Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiile noțiunii 2
Graficul este o dreaptă
66 exerciții, de la ușor la greu, nivel cu nivel. La prima parcurgere îți recomand drumul complet, micro-noțiune cu micro-noțiune: acolo exersezi pe loc fiecare idee.
Sari direct la exercițiile unei micro-noțiuni:
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.1 · 1 din 66 · 2.1 ☆☆☆
O întrebare de înțelegere, fără calcule: ce desenezi și cu cât efort minim.
Cerință2.1.1 Centura albă
Vrei să desenezi în planul xOy graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a ≠ 0.
a) Ce fel de linie obții?
b) De câte puncte ale ei ai nevoie ca să o poți trasa?
Indicii
1Gândește-te la tabelul de valori al unei astfel de funcții: la fiecare pas de 1, valoarea urcă (sau coboară) cu același număr. Ce formă dau punctele așezate așa?
2Câte linii drepte poți trasa prin două puncte care nu coincid? Încearcă cu rigla.
3Dacă ai tras deja dreapta prin două puncte, ce ți-ar mai aduce un al treilea?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.2 · 2 din 66 · 2.1 ☆☆☆
Cele două puncte comode sunt aici deja alese. Tu le calculezi și spui ce iese când le unești.
Cerință2.1.2 Centura albă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3.
a) Determină punctul graficului care are abscisa 0.
b) Determină punctul graficului care are abscisa 2.
c) Ce obții unind cele două puncte?
Indicii
1Abscisa e primul număr din pereche, adică x. Calculează f pentru fiecare dintre cele două abscise date.
2f(0) se calculează cel mai ușor: produsul cu 0 dispare. Ce rămâne?
3Scrie perechile în ordinea (x, f(x)). Apoi: ce figură e graficul unei funcții de forma ax + b pe ℝ?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.3 · 3 din 66 · 2.1 ☆☆☆
Un singur lucru verific aici: te uiți la domeniu înainte să te uiți la formulă?
Cerință2.1.3 Centura albă
Reprezentarea geometrică a graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 5, în planul xOy este:
Indicii
1Nu te uita la formulă, uită-te la domeniu: f : ℝ → ℝ. Ce valori poate lua x?
2Dacă x poate fi oricât de mic și oricât de mare, are figura vreun capăt?
3Cele două puncte pe care le folosești la desen nu sunt graficul: sunt doar unealta cu care îl trasezi.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.1 · 4 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Un singur punct, o singură verificare: exact testul bonului de taxi din introducere.
Cerință2.2.1 Centura albă
Verifică dacă punctul A(3, 7) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1. Justifică răspunsul.
Indicii
1Un punct are două numere. Unul intră în formulă, cu celălalt compari rezultatul. Care intră?
2În formulă intră abscisa, primul număr: calculează f(3).
3Ai obținut un număr. Dacă e egal cu a doua coordonată a punctului, punctul e pe grafic.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.2 · 5 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Trei puncte candidate. Pune-l pe fiecare la probă și păstrează doar punctele care trec.
Cerință2.2.2 Centura albă
Stabilește care dintre punctele A(−1, 4), B(1, 4) și C(0, 1) aparțin graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 1.
Indicii
1Testul e același pentru fiecare punct: pui abscisa în formulă și compari cu ordonata. Fă-l de trei ori.
2A și B au aceeași ordonată, 4, dar abscise diferite: −1 și 1. Testul poate ieși diferit pentru ele.
3La A, pune −1 în paranteze: −3 · (−1). Ce semn are produsul?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.1 · 6 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Citește cele două numere direct din formulă, apoi spune de unde pleacă dreapta pe axa Oy.
Cerință2.3.1 Centura albă
Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −5x + 2:
a) precizează valoarea coeficientului a;
b) precizează valoarea termenului liber b;
c) scrie punctul în care graficul funcției intersectează axa Oy.
Indicii
1Pune formula dată lângă forma generală a · x + b și potrivește: cine stă în locul lui a, cine în locul lui b?
2Semnul merge împreună cu numărul: în −5x, coeficientul e −5, nu 5.
3Pe axa Oy, x este 0. Ce rămâne din formulă când x = 0?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.2 · 7 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Trei funcții, trei comportamente. Te uiți doar la semnul lui a.
