă deloc; desenul, da. Asta e ultima piesă a noțiunii.

CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 Centura galbenă

Legea f(x) = x − 1 este dată pe trei domenii diferite: f₁ : ℝ → ℝ, f₂ : [0, 3] → ℝ și f₃ : {0, 1, 2} → ℝ. Pentru fiecare, precizează ce figură este graficul și scrie capetele ei (pentru f₂), respectiv punctele ei (pentru f₃).

1Nu te uita la formulă, e aceeași de trei ori. Uită-te la domeniu: ℝ, un interval, o mulțime finită.

2Pentru f₂, capetele sunt la x = 0 și x = 3: calculează f în fiecare.

3Pentru f₃, câte elemente are domeniul? Atâtea puncte are graficul, și nu le unești.

a) f₁ pe ℝ:

b) f₂ pe [0, 3]:

c) f₃ pe {0, 1, 2}:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 · 77 din 79

O afirmație care sună a adevăr. Verific-o cu ce știi despre drumul de la puncte la formulă și, dacă pică, arată-mi cu ce puncte pică.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 Centura galbenă

Este adevărată afirmația: „Prin orice două puncte distincte din planul xOy trece graficul unei funcții de forma f(x) = ax + b”? Răspunde cu da sau nu și justifică printr-un exemplu sau printr-un contraexemplu.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 5 și y între -1 și 7; 2 puncte marcate.

1Gândește-te la ecranul „De ce abscise diferite”. Ce se întâmplă cu sistemul când cele două puncte au aceeași abscisă?

2Alege două puncte unul deasupra celuilalt, de exemplu cu abscisa 2 amândouă. Ce ar trebui să fie f(2)?

3O dreaptă verticală: e ea graficul vreunei funcții? Câte valori ar avea funcția în acel x?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 · 78 din 79

De la desen la formulă și înapoi la desen: citești o valoare, scoți formula din două puncte, apoi verifici un al treilea punct. Toată noțiunea, într-un exercițiu.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 Centura galbenă

Graficul funcției f : [−1, 3] → ℝ este segmentul cu capetele P(−1, −1) și Q(3, 7); pe segment este marcat și punctul (1, 3). a) Citește de pe grafic f(1). b) Determină formula funcției. c) Este punctul R(5, 11) coliniar cu P și Q?

1La a), e un punct marcat chiar la abscisa 1. Citește-l.

2La b), capetele P și Q sunt două puncte cu abscise diferite: scrie sistemul și rezolvă-l. Verifică apoi cu punctul de la a).

3La c), pune abscisa lui R în formula dreptei PQ și compară cu ordonata lui. Întrebarea e despre dreaptă, nu despre segment.

a) f(1) =

b) f(x) =

c) R coliniar cu P și Q? (da / nu)

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 · 79 din 79

Trei puncte îți dau o dreaptă, o a doua dreaptă e dată prin formulă. Unde se întâlnesc și de unde încolo una dă valori mai mari decât cealaltă: ultimele două întrebări ale noțiunii.

CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 Centura galbenă

Punctele A(0, 1), B(2, 5) și C(4, 9) se află pe graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, iar g : ℝ → ℝ, g(x) = −x + 7. a) Determină funcția f. b) Determină punctul comun al graficelor lui f și g. c) Pentru ce valori ale lui x este g(x) > f(x)? (Pe desen: unde stă graficul lui g deasupra graficului lui f.)

1La a), A e pe Oy: b = 1 fără calcul. Folosește B pentru a și C ca verificare.

2La b), egalează formulele. Nu te mira dacă punctul comun e unul dintre punctele date.

3La c), alege un x la stânga punctului comun și compară f și g; apoi unul la dreapta.

a) f(x) =

b) punctul comun:

c) g(x) > f(x) pentru x ∈

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura galbenă · gata

Nivelul 2 din 6 · gata

Ai terminat centura galbenă

Ai rezolvat 0 din 79. Urmează centura verde.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura verde

Nivelul 3 din 6 · Lecția 11

Centura verde

Subiectul III de la Evaluarea Națională.

Probleme care cer raționament, nu doar calcul.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.1.7 · 1 din 29

Cineva a desenat graficul, dar a pus un punct anapoda. Faci tu pe profesorul: găsește intrusul și spune cum trebuia să fie.

Cerință2.1.7 Centura verde

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 5. a) Calculează f(0) și f(4) și scrie coordonatele celor două puncte prin care trasezi graficul funcției. b) Un coleg a marcat în planul xOy punctele P(1, 3), Q(2, 1) și R(3, 0) și le-a unit, spunând că a obținut graficul funcției f. Arată că unul dintre cele trei puncte nu aparține graficului. c) Scrie ordonata pe care ar fi trebuit să o aibă acel punct.

1La a), pune 0 și apoi 4 în locul lui x. Scrie punctele ca (x, f(x)).

2La b), nu te uita la desen, verifică prin calcul: pentru fiecare punct, calculează f în abscisa lui și compară cu ordonata.

3Ordonatele colegului scad (3, 1, 0), deci „pare” corect. Dar scad cu cât? De la x la x + 1, f trebuie să scadă mereu cu același număr.

a) punctele pentru x = 0 și x = 4:

b) punctul care nu e pe grafic:

c) ordonata pe care trebuia să o aibă acel punct:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.3.13 · 2 din 29

Două rampe pornesc din același loc. Sunt mai abrupte decât rampele adevărate, să zicem, ca să se vadă bine diferența dintre ele. Care urcă mai abrupt se vede din a, dar aici a e fracție și trebuie să compari fracții. La final afli și unde ajunge una cu 3 metri deasupra celeilalte.

Cerință2.3.13 Centura verde

Două rampe pornesc de la aceeași înălțime. Înălțimile lor, în metri, la distanța x metri de start, sunt f(x) = x/5 + 1 și g(x) = x/2 + 1, cu x număr real, x ≥ 0. a) Determină înălțimea comună de pornire. b) Care rampă urcă mai repede? Justifică. c) La ce distanță de start rampa g este cu 3 metri mai sus decât rampa f?

1Înălțimea de pornire e la x = 0. Calculează f(0) și g(0).

2La b), compară 1/5 cu 1/2 aducându-le la același numitor. Nu te lua după numitorul mai mare.

3La c), diferența g(x) − f(x) trebuie să fie 3: x/2 − x/5 = 3. Numitorul comun e 10.

a) înălțimea comună de pornire (m):

b) care rampă urcă mai repede și de ce:

c) distanța la care g e cu 3 m mai sus (m):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.9 · 3 din 29

Un matematician nu crede o afirmație doar pentru că „de obicei” e adevărată. Dacă găsește un singur exemplu care o contrazice, afirmația e falsă. Exemplul acela se numește contraexemplu.

Cerință2.4.9 Centura verde

Este adevărată afirmația: „Graficul oricărei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere reale oarecare (inclusiv a = 0), intersectează axa Ox”? Justifică răspunsul.

1Afirmația spune „oricare”. Ca s-o dărâmi, îți ajunge o singură funcție care n-o respectă.

2Ce fel de dreaptă nu ajunge niciodată la axa Ox? Gândește-te la direcția ei.

3Enunțul îți permite a = 0. Ia o funcție constantă, diferită de 0, și încearcă să rezolvi f(x) = 0.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 2.4.10 · 4 din 29

Dreapta și cele două axe închid un triunghi. Ca la subiectul III de la Evaluarea Națională: tăieturile, apoi aria și perimetrul.

Cerință2.4.10 Centura verde

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x/4 + 3. Graficul funcției intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B, iar O este originea reperului. a) Determină coordonatele punctelor A și B. b) Calculează aria triunghiului OAB. c) Calculează perimetrul triunghiului OAB.

1Tăieturile se află ca de obicei: pe Ox f(x) = 0, pe Oy x = 0. La prima, scapă de numitor înmulțind cu 4.

2Ce fel de unghi au axele între ele? Triunghiul OAB are un unghi drept în O, iar catetele sunt pe axe.

3Pentru AB îți trebuie teorema lui Pitagora: catetele sunt lungimile OA și OB, pe care le ai de la a). Apoi adună cele trei laturi.

a) A și B:

b) aria triunghiului OAB:

c) perimetrul triunghiului OAB:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.1.10 · 5 din 29

Problema celor două bonuri de taxi, dar la un atelier de reparații: nu știi tariful, ai doar două facturi.

Cerință3.1.10 Centura verde

Un atelier de reparații cere o taxă fixă de deplasare, la care adaugă o sumă fixă pentru fiecare oră de lucru. Pentru o intervenție de 2 ore s-au plătit 190 de lei, iar pentru una de 5 ore s-au plătit 385 de lei. Suma de plată pentru x ore de lucru este f(x) = ax + b. a) Determină numărul a. b) Determină numărul b. c) Calculează suma de plată pentru o intervenție de 3 ore.

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 0 și 8 și y între 0 și 600; 2 puncte marcate.

1Fiecare factură e o pereche (ore, lei), adică un punct de pe grafic. Scrie condiția de apartenență pentru fiecare.

2Ai 2a + b = 190 și 5a + b = 385. Taxa de deplasare, b, apare o singură dată în fiecare: scade ecuațiile și dispare.

3Diferența dintre facturi, 195 lei, s-a plătit pentru 3 ore în plus. Cât costă o oră?

a) a, lei pe oră:

b) b, taxa de deplasare (lei):

c) costul pentru 3 ore (lei):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 3.2.11 · 6 din 29

În sere, aparatele înregistrează temperatura toată noaptea, ca să se știe când trebuie pornită încălzirea. Unele răspunsuri le citești direct de pe grafic. Pentru cel care nu e marcat, afli întâi formula din două puncte.

Cerință3.2.11 Centura verde

Într-o seră, un aparat înregistrează temperatura și o afișează pe un grafic. Graficul temperaturii, în grade Celsius, după x ore de la ora 20:00, este un segment pe care sunt marcate punctele (0, 18), (2, 15) și (6, 9), pentru x ∈ [0, 6]. a) Citește de pe grafic temperatura după 2 ore. b) După câte ore temperatura ajunge la 12 grade? c) Cu câte grade scade temperatura în cele 6 ore?

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între 0 și 7 și y între 0 și 20; 3 puncte marcate.

1La a), e un punct marcat cu abscisa 2. Citește-i a doua coordonată.

2La b), 12 grade nu e marcat. Află formula dreptei din două puncte marcate, apoi rezolvă f(x) = 12.

3La c), nu răspunzi cu temperatura finală, ci cu cât a scăzut: de la cât la cât?

a) temperatura după 2 ore (°C):

b) după câte ore ajunge la 12 °C:

c) cu câte grade scade în 6 ore:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.8 · 7 din 29

Două centre de închiriere cu tarife diferite. Matematica îți spune care e mai avantajos, după câte ore folosești bicicleta.

Cerință4.1.8 Centura verde

Două puncte de închiriere de biciclete au tarife diferite. La primul se plătesc 10 lei taxă de acces și 4 lei pentru fiecare oră de folosire. La al doilea se plătesc 22 de lei taxă de acces și 2 lei pentru fiecare oră. a) Scrie funcțiile f și g care dau costul, în lei, pentru x ore de folosire, la primul și la al doilea punct. b) Determină numărul de ore pentru care costul este același la cele două puncte și costul respectiv. c) Stabilește care punct este mai avantajos pentru o folosire de 8 ore.

1La fiecare tarif: taxa de acces e termenul liber, prețul pe oră e coeficientul lui x.

2La b), „costul e același” înseamnă f(x) = g(x). Rezolvă ecuația și apoi calculează costul.

3La c), calculează f(8) și g(8) și compară. Nu ghici din taxa de acces.

a) cele două funcții:

b) când costă la fel și cât:

c) care e mai avantajos la 8 ore:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.9 · 8 din 29

Un bazin care se umple. Pe lângă formulă, contează și când se oprește: bazinul are o capacitate. Iar la final te întreb și în ce mulțime ia valori cantitatea de apă.

Cerință4.1.9 Centura verde

Un bazin conține 150 de litri de apă. Un robinet adaugă 25 de litri în fiecare minut, iar bazinul are capacitatea de 900 de litri. a) Scrie funcția V care dă cantitatea de apă, în litri, după t minute. b) După câte minute bazinul conține 600 de litri? c) Determină domeniul funcției V, ținând cont de capacitatea bazinului. d) În ce mulțime ia valori cantitatea V(t), pe acest domeniu?

1Câtă apă e în bazin la t = 0? Acela e termenul liber. Debitul e coeficientul lui t.

2La b), scrie V(t) = 600. La c), întreabă-te când e plin: V(t) = 900.

3La d), întreabă-te câtă apă e în bazin la început și câtă e când se umple. Cantitatea ia toate valorile dintre ele?

a) V(t) =

b) după câte minute are 600 L:

c) domeniul funcției:

d) mulțimea valorilor lui V:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Exercițiul 4.1.10 · 9 din 29

Un rezervor care se golește: a negativ și un domeniu care se termină când nu mai e apă.

Cerință4.1.10 Centura verde

Un rezervor conține 80 de litri de apă și se golește uniform, cu 4 litri pe minut. a) Scrie funcția care dă cantitatea de apă rămasă, în litri, după t minute, și precizează domeniul ei. b) După câte minute rămân în rezervor 26 de litri? c) Ce arată, în această situație, semnul coeficientului lui t? d) În ce mulțime ia valori cantitatea de apă, pe domeniul găsit?

1Cantitatea de la început e termenul liber. Apa scade: ce semn are atunci coeficientul lui t?

2Domeniul se termină când rezervorul e gol: rezolvă f(t) = 0.

3La b), scrie f(t) = 26. La d), citește cantitatea de la început și de la sfârșit.

a) funcția și domeniul:

b) după câte minute rămân 26 L:

c) ce arată semnul coeficientului lui t:

d) mulțimea valorilor:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Subiectul de sinteză 1 · 10 din 29

Așa arată un subiect de tip III la Evaluarea Națională: un calcul scurt, tăieturile cu axele, apoi un triunghi pe care îl măsori cu Pitagora.

CerințăSubiectul de sinteză 1 Centura verde

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x/4 − 3. a) (2p) Arată că f(8) − f(−4) = 9. b) (3p) Graficul funcției intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B. Determină coordonatele punctelor A și B și calculează perimetrul triunghiului AOB, unde O este originea reperului.

1La a), calculează separat f(8) și f(−4); la −4, paranteze. Apoi scade cu grijă: al doilea număr e negativ.

2La b), tăieturile: pe Ox rezolvi f(x) = 0, pe Oy calculezi f(0). B iese sub origine, dar lungimea OB e pozitivă.

3AB e ipotenuza: Pitagora cu catetele OA și OB. Apoi adună cele trei laturi.

a) f(8) − f(−4) =

b) A, B și perimetrul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Subiectul de sinteză 2 · 11 din 29

Trei copii care strâng bani săptămânal. Compari două pușculițe, apoi scoți regula celei de-a treia din două momente ale ei; e exact felul de problemă pe care îl găsești la subiectul III.

CerințăSubiectul de sinteză 2 Centura verde

Ana are strânși 40 de lei și pune deoparte, în fiecare săptămână, încă 15 lei. Barbu are strânși 100 de lei și pune deoparte, în fiecare săptămână, încă 5 lei. După x săptămâni, sumele lor, în lei, sunt date de funcțiile f, g : [0, +∞) → ℝ, f(x) = 15x + 40 și g(x) = 5x + 100. a) (2p) Arată că după 6 săptămâni Ana și Barbu au aceeași sumă de bani. Corina strânge banii tot după o regulă de forma h(x) = ax + b: după 2 săptămâni are 66 de lei, iar după 5 săptămâni are 108 lei. b) (1p) Determină numărul a. c) (1p) Determină numărul b. d) (1p) Calculează suma pe care o are Corina după 8 săptămâni.

1La a), pune x = 6 în amândouă formulele. Dacă ies egale, ai terminat.

2La b) și c), fiecare informație despre Corina e un punct de pe graficul lui h: (2, 66) și (5, 108). Scrie câte o ecuație pentru fiecare.

3Scade cele două ecuații: b dispare, rămâne 3a. Apoi află b și calculează h(8).

a) arată că f(6) = g(6):

b) a =

c) b =

d) suma Corinei după 8 săptămâni (lei):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 12 din 29

Centura verde

Suma a zece valori

Se povestește că micul Gauss, pus la școală să adune numerele de la 1 la 100, a terminat în câteva clipe, pe când colegii lui încă scriau. Nu știm dacă povestea e adevărată, dar trucul lui e adevărat și îți trebuie azi. Înainte să scrii ceva, uită-te la prima condiție și ghicește: dacă de la f(1) la f(10) valoarea a crescut cu 27, cu cât a crescut la fiecare pas de 1?

Ideea problemei: O sumă de valori ale lui f(x) = ax + b se desparte în „a ori suma numerelor” plus „b, de câte ori apare”. Restul e un sistem cu două necunoscute, a și b.

CerințăProblema 12 din 29 Centura verde

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitățile f(10) − f(1) = 27 și f(1) + f(2) + f(3) + … + f(10) = 175. Determină funcția f.

Experimentează pe grafic

Mută a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), f(2), …, f(10); urmărește suma lor și diferența f(10) − f(1) până nimerești 175 și 27.

Laborator interactiv: Mută a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), f(2), …, f(10); urmărește suma lor și diferența f(10) − f(1) până nimerești 175 și 27.

1Pornește de la prima condiție: scrie f(10) și f(1) cu a și b și scade. Ce se întâmplă cu b?

2Pentru a doua condiție, fiecare termen f(k) este a · k + b. Adună-le pe toate zece: dă-l pe a factor comun și numără de câte ori apare b.

3Suma 1 + 2 + … + 10 se calculează repede dacă împerechezi 1 cu 10, 2 cu 9 și tot așa. Apoi ai o ecuație în care îl știi deja pe a.

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 13 din 29

Centura verde

Triunghiul care se schimbă după m

Trage de m pe desen și uită-te la triunghiul dintre dreaptă și axe: un vârf stă pe loc, pe axa Oy, iar celălalt alunecă pe Ox. Triunghiul se lățește sau se îngustează, dar rămâne mereu dreptunghic în O. Azi îi ceri două lucruri, pe rând: o arie anume și o formă anume. Înainte să calculezi, ghicește din desen: pentru aria 16, m e aproape de 0 sau departe de 0?

Ideea problemei: Scrii totul în funcție de m: catetele, apoi aria. Fiecare cerință devine o ecuație în m.

CerințăProblema 13 din 29 Centura verde

Pentru m < 0, graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 4 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B; O este originea reperului. a) Determină m pentru care aria triunghiului OAB este 16. b) Determină m pentru care triunghiul OAB este isoscel.

Experimentează pe grafic

Mută m și urmărește aria și cele două catete. Unde devin catetele egale?

Laborator interactiv: Mută m și urmărește aria și cele două catete. Unde devin catetele egale?

1B nu depinde de m: calculează f(0). Pentru A, rezolvă ecuația mx + 4 = 0.

2Lungimile catetelor sunt OA și OB. Atenție: m e negativ, deci abscisa lui A e pozitivă, iar OA = −4/m. Aria e OA · OB / 2.

3Pentru b), gândește-te care două laturi pot fi egale într-un triunghi dreptunghic: ipotenuza poate fi egală cu o catetă?

a) m =

b) m =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 14 din 29

Centura verde

Cât de aproape trece drumul de casă

Un drum drept trece pe lângă o casă. În ce loc al drumului ești cel mai aproape de ea? Pe hartă, casa e originea O, iar drumul e graficul unei funcții. Plimbă punctul M pe drum și urmărește distanța OM: ghicește unde e cea mai mică. Apoi calculează exact, cu un truc pe care îl știi din clasa a VII-a: aria aceluiași triunghi, scrisă în două feluri.

Ideea problemei: Aria unui triunghi dreptunghic se scrie și cu cele două catete, și cu ipotenuza și înălțimea dusă pe ea. Egalezi cele două scrieri.

CerințăProblema 14 din 29 Centura verde

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −4x/3 + 8 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B; O este originea reperului. a) Determină coordonatele punctelor A și B și lungimea segmentului AB. b) Calculează distanța de la punctul O la dreapta AB.

Experimentează pe grafic

Plimbă punctul M pe dreaptă și urmărește distanța OM. Unde pare cea mai mică?

Laborator interactiv: Plimbă punctul M pe dreaptă și urmărește distanța OM. Unde pare cea mai mică?

1Pentru A pui f(x) = 0; pentru B calculezi f(0).

2Triunghiul OAB este dreptunghic în O, deci AB se află cu teorema lui Pitagora.

3Scrie aria triunghiului de două ori: o dată cu catetele, o dată ca AB · d / 2, unde d este distanța căutată. Egalează.

a) abscisa lui A:

a) ordonata lui B:

a) AB =

b) distanța de la O la AB:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 15 din 29

Centura verde

Triunghiul prins între două drepte și axa Oy

Două drepte pleacă din puncte diferite ale axei Oy și se întâlnesc mai departe. Împreună cu axa Oy închid un triunghi. Uită-te pe desen înainte să calculezi și ghicește ce fel de triunghi e: ascuțit, drept, turtit? Apoi îi afli vârfurile, aria și forma, doar cu grafice și cu teorema lui Pitagora.

Ideea problemei: Latura de pe axa Oy este baza. Înălțimea corespunzătoare ei e distanța de la al treilea vârf la axa Oy, adică abscisa lui.

CerințăProblema 15 din 29 Centura verde

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x − 1 și g(x) = −x + 7. Graficele lor intersectează axa Oy în punctele B, respectiv C, iar între ele se intersectează în punctul A. a) Determină coordonatele punctelor A, B și C. b) Calculează aria triunghiului ABC. c) Arată că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

Experimentează pe grafic

Trage de k, coeficientul lui x din g(x) = kx + 7, și urmărește cum se mută A și cum se schimbă înălțimea triunghiului. Baza BC stă pe Oy; aria o calculezi tu. Pentru k = −1 obții triunghiul din problemă.