Cerință2.3.2 Centura albă
Se dau funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 7, g(x) = −x + 3 și h(x) = 5. Pentru fiecare, precizează dacă valorile funcției cresc, scad sau rămân aceleași atunci când x crește.
Indicii
1La fiecare formulă, caută numărul care îl înmulțește pe x. Semnul lui hotărăște totul.
2La g(x) = −x + 3, x e înmulțit cu −1, chiar dacă nu scrie nimic în fața lui.
3La h(x) = 5 nu apare x deloc. Cât e a atunci? Și ce face o funcție cu a = 0?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.3 · 8 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Patru formule și un singur punct pe axa Oy. Ca să alegi, îți trebuie doar b.
Cerință2.3.3 Centura albă
Dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, singura al cărei grafic intersectează axa Oy în punctul (0, −3) este:
Indicii
1Pe axa Oy, x = 0. Calculează f(0) pentru fiecare variantă: produsul dispare, rămâne un singur număr.
2Caută numărul −3 în poziția de termen liber, nu oriunde în formulă.
3La varianta D, −3 stă lângă x. Asta îl face coeficient, nu termen liber.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.1 · 9 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Prima dintre cele două tăieturi, cea ușoară: o citești direct din formulă.
Cerință2.4.1 Centura albă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. Determină coordonatele punctului în care graficul funcției intersectează axa Oy.
Indicii
1Toate punctele de pe axa Oy au ceva în comun: prima lor coordonată. Cât e?
2Pune x = 0 în formulă. Produsul 2 · 0 dispare; ce rămâne?
3Scrie perechea în ordinea (abscisă, ordonată): abscisa e 0, ordonata e ce ai calculat.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.2 · 10 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Aceeași funcție, a doua tăietură. Aici chiar trebuie să rezolvi o ecuație.
Cerință2.4.2 Centura albă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6. Determină coordonatele punctului în care graficul funcției intersectează axa Ox.
Indicii
1Pe axa Ox toate punctele au a doua coordonată 0. Deci valoarea funcției trebuie să fie 0.
2Scrie 2x − 6 = 0 și rezolvă ca pe orice ecuație de gradul I.
3Ai găsit x. Punctul e (x, 0): ordonata e 0, nu trebuie calculată.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.1 · 11 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Domeniul are doar trei numere, ca biletele de cinema din introducere. Ce rămâne atunci din dreaptă pe desen?
Cerință2.5.1 Centura albă
Se consideră funcția f : {−1, 0, 2} → ℝ, f(x) = 2x + 1.
a) Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi.
b) Din câte puncte este format desenul graficului în planul xOy?
Indicii
1Câte numere are domeniul? Pentru fiecare, calculezi o valoare și obții o pereche.
2Scrie perechile ca (x, f(x)): la stânga numărul din domeniu, la dreapta ce a ieșit.
3Între −1 și 0 nu există alte numere în domeniu. Deci între punctele lor nu desenezi nimic.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.2 · 12 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Același f(x) = x + 2 din lecție, dar acum domeniul are un început și un sfârșit. Ce figură are și ea început și sfârșit?
Cerință2.5.2 Centura albă
Se consideră funcția f : [0, 4] → ℝ, f(x) = x + 2.
a) Ce figură este graficul funcției?
b) Determină capetele acestei figuri.
Indicii
1Uită-te la domeniu: [0, 4]. Unde începe și unde se termină desenul?
2O bucată de dreaptă cu două capete se numește segment. Capetele se află calculând f în capetele intervalului.
3Parantezele pătrate spun că 0 și 4 sunt în domeniu: capetele sunt pline.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.3 · 13 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Uită-te întâi la domeniu: e un interval, ca la benzină, sau câteva numere, ca la bilete?
Cerință2.5.3 Centura albă
Reprezentarea geometrică a graficului funcției f : {1, 2, 3} → ℝ, f(x) = x + 1, este:
Indicii
1Nu te uita la formulă, uită-te la domeniu: {1, 2, 3}. Câte numere sunt acolo?
2E numărul 1,5 în domeniu? Dacă nu, poate exista un punct al graficului deasupra lui?