Laborator interactiv: Trage de k, coeficientul lui x din g(x) = kx + 7, și urmărește cum se mută A și cum se schimbă înălțimea triunghiului. Baza BC stă pe Oy; aria o calculezi tu. Pentru k = −1 obții triunghiul din problemă.

1A: egalezi f(x) = g(x). B și C: calculezi f(0) și g(0).

2Latura BC stă pe axa Oy. Înălțimea din A pe BC este distanța de la A la axa Oy, adică abscisa lui A.

3Calculează AB și AC cu teorema lui Pitagora, din diferențele de coordonate, apoi compară AB² + AC² cu BC².

a) abscisa lui A:

a) ordonata lui A:

a) ordonata lui B (de pe Oy):

a) ordonata lui C (de pe Oy):

b) aria triunghiului ABC:

c) AB = AC =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 16 din 29

Centura verde

Aceeași formulă, alt m la fiecare cerință

Uneori formula funcției mai are o literă, m, pe care trebuie s-o afli tu. Nu te speria de ea: fiecare condiție din problemă devine o ecuație în m, iar traducerea condițiilor o știi de la micro-noțiunea 2.2 și micro-noțiunea 3.3. Mută m pe desen și uită-te cum se rotește și se mută dreapta; pentru ce m crezi că trece prin (2, 10)?

Ideea problemei: Fiecare cerință se traduce într-o ecuație: „f(2) = 10”, „punct cu abscisa egală cu ordonata” și „drepte paralele” au fiecare traducerea ei.

CerințăProblema 16 din 29 Centura verde

Pentru fiecare număr real m se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (3m − 1)x + 2m + 4. a) Determină m pentru care f(2) = 10. b) Pentru valoarea lui m găsită la a), determină punctul graficului care are abscisa egală cu ordonata. c) Determină m pentru care graficul lui f este paralel cu graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = −4x + 1.

Experimentează pe grafic

Mișcă m și urmărește dreapta. Pentru ce m trece prin punctul (2, 10)?

Laborator interactiv: Mișcă m și urmărește dreapta. Pentru ce m trece prin punctul (2, 10)?

1f(2) = 10 înseamnă: pui x = 2 în formulă și obții o ecuație în m.

2Un punct cu abscisa egală cu ordonata are forma (t, t). Scrie că este pe grafic: f(t) = t.

3Două drepte sunt paralele când au același coeficient al lui x și termeni liberi diferiți (micro-noțiunea 3.3). Verifică și termenul liber, nu doar pe a.

a) m =

b) punctul are abscisa:

b) și ordonata:

c) m =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 17 din 29

Centura verde

Două vase, același nivel

Două vase, unul care se golește, altul care se umple, amândouă uniform. Pe desen mută timpul și urmărește cele două niveluri: la început unul e mult mai sus; ghicește după câte minute ajung la fel. Graficele înălțimilor sunt două drepte, iar momentul pe care îl cauți e chiar punctul lor comun.

Ideea problemei: Fiecare înălțime e o funcție de forma ax + b: valoarea de pornire plus schimbarea pe minut înmulțită cu timpul (4.1). Apoi egalezi.

CerințăProblema 17 din 29 Centura verde

Într-un vas A, apa are la început 50 cm înălțime și scade uniform cu 2 cm pe minut. Într-un vas B, apa are la început 10 cm înălțime și crește uniform cu 3 cm pe minut. Urmărim vasele timp de 20 de minute. a) Scrie funcțiile h_A, h_B : [0, 20] → ℝ care dau înălțimea apei, în cm, după x minute. b) După câte minute apa are aceeași înălțime în cele două vase și care este această înălțime? c) După câte minute apa din vasul B este cu 15 cm mai sus decât cea din vasul A?

Experimentează pe grafic

Mută timpul și urmărește cele două niveluri și diferența dintre ele.

Laborator interactiv: Mută timpul și urmărește cele două niveluri și diferența dintre ele.

1Pornire + schimbarea pe minut · x. La A schimbarea este −2, la B este +3.

2Nivel egal înseamnă h_A(x) = h_B(x): o ecuație de gradul I.

3„B este cu 15 cm mai sus” se scrie h_B(x) − h_A(x) = 15. Verifică apoi că răspunsul este în [0, 20].

a) h_A(x) =

a) h_B(x) =

b) după câte minute:

b) înălțimea comună (cm):

c) după câte minute:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 18 din 29

Centura verde

Cea mai mare și cea mai mică valoare

Pe un segment, dreapta merge mereu în același sens, deci cea mai mare și cea mai mică valoare stau la capete (micro-noțiunea 3.2). Dar care capăt e sus și care e jos? Asta nu ți-o spune nimeni, așa că trebuie să te gândești la ambele posibilități. Reglează a și b pe desen și încearcă să prinzi un segment care merge exact de la −1 la 7: câte feluri găsești?

Ideea problemei: Valorile extreme sunt f(−1) și f(3). Ordinea lor depinde de semnul lui a, deci ai două cazuri, fiecare cu sistemul lui.

CerințăProblema 18 din 29 Centura verde

Funcția f : [−1, 3] → ℝ, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, are cea mai mică valoare egală cu −1 și cea mai mare valoare egală cu 7. Determină toate funcțiile f cu această proprietate.

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Caută segmentele care merg exact de la −1 la 7.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Caută segmentele care merg exact de la −1 la 7.

1Pe un segment, valorile extreme sunt la capete, în x = −1 și în x = 3.

2Dacă a > 0, dreapta urcă: f(−1) = −1 și f(3) = 7. Dacă a < 0, este invers.

3În fiecare caz ai un sistem de două ecuații în a și b, ca la micro-noțiunea 3.1.

a) funcția cu a > 0: f(x) =

b) funcția cu a < 0: f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 19 din 29

Centura verde

Puncte egal depărtate de cele două axe

Distanța unui punct (x, y) până la axa Oy este |x|, iar până la axa Ox este |y|. Plimbă punctul pe grafic și uită-te la cele două distanțe din panou: când sunt egale? Liniile punctate de pe desen te pot ajuta să ghicești. Apoi modulul te obligă să cercetezi două cazuri, și e bine așa: nu știi dinainte câte puncte vei găsi.

Ideea problemei: |x| = |y| înseamnă y = x sau y = −x: punctele căutate sunt pe una dintre cele două bisectoare ale axelor.

CerințăProblema 19 din 29 Centura verde

Determină punctele graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 15, care se află la aceeași distanță de axa Ox și de axa Oy.

Experimentează pe grafic

Plimbă punctul pe grafic. Liniile punctate sunt y = x și y = −x.

Laborator interactiv: Plimbă punctul pe grafic. Liniile punctate sunt y = x și y = −x.

1Scrie condiția: |x| = |f(x)|, adică |x| = |4x − 15|.

2Două numere au același modul când sunt egale sau opuse: 4x − 15 = x sau 4x − 15 = −x.

3Rezolvă fiecare ecuație, apoi calculează ordonata fiecărui punct și verifică distanțele.

a) punctul de pe dreapta y = x are abscisa:

b) și ordonata:

c) punctul de pe dreapta y = −x are abscisa:

d) și ordonata:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 20 din 29

Centura verde

Trapezul de sub grafic

Uită-te la peretele lateral al unei case cu acoperișul înclinat într-o singură parte: e un trapez dreptunghic. Dacă marginea acoperișului e o dreaptă, înălțimile peretelui la cele două capete sunt chiar valorile funcției acolo. Pe desen mută linia verticală și urmărește cele două arii: ghicește unde o pui ca partea din stânga să fie cam jumătate din dreapta.

Ideea problemei: Bazele trapezului sunt valorile funcției la capetele intervalului, iar înălțimea lui e lungimea intervalului.

CerințăProblema 20 din 29 Centura verde

Se consideră funcția f : [0, 4] → ℝ, f(x) = x/2 + 2. Graficul funcției, axa Ox și dreptele verticale x = 0 și x = 4 mărginesc un trapez. a) Calculează aria trapezului. b) Dreapta verticală x = 2 împarte trapezul în două trapeze. Calculează raportul dintre aria trapezului din stânga și aria trapezului din dreapta.

Experimentează pe grafic

Trage de c, abscisa dreptei verticale x = c, și compară din ochi cele două bucăți colorate: care e mai mare și cam de câte ori? Ariile le calculezi tu; după răspuns le vezi scrise sub desen.

Laborator interactiv: Trage de c, abscisa dreptei verticale x = c, și compară din ochi cele două bucăți colorate: care e mai mare și cam de câte ori? Ariile le calculezi tu; după răspuns le vezi scrise sub desen.

1Bazele trapezului sunt f(0) și f(4); înălțimea este lungimea intervalului [0, 4].

2Aria trapezului = (baza mare + baza mică) · înălțimea / 2.

3Pentru b), calculează întâi f(2): e baza comună a celor două trapeze mici.

a) aria trapezului:

b) raportul ariilor (stânga : dreapta):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 21 din 29

Centura verde

Ce valori ia funcția pe un interval

Pe un interval, desenul funcției e un segment, iar capetele lui îți spun aproape tot: între ce valori stă f(x), câte colțuri de pătrățel atinge desenul și unde stă el deasupra unei linii orizontale. Pe desen mută linia y = k și uită-te care puncte rămân deasupra ei. Înainte să calculezi, ghicește: cea mai mare valoare e în capătul din stânga sau din dreapta?

Ideea problemei: Dreapta coboară, deci valorile merg de la f(4) până la f(−2). Iar o inecuație se rezolvă și apoi se intersectează cu domeniul.

CerințăProblema 21 din 29 Centura verde

Se consideră funcția f : [−2, 4] → ℝ, f(x) = −3x + 5. a) Determină mulțimea valorilor funcției, adică mulțimea numerelor f(x), cu x ∈ [−2, 4]. b) Câte puncte ale graficului au ambele coordonate numere întregi? c) Determină valorile lui x din domeniu pentru care f(x) ≥ 2.

Experimentează pe grafic

Mută linia orizontală y = k și vezi pentru ce x graficul este deasupra ei.

Laborator interactiv: Mută linia orizontală y = k și vezi pentru ce x graficul este deasupra ei.

1Dreapta coboară (a = −3 < 0), deci cea mai mare valoare este în capătul din stânga al domeniului.

2Dacă abscisa unui punct e număr întreg, e întreagă și ordonata? Dar dacă abscisa nu e întreagă, mai poate punctul să aibă ambele coordonate întregi?

3f(x) ≥ 2 înseamnă −3x + 5 ≥ 2. Rezolvă inecuația și păstrează doar soluțiile din domeniu.

a) mulțimea valorilor:

b) numărul punctelor:

c) x ∈

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 22 din 29

Centura verde

Dreapta care taie triunghiul în două

Ai o grădină în formă de triunghi și vrei s-o împarți în două parcele cu aceeași arie, printr-un gard drept care pleacă dintr-un colț. Pe desen mută capătul gardului pe latura de jos și urmărește cele două arii: ghicește unde trebuie să ajungă. Apoi demonstrează și scrie funcția al cărei grafic e gardul.

Ideea problemei: Cele două triunghiuri au același vârf A și bazele pe aceeași dreaptă, deci aceeași înălțime. Ariile sunt egale exact când bazele sunt egale.

CerințăProblema 22 din 29 Centura verde

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x și g(x) = −x + 8 se intersectează în punctul A, graficul lui g intersectează axa Ox în punctul B, iar O este originea reperului. a) Calculează aria triunghiului OAB. b) Determină funcția h : ℝ → ℝ, h(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin A și împarte triunghiul OAB în două triunghiuri cu arii egale.

Experimentează pe grafic

Mută capătul gardului pe latura OB și urmărește cele două arii.

Laborator interactiv: Mută capătul gardului pe latura OB și urmărește cele două arii.

1A: rezolvi 3x = −x + 8. B: rezolvi −x + 8 = 0.

2Baza OB stă pe axa Ox, iar înălțimea din A este ordonata lui A.

3Gardul taie latura OB într-un punct P(t, 0). Cele două triunghiuri au același vârf A și bazele OP și PB, pe aceeași dreaptă: ce au atunci în comun? Când le sunt ariile egale?

a) aria triunghiului OAB:

b) h(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 23 din 29

Centura verde

Al treilea punct, pe aceeași dreaptă

Pe o hartă cu reper xOy, două orașe A și B sunt legate de o șosea dreaptă. Un al treilea sat, C, are o coordonată încă necunoscută, dar știi că se plimbă pe o altă dreaptă când schimbi m. Mută m pe desen și prinde momentul în care C ajunge pe șosea. Apoi arată prin calcul ce loc are C pe șosea, față de cele două orașe.

Ideea problemei: Dreapta prin A și B e graficul unei funcții. C e coliniar cu A și B exact când e pe acest grafic (3.4).

CerințăProblema 23 din 29 Centura verde

Se consideră punctele A(1, 2), B(3, 8) și C(m, 2m + 1), unde m este un număr real. a) Determină m pentru care punctele A, B și C sunt coliniare. b) Pentru valoarea găsită, arată că AC = CB.

Experimentează pe grafic

Mută m: punctul C se plimbă pe o altă dreaptă. Când ajunge pe dreapta AB?

Laborator interactiv: Mută m: punctul C se plimbă pe o altă dreaptă. Când ajunge pe dreapta AB?

1Află întâi funcția al cărei grafic trece prin A și B (micro-noțiunea 3.1).

2C e pe această dreaptă exact când valoarea funcției în m este 2m + 1 (micro-noțiunea 2.2).

3Pentru b), calculează AC și CB cu teorema lui Pitagora, din diferențele de coordonate.

a) m =

b) AC = CB =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 24 din 29

Centura verde

Pasul de 2

Știi de la micro-noțiunea 1.1 că la un pas de 1 valoarea unei funcții ax + b se schimbă exact cu a. Ghicește, înainte de orice calcul: ce se întâmplă la un pas de 2? Pe desen reglează a și b și urmărește cele două condiții din panou; una dintre ele îți dă a dintr-o privire.

Ideea problemei: f(x + 2) − f(x) = 2a, oricare ar fi x. De aici afli a; a doua condiție îți dă b.

CerințăProblema 24 din 29 Centura verde

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitatea f(x + 2) − f(x) = 6, pentru orice număr real x, și egalitatea f(0) + f(1) = 9. a) Determină funcția f. b) Calculează f(10).

Experimentează pe grafic

Reglează a și b și urmărește cele două condiții.

Laborator interactiv: Reglează a și b și urmărește cele două condiții.

1Calculează f(x + 2) − f(x) cu formula: termenii cu x și termenul b se reduc.

2Din 2a = 6 afli a. Apoi scrie f(0) + f(1) cu a cunoscut.

3Rămâne o ecuație de gradul I în b.

a) f(x) =

b) f(10) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 25 din 29

Centura verde

O egalitate care leagă x de 2 − x

În egalitatea de mai jos apar în același timp f(x) și f(2 − x). Pare că ai prea multe necunoscute, dar nu te lăsa păcălit: f are forma ax + b, deci totul se reduce la două numere, a și b. Pe desen reglează-le până când dreapta roz se așază peste linia punctată; apoi fă același lucru cu creionul.

Ideea problemei: Scrii totul cu a și b, grupezi termenii cu x și compari cu 2x + 10: coeficientul cu coeficientul, termenul liber cu termenul liber.

CerințăProblema 25 din 29 Centura verde

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitatea f(x) + 3f(2 − x) = 2x + 10, pentru orice număr real x. Determină funcția f.

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Linia punctată este 2x + 10; dreapta roz este f(x) + 3f(2 − x).

Laborator interactiv: Reglează a și b. Linia punctată este 2x + 10; dreapta roz este f(x) + 3f(2 − x).

1Scrie f(2 − x) cu formula: a(2 − x) + b.

2Adună și grupează: termenii cu x la un loc, restul la alt loc.

3Două expresii de forma px + q sunt egale pentru orice x doar dacă au același p și același q. Poți verifica asta punând x = 0 și x = 2.

f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 26 din 29

Centura verde

Cea mai mică dintre două, cât mai mare

Două grafice pe același desen. În fiecare x păstrezi doar valoarea mai mică dintre cele două și obții o linie frântă, ca un acoperiș în două ape. Plimbă x pe desen și urmărește linia groasă: unde e vârful acoperișului? Ghicește, apoi demonstrează că nicăieri altundeva nu e mai sus.

Ideea problemei: Împarte intervalul în două părți, după care dreaptă e dedesubt. Pe fiecare parte, h coincide cu o funcție pe care o cunoști și care merge într-un singur sens.

CerințăProblema 26 din 29 Centura verde

Se consideră funcțiile f, g : [0, 6] → ℝ, f(x) = x + 1 și g(x) = −2x + 10. Pentru fiecare x din [0, 6], notăm cu h(x) cea mai mică dintre valorile f(x) și g(x). a) Determină cea mai mare valoare pe care o poate lua h(x) și justifică. b) Pentru ce x se obține această valoare?

Experimentează pe grafic

Plimbă x. Linia groasă este h: mereu cea mai de jos dintre cele două drepte.

Laborator interactiv: Plimbă x. Linia groasă este h: mereu cea mai de jos dintre cele două drepte.

1Unde se intersectează graficele? Acolo f(x) = g(x).

2La stânga punctului comun, care dintre drepte e mai jos? Dar la dreapta lui? Verifică cu un x concret din fiecare parte.

3Pe fiecare parte, h coincide cu o dreaptă care fie urcă, fie coboară. Unde își atinge fiecare cea mai mare valoare?

a) cea mai mare valoare a lui h:

b) x =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 27 din 29

Centura verde

Triunghiuri cu arie întreagă

Dreapta y = mx + 10 trece mereu prin (0, 10), ca o ușă care se rotește în balama. La fiecare înclinare, ea taie din colțul reperului un triunghi a cărui arie depinde doar de m. Mută m pe desen și uită-te în panou: pentru unele valori aria e număr natural, pentru altele nu. Ghicește câte valori întregi ale lui m sunt „bune”, apoi numără-le exact.

Ideea problemei: Scrie aria cu ajutorul lui m. Apoi întreabă-te: când e o fracție cu numărătorul fix un număr natural? Și nu uita că m poate fi și negativ.

CerințăProblema 27 din 29 Centura verde

Pentru fiecare număr întreg nenul m, graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 10 formează cu axele de coordonate un triunghi. Câte numere întregi nenule m fac ca aria acestui triunghi să fie un număr natural?

Experimentează pe grafic

Mută m și urmărește aria triunghiului.

Laborator interactiv: Mută m și urmărește aria triunghiului.

1Triunghiul are vârfurile O, (0, 10) și punctul în care graficul taie axa Ox. Află-l în funcție de m.

2Tăietura cu Ox e x = −10/m, deci o catetă are lungimea 10/|m| (lungimea e pozitivă, de aceea apare modulul). Scrie aria.

3Aria e o fracție cu numărătorul 50. Când e număr natural? Și câte valori ale lui m dă fiecare valoare bună a lui |m|?

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 28 din 29

Centura verde

Coordonate schimbate între ele

Punctele (2, 5) și (5, 2) sunt în oglindă față de dreapta y = x: unul e imaginea celuilalt. Alege p și q pe desen și uită-te la dreapta care trece prin (p, q) și (q, p): oricum le-ai alege, pare înclinată la fel. Ghicește coeficientul ei, apoi demonstrează-l pentru orice p și q diferite.

Ideea problemei: Scrie cele două condiții de apartenență și scade-le: termenul liber dispare și rămâne doar coeficientul lui x.

CerințăProblema 28 din 29 Centura verde

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n, trece prin punctele (p, q) și (q, p), unde p și q sunt numere reale diferite. a) Arată că m = −1. b) Calculează f(p + q).

Experimentează pe grafic

Alege p și q, cu p ≠ q. Punctele (p, q) și (q, p) sunt în oglindă față de y = x.

Laborator interactiv: Alege p și q, cu p ≠ q. Punctele (p, q) și (q, p) sunt în oglindă față de y = x.

1Scrie cele două condiții de apartenență: mp + n = q și mq + n = p.

2Scade egalitățile: n dispare. Împarte la p − q, care nu este 0.

3Cu m aflat la a), întoarce-te la prima ecuație: din ea iese n în funcție de p și q. Apoi calculează f(p + q) și uită-te ce se reduce.

a) m =

b) f(p + q) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura verde – problema 29 din 29

Centura verde

Cel mai mare dreptunghi sub o dreaptă înclinată

Un tâmplar vrea să taie dintr-o placă în formă de triunghi dreptunghic un raft dreptunghiular cât mai mare, cu două laturi pe marginile drepte ale plăcii. Al patrulea colț trebuie să atingă marginea înclinată. Pe desen mută colțul P și urmărește aria: ghicește cât de lat să fie raftul. Apoi arată că nu se poate mai mult.

Ideea problemei: Aria se scrie ca „un număr fix minus un pătrat”. Un pătrat nu poate fi negativ, deci aria cea mai mare se obține când pătratul e 0.

CerințăProblema 29 din 29 Centura verde

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 8 formează cu axele de coordonate un triunghi. Un dreptunghi are un vârf în originea O, două laturi pe axele de coordonate, iar al patrulea vârf, P(x, f(x)), pe graficul lui f, cu 0 < x < 4. a) Arată că aria dreptunghiului este 8 − 2(x − 2)². b) Determină cea mai mare arie posibilă și coordonatele punctului P pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Mută colțul P pe marginea înclinată și urmărește aria dreptunghiului.

Laborator interactiv: Mută colțul P pe marginea înclinată și urmărește aria dreptunghiului.

1Dreptunghiul are lățimea x și înălțimea f(x).

2Aria = x(−2x + 8). Pornește de la 8 − 2(x − 2)², desfă pătratul și compară.

3Un pătrat nu e niciodată negativ. Când e 2(x − 2)² cel mai mic?

a) calculul ariei:

b) aria maximă:

b) abscisa lui P:

b) ordonata lui P:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura verde · gata

Nivelul 3 din 6 · gata

Ai terminat centura verde

Ai rezolvat 0 din 29. Urmează centura albastră.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura albastră

Nivelul 4 din 6 · Lecția 11

Centura albastră

Dincolo de examen: o idee ascunsă.