3Fără puncte intermediare, nu ai ce uni. Ce rămâne pe desen?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.4 · 14 din 66 · 2.1 ☆☆☆
De data asta alegi tu valorile lui x. Un sfat de meserie: x = 0 e aproape mereu alegerea cea mai comodă.
Cerință2.1.4 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −x + 4. Alege două valori convenabile pentru x, calculează valorile funcției în ele și scrie coordonatele a două puncte prin care trece graficul.
Indicii
1Nu există un singur răspuns bun: orice două valori ale lui x merg. Care îți dă cel mai ușor calcul?
2Cu x = 0, produsul dispare și rămâne 4. Alege al doilea x la distanță, ca dreapta să iasă precisă.
3Scrie fiecare punct ca (x, f(x)): întâi numărul pe care l-ai pus, apoi ce a ieșit.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.5 · 15 din 66 · 2.1 ☆☆☆
Punctele sunt date. Tu verifici că sunt pe grafic și spui câte drepte pot trece prin ele.
Cerință2.1.5 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 6.
a) Arată că punctele A(−2, 0) și B(0, 6) aparțin graficului funcției.
b) Câte drepte trec prin punctele A și B?
Indicii
1Ca să arăți că un punct e pe grafic, pui prima lui coordonată în formulă și compari rezultatul cu a doua coordonată.
2Pentru A: f(−2) = 3 · (−2) + 6. Pune −2 în paranteze. Cu cât trebuie să compari rezultatul?
3La b): câte drepte poți duce prin două puncte diferite? Întrebarea e din clasa a VI-a.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.6 · 16 din 66 · 2.1 ☆☆☆
O rampă de acces descrisă printr-o formulă: înălțimea ei depinde de câți metri ai înaintat pe orizontală. Două puncte și o întrebare despre forma graficului.
Cerință2.1.6 Centura galbenă
La intrarea unei săli de sport se montează o rampă de acces. Să zicem că ea pornește de pe o bordură înaltă de o jumătate de metru și că urcă un sfert de metru la fiecare metru pe orizontală. Într-un reper xOy cu unitatea de 1 metru, înălțimea rampei deasupra solului, la distanța x metri de capătul de jos, este f(x) = x/4 + 1/2 (luăm x număr real oarecare).
a) Determină două puncte ale graficului funcției f.
b) Ce figură formează, pe desen, toate punctele graficului lui f?
Indicii
1Alege două distanțe x comode. Una dintre ele e aproape mereu 0: capătul de jos al rampei.
2Pentru al doilea punct ia un x care se împarte exact la 4; calculul iese fără fracții grele.
3La b), întrebarea e despre forma graficului: funcția e de forma ax + b, cu a = 1/4. Ce figură dă pe ℝ?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.3 · 17 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Aici necunoscuta e chiar coeficientul a. Punctul M îți dă ecuația pentru el.
Cerință2.2.3 Centura galbenă
Punctul M(−2, 9) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 3. Numărul a este egal cu:
Indicii
1M e pe grafic, deci coordonatele lui verifică formula: pune −2 în locul lui x și 9 în locul lui f(x).
2Ai o ecuație în a: a · (−2) + 3 = 9. Trece-l pe 3 dincolo, cu semn schimbat.
3La −2a = 6, împarți la −2. Ce semn iese?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.4 · 18 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Știi pe unde trece graficul, dar o coordonată lipsește. Formula ți-o dă imediat.
Cerință2.2.4 Centura galbenă
Determină numărul real m astfel încât punctul P(4, m) să aparțină graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 9.
Indicii
1Ce coordonată a lui P cunoști? Pe aceea o pui în formulă.
2Ordonata unui punct de pe grafic este valoarea funcției în abscisa lui. Deci m = f(4).
3Calculează −2 · 4 + 9. Atenție: produsul e negativ, apoi aduni 9.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.5 · 19 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Acum lipsește abscisa. Pui 10 în locul lui f(x) și rezolvi o ecuație de gradul I.
Cerință2.2.5 Centura galbenă
Determină numărul real t astfel încât punctul Q(t, 10) să aparțină graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 2.
Indicii
1Care coordonată lipsește: prima sau a doua? De data asta lipsește cea care intră în formulă.
2Ordonata e 10, deci f(t) = 10: scrie 4t − 2 = 10 și rezolvă.
3La 4t − 2 = 10, −2 trece dincolo ca +2. Apoi împarți la 4.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.6 · 20 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Afli coeficientul din punctul dat, apoi verifici. Verificarea face parte din răspuns.
Cerință2.2.6 Centura galbenă
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 7, trece prin punctul A(−3, 1).
a) Determină numărul a.
b) Scrie funcția și verifică rezultatul obținut.
Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -5 și 3 și y între -2 și 10; 2 puncte marcate.
Indicii
1Punctul e pe grafic, deci coordonatele lui verifică formula: −3 în locul lui x, între paranteze, și 1 în locul lui f(x).
2Ai −3a + 7 = 1. Trece-l pe 7 dincolo, cu semn schimbat.
3După ce ai a, scrie funcția completă și pune −3 în ea: trebuie să iasă 1.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.2.7 · 21 din 66 · 2.2 ☆☆☆
Un exercițiu de sortare: ai o listă de perechi și o regulă. Păstrezi doar perechile care respectă regula.
Cerință2.2.7 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 și perechile (0, 3), (1, 5), (2, 8), (−1, 1), (4, 11).
a) Câte dintre perechi reprezintă puncte ale graficului funcției?
b) Scrie perechea care nu aparține graficului.
Indicii
1Același test de cinci ori: primul număr intră în formulă, cu al doilea compari.
2La (−1, 1), pune −1 în paranteze: 2 · (−1) + 3.
3Testează-le pe toate cinci, chiar dacă după primele două ți se pare că ai înțeles regula.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.4 · 22 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Formula e scrisă „pe dos”, cu termenul liber în față. Pune-o în ordine și cele două întrebări se răspund singure.
Cerință2.3.4 Centura galbenă
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 − 3x, intersectează axa Oy în punctul P, iar valorile funcției, atunci când x crește:
Indicii
1Scrie formula ca „un număr ori x, plus un număr”: 4 − 3x devine −3x + 4.
2Termenul liber e cel fără x. El dă punctul de pe Oy: (0, b).
3Coeficientul lui x e −3, cu minus. Ce face dreapta când a e negativ?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.5 · 23 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Formula are înăuntru o literă necunoscută, m. Punctul de pe axa Oy ți-l dă pe m, iar m îți spune apoi încotro merge dreapta.
Cerință2.3.5 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m − 1)x + m + 5, unde m este un număr real. Graficul funcției intersectează axa Oy în punctul (0, 8).
a) Determină numărul m.
b) Pentru m găsit, valorile funcției cresc sau scad atunci când x crește?
Indicii
1Cine e termenul liber în formula asta? Tot ce nu e lipit de x.
2Punctul (0, 8) e pe Oy, deci f(0) = 8. Dar f(0) e chiar termenul liber: ai o ecuație în m.
3După ce ai m, calculează coeficientul lui x, 2m − 1, și uită-te la semnul lui.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.6 · 24 din 66 · 2.3 ☆☆☆
De data asta nu primești formula, ci două informații despre ea: de unde pleacă și cu cât coboară la fiecare pas. Le traduci în a și b.
Cerință2.3.6 Centura galbenă
Despre funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(0) = −2 și că, de fiecare dată când x crește cu 1, valoarea funcției scade cu 3.
a) Scrie funcția f.
b) Graficul taie axa Oy deasupra sau dedesubtul originii?
Indicii
1f(0) e un număr pe care îl cunoști. Ce coeficient din formulă e chiar f(0)?
2„Când x crește cu 1, valoarea scade cu 3” descrie un singur număr din formulă, cu semnul lui.
3Punctul de pe Oy e (0, b). Dacă b e negativ, unde stă punctul față de origine?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.7 · 25 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Din clasa a VI-a știi mărimile direct proporționale: dacă una se dublează, se dublează și cealaltă. Acum le recunoști printre funcțiile lecției.
Cerință2.3.7 Centura galbenă
Care dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, descrie două mărimi direct proporționale?
Indicii
1Dacă dublezi x, se dublează și valoarea? Încearcă la fiecare variantă cu x = 1 și x = 2.