De aici încep problemele pentru pasionați. Nimic nu e blocat și nimic nu se pierde: încerci, deschizi indiciile pe rând, iar fiecare idee găsită singur e a ta.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 1 din 13

Centura albastră

Dreptele care se rotesc în jurul unui punct

Trage de cursorul m de pe desen și uită-te la dreaptă: se rotește, dar parcă e prinsă într-un cui. Ghicește unde stă cuiul, apoi vine partea grea: să demonstrezi că toate dreptele, pentru orice m, chiar trec pe acolo. Știi deja că b hotărăște unde taie dreapta axa Oy; aici însă și a, și b depind de același număr m.

Ideea problemei: Un punct comun tuturor dreptelor nu are voie să depindă de m. Grupează termenii cu m: f_m(x) = m · (ceva cu x) + (restul). Pentru ce x se anulează paranteza de lângă m?

CerințăProblema 1 din 13 Centura albastră

Pentru fiecare număr real m se consideră funcția f_m : ℝ → ℝ, f_m(x) = (m − 1)x + 2m + 3. Arată că graficele tuturor acestor funcții trec printr-un același punct și determină coordonatele acestui punct.

Experimentează pe grafic

Mută m. Linia subțire rămâne din pozițiile anterioare: prin ce punct trec toate?

Laborator interactiv: Mută m. Linia subțire rămâne din pozițiile anterioare: prin ce punct trec toate?

1Punctul căutat e același pentru m = 0, m = 1, m = 2… Scrie f₀, f₁ și f₂ și caută-le punctul comun. Apoi va trebui să arăți că și toate celelalte drepte trec prin el.

2Desfă parantezele și adună separat termenii care îl conțin pe m și cei care nu îl conțin: f_m(x) = m · (…) + (…).

3Un punct nu depinde de m dacă paranteza de lângă m devine 0. Pentru ce x se întâmplă asta? Calculează apoi valoarea funcției chiar acolo.

a) abscisa punctului comun:

b) ordonata punctului comun:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 2 din 13

Centura albastră

Colțurile de pătrățel de pe grafic

Ia o foaie de matematică și trage o dreaptă la întâmplare: prin câte colțuri de pătrățel trece? Uneori prin multe, alteori prin niciunul. Pe desen vezi doar o bucată din graficul nostru, până la x = 20, cu colțurile prinse marcate. Uită-te la distanța dintre ele și ghicește o regulă; apoi numără-le pe toate, de la −10 la 50, fără să le desenezi. Divizibilitatea din clasele a V-a și a VI-a face toată treaba.

Ideea problemei: Dacă găsești un x bun, îl poți muta cu un pas fix și rămâne bun. Așa numeri fără să încerci fiecare număr în parte.

CerințăProblema 2 din 13 Centura albastră

Se consideră funcția f : [−10, 50] → ℝ, f(x) = (3x − 2)/5. Câte puncte ale graficului funcției au ambele coordonate numere întregi?

Experimentează pe grafic

Aici vezi doar o parte a graficului, până la x = 20. Colțurile de pătrățel de pe dreaptă sunt marcate. Ce regularitate observi?

Laborator interactiv: Aici vezi doar o parte a graficului, până la x = 20. Colțurile de pătrățel de pe dreaptă sunt marcate. Ce regularitate observi?

1Abscisa x trebuie să fie număr întreg, iar 3x − 2 trebuie să se împartă exact la 5.

2Încearcă x = 0, 1, 2, 3, 4. Pentru care dintre ele 3x − 2 e multiplu de 5? Apoi întreabă-te: dacă aduni 5 la x, cu cât se schimbă 3x − 2?

3Toți x buni stau la o distanță multiplu de 5 de primul x bun găsit. Scrie-i ca pe un șir și numără-i pe cei din intervalul [−10, 50], cu capetele incluse.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 3 din 13

Centura albastră

Două drepte legate de același m

Două drepte se mișcă împreună, după același număr m. Mută m pe desen și urmărește punctul lor comun: ceva din el nu se schimbă niciodată, și tocmai asta pare să-ți strice planul. Întrebarea e dacă punctul comun poate ajunge vreodată în cadranul I. Ghicește din desen înainte să calculezi, apoi fii atent la fiecare operație pe care o faci cu litera m.

Ideea problemei: Punctul comun îl găsești egalând formulele. Când formulele conțin litera m, la fiecare împărțire întreabă-te dacă ai voie s-o faci.

CerințăProblema 3 din 13 Centura albastră

Pentru fiecare număr real m se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 1 și g(x) = (2m − 1)x + m. Determină valorile lui m pentru care graficele lui f și g au cel puțin un punct comun situat în cadranul I, adică cu ambele coordonate strict pozitive.

Experimentează pe grafic

Mută m și urmărește abscisa punctului comun. Ce se întâmplă când m ajunge la 1?

Laborator interactiv: Mută m și urmărește abscisa punctului comun. Ce se întâmplă când m ajunge la 1?

1Egalează formulele: mx + 1 = (2m − 1)x + m. Adu termenii cu x într-o parte și restul în cealaltă.

2Obții o ecuație de forma (ceva cu m) · x = (ceva cu m). Rezolv-o și uită-te la abscisa punctului comun: poate fi ea vreodată pozitivă?

3Când ai împărțit, ai presupus ceva despre m fără să-ți dai seama. Pentru ce valoare a lui m nu aveai voie să împarți? Tratează acest caz separat.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 4 din 13

Centura albastră

Punctele ascunse în triunghi

Două drepte și axa Ox închid un triunghi pe hârtia cu pătrățele. Câte colțuri de pătrățel stau strict înăuntru, fără să atingă laturile? Poți apăsa pe desen pe cele pe care le crezi înăuntru și să le numeri. Dar ideea e să le numeri fără desen, rând cu rând, cu inecuațiile pe care le știi de la Lecția 4. Întâi ghicește numărul, apoi demonstrează-l.

Ideea problemei: Un punct e în interior dacă verifică trei inegalități în același timp. Fixezi y și numeri x-urile întregi posibile.

CerințăProblema 4 din 13 Centura albastră

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 2 și g(x) = −2x + 8, împreună cu axa Ox, mărginesc un triunghi. a) Determină aria triunghiului. b) Câte puncte cu ambele coordonate numere întregi se află strict în interiorul triunghiului?

Experimentează pe grafic

Atinge colțurile de pătrățel care crezi că sunt strict în interior. Contorul le numără pe cele marcate de tine.

Laborator interactiv: Atinge colțurile de pătrățel care crezi că sunt strict în interior. Contorul le numără pe cele marcate de tine.

1Vârfurile triunghiului sunt tăieturile celor două drepte cu axa Ox și punctul lor comun. Le afli ca la micro-noțiunea 2.4 și micro-noțiunea 3.3.

2După ce ai vârfurile, descrie interiorul în cuvinte: un punct e înăuntru dacă stă deasupra axei Ox și sub ambele drepte. Scrie asta cu trei inegalități stricte.

3Ia pe rând fiecare valoare întreagă posibilă a lui y (nu multe, uită-te cât de înalt e triunghiul) și numără x-urile întregi care respectă ambele inegalități cu dreptele.

a) aria triunghiului:

b) numărul de puncte:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 5 din 13

Centura albastră

Funcții cu coeficienți întregi

Când a și b trebuie să fie numere întregi, o problemă de funcții își schimbă caracterul: nu mai cauți „un număr”, ci cauți printre puține numere posibile. Graficul trebuie să treacă prin (1, 7) și să taie axa Ox „frumos”, într-un număr întreg pozitiv. Pe desen alege diferite valori întregi ale lui a și uită-te unde cade tăietura. Câte alegeri bune crezi că există? Ghicește, apoi demonstrează.

Ideea problemei: Scrii b cu ajutorul lui a, apoi abscisa tăieturii ca o fracție. Ca fracția să fie număr întreg, numitorul trebuie să dividă numărătorul.

CerințăProblema 5 din 13 Centura albastră

Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi, al căror grafic trece prin punctul (1, 7) și intersectează axa Ox într-un punct cu abscisa număr întreg strict pozitiv. a) Câte astfel de funcții există? b) Scrie funcția al cărei grafic intersectează axa Ox cel mai aproape de origine.

Experimentează pe grafic

Alege a (întreg); b se calculează singur din condiția ca graficul să treacă prin (1, 7). Uită-te unde cade tăietura cu Ox și când e „frumoasă”.

Laborator interactiv: Alege a (întreg); b se calculează singur din condiția ca graficul să treacă prin (1, 7). Uită-te unde cade tăietura cu Ox și când e „frumoasă”.

1Din (1, 7) pe grafic: a + b = 7, deci b = 7 − a. Observă și că a ≠ 0, altfel graficul nu taie axa Ox.

2Scrie abscisa tăieturii cu Ox rezolvând ax + 7 − a = 0 și adu rezultatul la forma 1 − (ceva)/a. Când este un număr întreg?

3Un întreg nenul a îl divide pe 7 doar în patru feluri. Verifică pentru fiecare dacă abscisa iese strict pozitivă; nu toți trec proba.

a) numărul de funcții:

b) f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 6 din 13

Centura albastră

Drumul cel mai scurt, cu o atingere a marginii

La biliard, bila albă e în A, bila roșie în B, iar axa Ox e manta mesei. Vrei să lovești bila albă în manta astfel încât, după ricoșeu, să ajungă exact în B. Jucătorii buni știu din reflex unde să țintească; tu vei afla prin calcul. Pe desen mută punctul M pe manta și urmărește suma MA + MB: drumul cu ricoșeu bun e chiar drumul cel mai scurt. Heron din Alexandria a observat asta acum aproape 2000 de ani, pentru lumina care se reflectă în oglindă.

Ideea problemei: Oglindește B față de axa Ox: MB = MB′, deci MA + MB = MA + MB′. Iar o linie frântă între A și B′ nu e niciodată mai scurtă decât segmentul AB′.

CerințăProblema 6 din 13 Centura albastră

În reperul xOy se dau punctele A(1, 2) și B(7, 6). Punctul M se află pe axa Ox. a) Determină funcția al cărei grafic trece prin A și prin B′(7, −6), simetricul lui B față de axa Ox. b) Determină coordonatele punctului M de pe axa Ox pentru care suma MA + MB este cea mai mică. c) Calculează această valoare minimă.

Experimentează pe grafic

Mută punctul M pe axa Ox și urmărește suma MA + MB.

Laborator interactiv: Mută punctul M pe axa Ox și urmărește suma MA + MB.

1Pentru orice M de pe axa Ox, MB = MB′: axa Ox este mediatoarea segmentului BB′.

2Deci MA + MB = MA + MB′. Gândește-te la triunghiul AMB′: când e suma a două laturi cea mai mică posibil față de a treia?

3Suma e cea mai mică exact când M stă pe segmentul AB′. Afli M ca tăietura dreptei AB′ cu axa Ox, iar valoarea minimă e lungimea AB′.

a) f(x) =

b) abscisa lui M:

c) valoarea minimă a sumei MA + MB:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 7 din 13

Centura albastră

Trei case și o cutie poștală

Trei case stau de-a lungul unui drum drept, la kilometrii 1, 4 și 10. Poșta vrea să pună o singură cutie poștală pe drum, astfel încât suma drumurilor celor trei familii până la ea să fie cât mai mică. Pe desen mută cutia și urmărește suma: ghicește unde se oprește cel mai bine. Apoi demonstrează; pe fiecare bucată a drumului, suma e o funcție de forma ax + b.