2La mărimi direct proporționale, graficul trece prin origine: f(0) = 0. Ce înseamnă asta pentru b?
3Ai nevoie de b = 0 și, în plus, de a ≠ 0. O singură variantă le are pe amândouă.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.8 · 26 din 66 · 2.3 ☆☆☆
La piață, să zicem că merele costă 6 lei kilogramul. Costul depinde de cantitate în felul cel mai simplu: de câte ori mai mult cumperi, de atâtea ori mai mult plătești.
Cerință2.3.8 Centura galbenă
Un kilogram de mere costă 6 lei.
a) Scrie funcția f care dă costul, în lei, pentru x kilograme.
b) Sunt costul și cantitatea mărimi direct proporționale? Răspunde cu da sau nu și spune de ce.
Indicii
1Cât costă 0 kilograme? Dar 2 kilograme față de 1 kilogram?
2Nu există nicio sumă fixă care se plătește indiferent de cantitate. Ce înseamnă asta pentru b?
3Împarte costul la cantitate pentru câteva valori. Obții mereu același număr?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.9 · 27 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Aici nu știi nimic despre funcție, în afară de o comparație între două valori. Totuși, poți trage o concluzie sigură.
Cerință2.3.9 Centura galbenă
Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(1) < f(2). Este adevărat că a > 0? Justifică.
Indicii
1Scrie f(1) și f(2) cu literele a și b, apoi calculează diferența f(2) − f(1). Ce rămâne?
2Rămâne doar a. Iar f(1) < f(2) spune ceva despre semnul diferenței.
3Dacă valoarea urcă de la x = 1 la x = 2, dreapta urcă. Ce semn are a la o dreaptă care urcă?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.10 · 28 din 66 · 2.3 ☆☆☆
De data asta nu există un singur răspuns bun: construiești tu un exemplu. Orice funcție care respectă ambele cerințe e corectă.
Cerință2.3.10 Centura galbenă
Dă un exemplu de funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctul (0, −3) și ale cărei valori cresc atunci când x crește.
Indicii
1Două condiții, două numere de fixat. Punctul (0, −3) e pe Oy: ce îți spune despre b?
2„Valorile cresc” vorbește despre semnul lui a. Alege orice număr cu semnul potrivit.
3Verifică exemplul tău: f(0) trebuie să dea −3, iar f(1) trebuie să fie mai mare decât f(0).
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.11 · 29 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Coeficientul lui x depinde aici de un număr necunoscut, m. Întrebarea devine o inecuație, ca la Lecția 4.
Cerință2.3.11 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (m − 3)x + 1, unde m este un număr real. Determină valorile lui m pentru care valorile funcției scad atunci când x crește.
Indicii
1Cine e coeficientul lui x aici? Nu e un număr, e o expresie cu m.
2Valorile scad când coeficientul lui x e negativ. Scrie condiția ca inecuație.
3m − 3 < 0 se rezolvă ca orice inecuație de gradul I. Nu uita: 3 nu intră în soluție (acolo a = 0, funcția e constantă).
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.12 · 30 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Când ia o funcție ax + b aceeași valoare pentru orice x? Gândește-te la ce face a.
Cerință2.3.12 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m + 1)x + 3, unde m este un număr real. Determină m astfel încât funcția să ia aceeași valoare pentru orice x.
Indicii
1O funcție care dă mereu aceeași valoare nu „simte” pe x. Ce parte a formulei trebuie să dispară?
2Partea cu x dispare când coeficientul ei e 0. Scrie 2m + 1 = 0.
3Când treci 1 dincolo, schimbă-i semnul, apoi împarte la 2. Verifică: pune m-ul găsit în 2m + 1 și vezi dacă iese 0.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.3 · 31 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Tăietura cu Ox, cu variante de ales. Atenție: una dintre ele e tăietura cu Oy, pusă acolo ca momeală.
Cerință2.4.3 Centura galbenă
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −4x + 10, intersectează axa Ox în punctul:
Indicii
1Pe Ox valoarea funcției e 0. Scrie ecuația −4x + 10 = 0.
2Când treci 10 dincolo, schimbă-i semnul. Ce ecuație îți rămâne? Apoi împarți la coeficientul lui x, cu semnul lui cu tot.