Ideea problemei: Pe fiecare interval dintre case, modulele se scot cu semn cunoscut și suma devine de forma ax + b. Minimul e acolo unde bucățile trec de la coborâre la urcare.

CerințăProblema 7 din 13 Centura albastră

Pentru fiecare număr real x se consideră E(x) = |x − 1| + |x − 4| + |x − 10|. a) Arată că, pentru x ∈ [4, 10], avem E(x) = x + 5. b) Determină cea mai mică valoare a lui E(x) și numărul x pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Mută cutia poștală pe drum și urmărește suma distanțelor.

Laborator interactiv: Mută cutia poștală pe drum și urmărește suma distanțelor.

1Pe [4, 10]: x − 1 ≥ 0, x − 4 ≥ 0 și x − 10 ≤ 0. Scoate modulele cu semnul potrivit.

2Fă la fel pe (−∞, 1], pe [1, 4] și pe [10, +∞). Pe fiecare bucată obții o funcție de forma ax + b.

3Pe care bucăți scade E și pe care crește? Minimul e acolo unde coborârea se oprește.

a) calculul pe [4, 10]:

b) valoarea minimă:

b) x =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 8 din 13

Centura albastră

Pătratul din triunghi

Într-un triunghi poți așeza un pătrat cu o latură pe bază și cu celelalte două vârfuri pe laturile triunghiului. Pe desen schimbă latura pătratului: un vârf rămâne mereu pe prima dreaptă, iar celălalt caută a doua dreaptă. Ghicește latura la care se potrivește exact, apoi afl-o cu două funcții și puțină atenție la coordonate.

Ideea problemei: Vârfurile de sus ale pătratului au aceeași ordonată, egală cu latura s. Fiecare dintre ele e pe câte un grafic: de aici vine o ecuație în s.

CerințăProblema 8 din 13 Centura albastră

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x și g(x) = −x + 6 formează cu axa Ox triunghiul OAB, unde A este punctul lor comun, iar B este punctul în care graficul lui g intersectează axa Ox. Pătratul PQRS are latura PQ pe segmentul OB, vârful S pe graficul lui f și vârful R pe graficul lui g. Determină lungimea laturii pătratului.

Experimentează pe grafic

Schimbă latura pătratului. Vârful S rămâne pe graficul lui f. Când ajunge și R pe graficul lui g?

Laborator interactiv: Schimbă latura pătratului. Vârful S rămâne pe graficul lui f. Când ajunge și R pe graficul lui g?

1Notează latura pătratului cu s. Vârfurile de sus, S și R, au ordonata s.

2S e pe graficul lui f: dacă S(p, s), atunci s = 2p. Iar R are abscisa p + s, pentru că RS e orizontală și are lungimea s.

3Scrie că R este pe graficul lui g și rezolvă ecuația în s.

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 9 din 13

Centura albastră

Trei informații și o valoare ascunsă

Despre o funcție de forma ax + b știi doar trei lucruri, și niciunul nu e o egalitate: sunt inegalități. Cât de mică poate fi atunci valoarea ei în 3? Și cât de mare? Pe desen reglează a și b și încearcă să cobori f(3) cât mai mult, apoi să-l urci cât mai mult, fără să strici vreo condiție. Nu încerca să afli a și b: nu se poate. Caută legături directe între valori.

Ideea problemei: Nu afla a și b. Caută legături directe între f(3) și valorile despre care știi ceva: pentru cea mai mică valoare, f(1) și f(4); pentru cea mai mare, f(1) și f(2).

CerințăProblema 9 din 13 Centura albastră

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică f(1) ≥ 0, f(2) ≤ 3 și f(4) ≥ 5. a) Arată că f(3) = (f(1) + 2f(4))/3. b) Determină cea mai mică valoare posibilă a lui f(3) și o funcție f pentru care se obține. c) Determină cea mai mare valoare posibilă a lui f(3) și o funcție f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Reglează a și b și urmărește cele trei condiții. Cât de jos poți coborî f(3) fără să strici vreo condiție? Și cât de sus îl poți urca?

Laborator interactiv: Reglează a și b și urmărește cele trei condiții. Cât de jos poți coborî f(3) fără să strici vreo condiție? Și cât de sus îl poți urca?

1Scrie f(1) și f(4) cu a și b, apoi calculează f(1) + 2f(4).

2Din a), f(3) se calculează din f(1) și f(4). Întreabă-te întâi: f(3) scade când f(1) scade sau când crește? La fel pentru f(4). Abia apoi pune, pentru fiecare, capătul pe care îl permite inegalitatea ei. Condiția f(2) ≤ 3 nu intră în acest calcul: o verifici la final și o pui la lucru la c).

3La b), egalitatea cere f(1) = 0 și f(4) = 5: află funcția din aceste două puncte și verifică apoi și condiția f(2) ≤ 3. La c), caută o legătură între f(3), f(2) și f(1): saltul de la f(2) la f(3) e același cu saltul de la f(1) la f(2).

a) calculul:

b) cea mai mică valoare a lui f(3):

b) o funcție pentru care se obține: f(x) =

c) cea mai mare valoare a lui f(3):

c) o funcție pentru care se obține: f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 10 din 13

Centura albastră

Sume care cresc după o regulă

Aduni pe rând valorile unei funcții: f(1), apoi f(1) + f(2), apoi f(1) + f(2) + f(3) și tot așa. Cineva îți spune o formulă pentru fiecare astfel de sumă, dar nu și funcția. O poți reconstitui, pas cu pas, ca un detectiv. Pe desen reglează a și b și urmărește suma primilor zece stâlpi: când ajunge la 120, ești aproape.

Ideea problemei: Diferența dintre două sume consecutive e chiar ultimul termen adunat. Primele două sume îți dau f(1) și f(2), adică două puncte.

CerințăProblema 10 din 13 Centura albastră

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are proprietatea că f(1) + f(2) + … + f(n) = n² + 2n, pentru orice număr natural n ≥ 1. a) Calculează f(1) și f(2). b) Determină funcția f. c) Calculează f(2026).

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), …, f(10); urmărește suma lor și compar-o cu n² + 2n pentru n = 10.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), …, f(10); urmărește suma lor și compar-o cu n² + 2n pentru n = 10.

1Pentru n = 1 suma are un singur termen, f(1). Pune n = 1 în formulă.

2Pentru n = 2: f(1) + f(2) = 8. Scade f(1) și afli f(2).

3Din f(1) și f(2) afli a și b, ca din două puncte (micro-noțiunea 3.1). Verifică apoi formula pentru n = 3.

a) f(1) =

a) f(2) =

b) f(x) =

c) f(2026) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 11 din 13

Centura albastră

Puncte cu coordonate raționale pe o dreaptă cu a irațional

Pe hârtie, orice dreaptă pare să treacă prin o mulțime de puncte „frumoase”, cu coordonate fracții. Dar dacă a, coeficientul lui x, e un număr irațional, ca √2, lucrurile se schimbă radical. Plimbă punctul pe desen și uită-te la coordonatele lui: când sunt amândouă frumoase? Ghicește câte astfel de puncte există pe toată dreapta, apoi demonstrează.

Ideea problemei: Două puncte cu coordonate raționale ar face coeficientul a rațional. De aici, pe o dreaptă cu a irațional nu încap două.

CerințăProblema 11 din 13 Centura albastră

a) Arată că, dacă graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, conține două puncte distincte care au ambele coordonate numere raționale, atunci a și b sunt numere raționale. b) Câte puncte cu ambele coordonate numere raționale are graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = √2 · x + 1?

Experimentează pe grafic

Plimbă punctul pe grafic. Când sunt ambele coordonate „frumoase”?

Laborator interactiv: Plimbă punctul pe grafic. Când sunt ambele coordonate „frumoase”?

1Două puncte distincte ale graficului unei funcții au abscise diferite. De ce?

2Scade condițiile y₁ = a·x₁ + b și y₂ = a·x₂ + b și exprimă a. Ce fel de număr e un raport de numere raționale?

3Pentru b): dacă graficul lui g ar avea două puncte cu coordonate raționale, ce ar rezulta despre √2? Și găsești măcar un punct bun?

a) justificarea:

b) numărul de puncte:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 12 din 13

Centura albastră

O sumă care se strânge singură

O sută de triunghiuri, fiecare tăiat din colțul reperului de altă dreaptă. Aduni inversele ariilor lor. Pare o muncă de o zi, dar nu e: fiecare termen se desface într-o diferență și aproape totul se reduce. Pe desen alege n și urmărește suma de până la el; ghicește spre ce număr se apropie.

Ideea problemei: Descompune 1/(n(n + 1)) într-o diferență de două fracții mai simple. Apoi scrie suma și uită-te ce se taie.

CerințăProblema 12 din 13 Centura albastră

Pentru fiecare număr natural n ≥ 1, graficul funcției f_n : ℝ → ℝ, f_n(x) = −(n + 1)x/n + n + 1 formează cu axele de coordonate un triunghi cu aria A_n. a) Arată că A_n = n(n + 1)/2. b) Calculează S = 1/A₁ + 1/A₂ + … + 1/A₁₀₀.

Experimentează pe grafic

Alege n și urmărește triunghiul și suma calculată până la el.

Laborator interactiv: Alege n și urmărește triunghiul și suma calculată până la el.

1f_n(0) = n + 1, iar f_n(x) = 0 dă x = n.

21/A_n = 2/(n(n + 1)). Poți scrie 1/(n(n + 1)) ca diferența a două fracții mai simple, cu numitorii n și n + 1?

3Scrie suma cu această descompunere: termenii din mijloc se reduc doi câte doi.

a) justificarea:

b) S =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura albastră – problema 13 din 13

Centura albastră

Funcția aplicată de două ori

În plus față de programăCompunerea funcțiilor.

Pui un număr într-o funcție, iar rezultatul îl pui din nou în aceeași funcție. Scriem asta f(f(x)): valoarea lui f în numărul f(x), exact ca la micro-noțiunea 1.1, doar că numărul pus în formulă e chiar f(x). Operația asta se numește compunerea funcțiilor și nu e în programa de gimnaziu; o vei întâlni la liceu. Pe desen reglează a și b până când dreapta roz, f(f(x)), se așază peste linia punctată. Ghicește: câte funcții se potrivesc, una sau mai multe?

Ideea problemei: f(f(x)) e tot o expresie de forma px + q. Compar-o cu 9x − 16: coeficient cu coeficient, termen liber cu termen liber.

CerințăProblema 13 din 13 Centura albastră

Determină toate funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, pentru care f(f(x)) = 9x − 16, pentru orice număr real x. (Prin f(f(x)) înțelegem valoarea funcției f în numărul f(x).)

Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Linia punctată este 9x − 16; dreapta roz este f(f(x)). Fă-le să coincidă.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Linia punctată este 9x − 16; dreapta roz este f(f(x)). Fă-le să coincidă.

1Calculează f(f(x)) = a · f(x) + b = a(ax + b) + b și desfă paranteza.

2Egalitatea e adevărată pentru orice x. Pune x = 0, apoi x = 1: obții două ecuații în a și b.

3Din ele rezultă a² = 9. Câte numere au pătratul 9? Nu uita niciun caz.

a) funcția cu a > 0: f(x) =

b) funcția cu a < 0: f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura albastră · gata

Nivelul 4 din 6 · gata

Ai terminat centura albastră

Ai rezolvat 0 din 13. Urmează centura maro.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura maro

Nivelul 5 din 6 · Lecția 11

Centura maro

Două idei legate.

La centura maro, problemele cer mai multe idei legate între ele. Ia-o încet, cu hârtie și creion; graficul de lângă fiecare problemă te ajută să vezi.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 1 din 6

Centura maro

Cel mai mic triunghi printr-un punct

Imaginează-ți colțul unei plăci de lemn, cu un cui bătut în punctul P(6, 3). Tai placa în linie dreaptă, trecând prin cui, și desprinzi din colț un triunghi. Cum înclini tăietura ca triunghiul să fie cât mai mic? Pe desen rotește tăietura în jurul cuiului și urmărește aria: vei găsi repede un candidat. Greul abia începe: să arăți că nicio altă înclinare nu dă mai puțin.

Ideea problemei: Aria se scrie ca o sumă în care un termen crește cu k și celălalt scade. Minimul îl dă un pătrat care nu poate fi negativ, cu formulele de calcul prescurtat de la Lecția 6.

CerințăProblema 1 din 6 Centura maro

O dreaptă trece prin punctul P(6, 3) și intersectează semiaxa pozitivă Ox în A și semiaxa pozitivă Oy în B. Dreapta este graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n, cu m < 0; notăm k = −m. a) Arată că aria triunghiului OAB este 18 + 18k + 9/(2k). b) Determină cea mai mică valoare posibilă a ariei și funcția f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Rotește tăietura în jurul cuiului P și urmărește aria. Unde pare cea mai mică?

Laborator interactiv: Rotește tăietura în jurul cuiului P și urmărește aria. Unde pare cea mai mică?

1Din P ∈ G_f: 3 = 6m + n, deci n = 3 − 6m = 3 + 6k. Acesta este chiar OB.

2Pentru A, rezolvă −kx + n = 0 și scrie OA ca 6 + (ceva)/k. Apoi înmulțește OA · OB, împarte la 2 și desfă parantezele.

3Pentru minim, uită-te doar la partea care depinde de k, 18k + 9/(2k). De pe desen bănuiești sub ce număr nu coboară; numește-l M. Scrie diferența 18k + 9/(2k) − M ca o singură fracție. Ce fel de număr e numărătorul?

a) calculul ariei:

b) aria minimă:

b) f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 2 din 6

Centura maro

Funcția închisă în cutie

Funcția f(x) = ax + b e „închisă într-o cutie”: pe intervalul [1, 3], valorile ei nu au voie să iasă din banda dintre 1 și 5. Cât de sus poate totuși să ajungă, în afara cutiei, la x = 6? Pe desen mută a și b cât timp segmentul rămâne verde și urmărește f(6). Un candidat îl ghicești repede. Greu e să arăți că nimeni nu-l poate întrece: sunt două idei de legat, iar cerința a) ți-o pregătește pe prima.

Ideea problemei: Nu lucra cu a și b, ci cu două valori ale funcției, u = f(1) și v = f(3), despre care știi tot: sunt în cutie. Scrie a, b și f(6) cu ajutorul lor.

CerințăProblema 2 din 6 Centura maro

Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are proprietatea că 1 ≤ f(x) ≤ 5 pentru orice x ∈ [1, 3]. a) Arată că −2 ≤ a ≤ 2. b) Determină cea mai mare valoare posibilă a lui f(6) și o funcție f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Mută a și b. Segmentul e verde cât timp funcția stă în cutie pe [1, 3]. Caută cel mai mare f(6) cu segmentul verde.

Laborator interactiv: Mută a și b. Segmentul e verde cât timp funcția stă în cutie pe [1, 3]. Caută cel mai mare f(6) cu segmentul verde.

1Pe [1, 3] graficul e un segment, deci cea mai mare și cea mai mică valoare sunt la capete (micro-noțiunea 3.2). Așadar condiția spune ceva doar despre f(1) și f(3).

2Notează u = f(1) = a + b și v = f(3) = 3a + b, amândouă între 1 și 5. Exprimă a prin u și v: a = (v − u)/2. Cât de mare și cât de mic poate fi?

3Scrie f(6) = 6a + b tot cu u și v. Apoi întreabă-te: ce valori ale lui u și v îl fac cât mai mare? Nu uita să verifici că funcția găsită chiar stă în cutie.

a) demonstrația:

b) cea mai mare valoare a lui f(6):

b) o funcție pentru care se obține, f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 3 din 6

Centura maro

Un punct se plimbă prin triunghi

Un punct M se plimbă prin interiorul unui triunghi și formează, cu două dintre vârfuri, un alt triunghi, mai mic. Aria lui se schimbă după cum muți M. Pe desen atinge colțuri de pătrățel din interior și citește aria. Caută întâi o regulă, de exemplu ce se întâmplă cu aria când muți M cu un pătrățel la dreapta, apoi răspunde la întrebări.

Ideea problemei: Aria unui triunghi „oblic” se află scăzând din aria mare ariile a două triunghiuri cu câte o latură pe axe; înălțimile lor sunt chiar coordonatele lui M.

CerințăProblema 3 din 6 Centura maro

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x/4 + 6 intersectează axa Ox în A și axa Oy în B; O este originea reperului. Punctul M(x, y), cu ambele coordonate numere întregi, este situat strict în interiorul triunghiului OAB. a) Arată că aria triunghiului MAB este un număr natural. b) Pentru câte astfel de puncte M aria triunghiului MAB este divizibilă cu 5?

Experimentează pe grafic

Atinge un colț de pătrățel din interior: vezi aria triunghiului MAB pentru el. Încearcă mai multe. Ce observi când muți M cu un pătrățel?

Laborator interactiv: Atinge un colț de pătrățel din interior: vezi aria triunghiului MAB pentru el. Încearcă mai multe. Ce observi când muți M cu un pătrățel?

1A(8, 0) și B(0, 6). Pentru M(x, y) din interior, triunghiul OAB se împarte în trei triunghiuri: OMA, OMB și MAB.

2Calculează ariile triunghiurilor OMA și OMB folosind coordonatele lui M ca înălțimi. Apoi scade-le din aria lui OAB.

3Punctele interioare întregi au x ≥ 1, y ≥ 1 și 3x + 4y < 24. Ia pe rând y = 1, …, 5 și caută x pentru care aria se împarte exact la 5.

a) demonstrația:

b) numărul de puncte:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 4 din 6

Centura maro

Zece drepte și punctele lor de întâlnire

Desenezi zece drepte după aceeași rețetă, fiecare cu alt număr k. Oricare două se taie. Întrebarea pare ușoară: câte puncte de intersecție vezi? Capcana e că trei drepte ar putea trece prin același punct, și atunci ai număra mai puține. Pe desen crește numărul de drepte și uită-te în panou dacă numărul de puncte distincte rămâne egal cu numărul de perechi. Apoi demonstrează că așa e mereu.

Ideea problemei: Punctul comun al dreptelor j și k este (j + k, jk). Suma și produsul a două numere le determină pe amândouă, deci perechi diferite dau puncte diferite.

CerințăProblema 4 din 6 Centura maro

Pentru k = 1, 2, 3, …, 10 se consideră funcțiile f_k : ℝ → ℝ, f_k(x) = kx − k². a) Arată că, pentru j ≠ k, graficele funcțiilor f_j și f_k se intersectează în punctul (j + k, jk). b) Câte puncte distincte de intersecție au, în total, cele zece grafice?

Experimentează pe grafic

Alege câte drepte desenezi și numără punctele de intersecție. Apar vreodată trei drepte prin același punct?

Laborator interactiv: Alege câte drepte desenezi și numără punctele de intersecție. Apar vreodată trei drepte prin același punct?

1Egalează f_j(x) = f_k(x) și împarte la j − k, care nu este 0. Formula a² − b² te ajută.

2Fiecare pereche de drepte dă un punct. Câte perechi sunt? Dar pot două perechi diferite să dea același punct?

3Dacă j + k = s și jk = p, atunci (j − k)² = s² − 4p. Deci din sumă și produs afli și diferența; cu suma și diferența, afli numerele.

a) calculul punctului comun:

b) numărul de puncte distincte:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 5 din 6

Centura maro

Punctele de sub diagonală

Pe o foaie de matematică, un dreptunghi de 13 pe 5 pătrățele are o diagonală trasă. Câte colțuri de pătrățel stau strict sub ea, în interiorul dreptunghiului? Le poți număra rând cu rând, și pe desen chiar poți apăsa pe cele pe care le crezi înăuntru. Dar există un drum mai scurt și mai frumos, care pleacă de la o întrebare simplă: trece diagonala prin vreun colț de pătrățel, în afară de capete?

Ideea problemei: Triunghiul e jumătate dintr-un dreptunghi. Dacă diagonala nu atinge niciun colț interior, cele două jumătăți împart colțurile interioare între ele; întreabă-te de ce ar lua fiecare exact jumătate.

CerințăProblema 5 din 6 Centura maro

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −5x/13 + 5 intersectează axa Ox în A și axa Oy în B; O este originea reperului. a) Arată că niciun punct al segmentului AB, în afară de A și B, nu are ambele coordonate numere întregi. b) Câte puncte cu ambele coordonate numere întregi se află strict în interiorul triunghiului OAB?

Experimentează pe grafic

Apasă pe colțurile de pătrățel pe care le crezi strict în interiorul triunghiului. Contorul îți arată câte ai marcat și câte dintre ele sunt chiar înăuntru. Punctul P stă pe diagonala AB: trage-l (sau scrie-i abscisa x în panou) și uită-te la ordonata lui.

Laborator interactiv: Apasă pe colțurile de pătrățel pe care le crezi strict în interiorul triunghiului. Contorul îți arată câte ai marcat și câte dintre ele sunt chiar înăuntru. Punctul P stă pe diagonala AB: trage-l (sau scrie-i abscisa x în panou) și uită-te la ordonata lui.

1Un punct al segmentului cu abscisa x întreagă, între 1 și 12, are ordonata 5 − 5x/13. Când e aceasta un număr întreg? Gândește-te la divizibilitatea cu 13.

2Completează triunghiul până la dreptunghiul cu vârfurile O, A(13, 0), C(13, 5), B(0, 5). Câte colțuri de pătrățel are dreptunghiul strict în interior? Și unde stă fiecare dintre ele: sub diagonală sau deasupra ei?

3Împerechează fiecare colț interior de sub diagonală cu un colț interior de deasupra ei, astfel încât perechile să acopere tot dreptunghiul. Ce mișcare a dreptunghiului face asta pentru toate punctele deodată?

a) justificarea:

b) numărul de puncte:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura maro – problema 6 din 6

Centura maro

Fiecare valoare o divide pe următoarea

Scrii valorile unei funcții în numerele 1, 2, 3, … și ceri ca fiecare să o dividă pe următoarea. Pe desen alege a și b întregi și urmărește unde se strică lanțul: f(1) | f(2), f(2) | f(3) și tot așa. Pare că există multe astfel de funcții. În realitate, cerința e atât de strictă încât aproape nimic nu rezistă; ghicește ce rămâne, apoi demonstrează exact.

Ideea problemei: Caută un număr fix pe care toate valorile f(n) trebuie să-l dividă. Un număr fix nu poate avea divizori oricât de mari.

CerințăProblema 6 din 6 Centura maro

Determină toate funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi, pentru care, oricare ar fi numărul natural n ≥ 1, avem f(n) ≠ 0 și f(n) divide f(n + 1).

Experimentează pe grafic

Alege a și b și urmărește dacă f(1) | f(2), f(2) | f(3), … Unde se strică?

Laborator interactiv: Alege a și b și urmărește dacă f(1) | f(2), f(2) | f(3), … Unde se strică?

1f(n) divide f(n + 1) și, evident, divide f(n). Ce divide atunci și? Gândește-te la diferență.

2Cât este f(n + 1) − f(n)? Nu depinde de n. Ce poți spune despre un număr care îl divide?

3Dacă a ≠ 0, un divizor al lui a are modulul cel mult |a|. Dar ce se întâmplă cu |f(n)| = |an + b| când n crește foarte mult?

a) a =

b) ce valori poate lua b:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura maro · gata

Nivelul 5 din 6 · gata

Ai terminat centura maro

Ai rezolvat 0 din 6. Urmează centura neagră.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Centura neagră

Nivelul 6 din 6 · Lecția 11

Centura neagră

O zi pe o problemă.

Aici și profesorii stau o zi pe o problemă. Nu e nevoie pentru examen. Intră când vrei să vezi cât de departe poți merge.

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura neagră – problema 1 din 4

Centura neagră

Drepte prin rețeaua de 10 × 10

Ai o rețea de 10 × 10 puncte, ca un tablou de joc: toate punctele (x, y) cu x și y de la 1 la 10. Tragi drepte de forma y = ax + b, cu a și b numere întregi. Pe desen alege a și b și uită-te câte puncte ale rețelei prinde dreapta. Câte drepte prind cel puțin trei? E o numărătoare lungă, în care fiecare dreaptă trebuie numărată o singură dată. Ia hârtie și creion: aici stau și profesorii o zi.

Ideea problemei: Grupează dreptele după coeficientul a. O dreaptă cu cel puțin trei puncte în rețea are un „prim punct”, cel mai din stânga. Numără primele puncte posibile.

CerințăProblema 1 din 4 Centura neagră

Se consideră mulțimea R a punctelor (x, y), cu x, y ∈ {1, 2, …, 10}. Câte grafice ale funcțiilor f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi (a poate fi și 0), conțin cel puțin trei puncte din R?

Experimentează pe grafic

Alege coeficientul a și termenul liber b. Punctele verzi sunt punctele rețelei de pe dreaptă.

Laborator interactiv: Alege coeficientul a și termenul liber b. Punctele verzi sunt punctele rețelei de pe dreaptă.

1Dacă |a| ≥ 5, trei puncte ale dreptei cu abscise consecutive au ordonatele la distanță de cel puțin 10. Mai încap în rețea?

2Simetria (x, y) → (x, 11 − y) păstrează rețeaua și schimbă coeficientul a în −a. Deci e de ajuns să numeri pentru a ≥ 0 și să dublezi partea cu a ≠ 0.

3Pentru a ≥ 1, numără dreptele după cel mai din stânga punct al lor din R. Ce condiții trebuie să îndeplinească acest punct ca să fie primul și ca dreapta să mai aibă încă două?

răspunsul:

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura neagră – problema 2 din 4

Centura neagră

Cel mai mic perimetru printr-un punct

Același colț de placă și același cui din P(6, 3) ca la centura maro, unde ai căutat tăietura cu cea mai mică arie. Acum vrei cel mai scurt contur: cel mai mic perimetru. Pe desen rotește tăietura și urmărește perimetrul; ghicește dacă tăietura cea mai bună e aceeași ca la arie sau alta. Demonstrația merge doar cu teorema lui Pitagora și cu formulele de calcul prescurtat, dar cere răbdare: e o zi de lucru.

Ideea problemei: Scrie perimetrul cu OA = α. Pentru „perimetru ≥ număr”, izolează radicalul, ridică la pătrat și caută un pătrat perfect.

CerințăProblema 2 din 4 Centura neagră

O dreaptă trece prin punctul P(6, 3) și intersectează semiaxa pozitivă Ox în A(α, 0) și semiaxa pozitivă Oy în B(0, β). Dreapta este graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n. a) Arată că 6/α + 3/β = 1. b) Determină cel mai mic perimetru posibil al triunghiului OAB și funcția f pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Rotește tăietura în jurul punctului P și urmărește perimetrul. Cât de mic îl poți face?

Laborator interactiv: Rotește tăietura în jurul punctului P și urmărește perimetrul. Cât de mic îl poți face?

1Dreapta prin A(α, 0) și B(0, β) este f(x) = −βx/α + β. Pune condiția f(6) = 3 și împarte la β.

2Din a), β = 3α/(α − 6), cu α > 6. Ia câteva valori pentru α (de pildă 8, 9, 11, 12, 15) și calculează de fiecare dată perimetrul α + β + √(α² + β²): pare că nu coboară sub un anumit număr. Ghicește-l, apoi încearcă să-l demonstrezi.

3Notează numărul tău cu M. Dacă α + β ≥ M, perimetrul e clar cel puțin M. Altfel arată că √(α² + β²) ≥ M − α − β: ridică la pătrat (ambii membri sunt pozitivi), folosește relația αβ = 6β + 3α din a) și caută un pătrat perfect.

a) justificarea:

b) perimetrul minim:

b) f(x) =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura neagră – problema 3 din 4

Centura neagră

Segmente tăiate în trei, pe colțuri de pătrățel

În plus față de programăPrincipiul cutiei și lema lui Gauss, două unelte de la cercul de matematică; apasă pe numele lor ca să le citești definiția.

Alegi pe o dreaptă câteva colțuri de pătrățel, adică puncte cu ambele coordonate întregi. Unești două dintre ele și tai segmentul în trei bucăți egale: uneori cele două tăieturi cad tot pe colțuri de pătrățel, alteori cad înăuntrul pătrățelelor sau pe laturile lor, nu în colțuri. Câte puncte trebuie să alegi ca să fii sigur că măcar o pereche se taie „frumos”? Pe desen alege a = p/q și uită-te la culorile punctelor: ele ascund răspunsul. Apoi demonstrează-l.

Ideea problemei: Pe o astfel de dreaptă, punctele cu coordonate întregi nu sunt împrăștiate la întâmplare: urmează un pas fix, dat de a, scris ca fracție ireductibilă. Numără pașii și uită-te la restul lor la împărțirea cu 3.

CerințăProblema 3 din 4 Centura neagră

Determină cel mai mic număr natural n cu proprietatea următoare: oricare ar fi funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, și oricum am alege n puncte distincte ale graficului ei, fiecare cu ambele coordonate numere întregi, există două dintre ele pentru care cele două puncte care împart segmentul determinat de ele în trei părți egale au, de asemenea, ambele coordonate întregi. (Punctele care împart segmentul cu capetele (x₁, y₁) și (x₂, y₂) în trei părți egale au coordonatele ((2x₁ + x₂)/3, (2y₁ + y₂)/3) și ((x₁ + 2x₂)/3, (y₁ + 2y₂)/3).)

Experimentează pe grafic

Alege coeficientul a = p/q; fracția se aduce singură la forma ireductibilă. Colțurile de pătrățel de pe grafic apar în trei culori. Alege două dintre ele, oricare, și împarte segmentul dintre ele în trei: tăieturile cad pe colțuri sau nu? Caută ce au în comun perechile care se taie „frumos”. După răspuns îți spun și regula culorilor.

Laborator interactiv: Alege coeficientul a = p/q; fracția se aduce singură la forma ireductibilă. Colțurile de pătrățel de pe grafic apar în trei culori. Alege două dintre ele, oricare, și împarte segmentul dintre ele în trei: tăieturile cad pe colțuri sau nu? Caută ce au în comun perechile care se taie „frumos”. După răspuns îți spun și regula culorilor.

1Încearcă întâi cu trei puncte pe dreapta y = x. Apoi gândește-te ce fel de număr e a, dacă graficul trece prin două puncte cu coordonate întregi.

2Scrie a = p/q, fracție ireductibilă, cu q > 0. Dacă (x₁, y₁) și (x, y) sunt puncte întregi ale graficului, ce poți spune despre x − x₁ față de q?

3Uită-te la formulele punctelor de tăiere din enunț: ce anume trebuie să se împartă exact la 3, ca amândouă coordonatele să fie întregi? Scrie condiția cu pașii k ai celor două puncte. Apoi gândește-te la resturile pe care le pot da numerele k la împărțirea cu 3.

a) n =

b) justificarea (un contraexemplu pentru n − 1 și demonstrația pentru n):

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

Nivel Centura neagră – problema 4 din 4

Centura neagră

Opt case, ponderi diferite

Pe un drum drept stau opt case, la kilometrii 1, 2, …, 8. În casa de la kilometrul k locuiesc k oameni, iar fiecare om merge zilnic o dată până la fântână. Unde săpăm fântâna ca drumul total al tuturor oamenilor să fie cel mai scurt? Pe desen mută fântâna și urmărește drumul total. Nu mai merge răspunsul „casa din mijloc”: casele mai populate trag fântâna spre ele. Ghicește spre care kilometru, apoi demonstrează.

Ideea problemei: Pe fiecare interval dintre două case, E(x) e de forma px + q. Urmărește semnul lui p de la un interval la altul: unde trece de la minus la plus?

CerințăProblema 4 din 4 Centura neagră

Pentru fiecare număr real x se consideră E(x) = |x − 1| + 2|x − 2| + 3|x − 3| + … + 8|x − 8|. Determină cea mai mică valoare a lui E(x) și numărul x pentru care se obține.

Experimentează pe grafic

Mută fântâna pe drum și urmărește drumul total al tuturor oamenilor.

Laborator interactiv: Mută fântâna pe drum și urmărește drumul total al tuturor oamenilor.

1Pe [n, n + 1], pentru k ≤ n avem |x − k| = x − k, iar pentru k > n avem |x − k| = k − x.

2Pe fiecare astfel de interval, E(x) e de forma px + q. Cum depinde p de numărul oamenilor din casele din stânga și din dreapta lui x?

3E scade pe intervalele unde p < 0 și crește unde p > 0. Pentru ce n își schimbă p semnul? Nu uita intervalele (−∞, 1] și [8, +∞).

a) valoarea minimă:

b) x =

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Centurile· Lecția 11

bilanțul

Centurile: parcurse!

Corecte

0/0

Precizie

100%