3Trei variante au ordonata 0, cum are orice punct de pe Ox. Nu te lua nici după semn, nici după termenul liber: abscisa bună iese numai din ecuația −4x + 10 = 0.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.4 · 32 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Ambele tăieturi deodată. Sunt exact punctele pe care le-ai alege ca să desenezi graficul.
Cerință2.4.4 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 12. Determină coordonatele punctelor A și B în care graficul funcției intersectează axa Ox, respectiv axa Oy.
Indicii
1Două axe, două condiții: pe Ox, f(x) = 0; pe Oy, x = 0. Nu le încurca.
2Pentru A rezolvă −3x + 12 = 0. Pentru B calculează f(0): e mai ușor, citești b.
3A are ordonata 0 și B are abscisa 0. Dacă ți-au ieșit invers, le-ai schimbat între ele.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.5 · 33 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Coeficient fracționar, dar metoda e aceeași. La final ai două puncte gata de desenat.
Cerință2.4.5 Centura galbenă
Determină punctele în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x/3 − 5, taie axele de coordonate, apoi trasează graficul folosind aceste două puncte.
Indicii
1Pentru Ox: f(x) = 0. Pentru Oy: x = 0. Începe cu cea mai ușoară, Oy.
2La 5x/3 − 5 = 0, treci −5 dincolo și apoi scapă de numitor înmulțind cu 3.
3După ce ai scăpat de numitor, împarte la coeficientul lui x. Verifică: pune abscisa găsită în formulă; trebuie să dea 0.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.6 · 34 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Semne negative peste tot. Lucrează încet și verifică la final că punctele chiar stau pe axe.
Cerință2.4.6 Centura galbenă
Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −x/4 − 3, taie axele de coordonate.
Indicii
1Începe cu Oy, e cea ușoară: f(0) e termenul liber.
2Pentru Ox: −x/4 − 3 = 0. Treci −3 dincolo ca +3; apoi ai −x/4 = 3.
3Ca să scapi și de fracție, și de minus deodată, înmulțește ambii membri cu −4.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.7 · 35 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Încă o dată ambele tăieturi, pentru o funcție cu coeficienți pozitivi. Observă unde cade punctul de pe Ox.
Cerință2.4.7 Centura galbenă
Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 6, taie axele de coordonate.
Indicii
1Pe Ox pui f(x) = 0; pe Oy pui x = 0.
2La 2x + 6 = 0, termenul 6 trece dincolo ca −6. Abscisa iese negativă: e în regulă, dreapta urcă și taie Ox la stânga.
3Pe Oy nu ai nimic de rezolvat: f(0) e termenul liber.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.8 · 36 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Două întrebări despre aceeași funcție: întâi calculezi valori, apoi cauți x-ul la care valoarea e 0. A doua îți dă chiar abscisa punctului în care dreapta taie axa Ox.
Cerință2.4.8 Centura galbenă
Se dă funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 5.
a) Calculează f(3).
b) Calculează f(−4).
c) Determină numărul real x pentru care f(x) = 0.
Indicii
1La a) și b) pui numerele în locul lui x. La −4, paranteze.
2La c) nu știi x, știi valoarea: 0. Scrie 2x + 5 = 0.
3Când treci 5 dincolo, schimbă-i semnul. Împarte apoi la 2 și verifică: pune rezultatul în formulă și vezi dacă iese 0.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.4 · 37 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Interval închis la stânga și deschis la dreapta: un capăt se desenează plin, celălalt gol. Care e care?
Cerință2.5.4 Centura galbenă
Se consideră funcția f : [−2, 3) → ℝ, f(x) = −2x + 1.
a) Calculează f(−2).
b) Aplicând legea funcției și în capătul 3, află unde se termină figura și precizează care dintre cele două capete ale ei aparține graficului.
Indicii
1La a), pune −2 în paranteze: −2 · (−2) + 1.
2Parantezele intervalului [−2, 3): pătrată la stânga, rotundă la dreapta. Ce înseamnă fiecare pentru capăt?
3Calculează și ce ar da formula în 3, ca să știi unde se termină desenul; dar punctul acela se desenează gol.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.5 · 38 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Domeniul are un capăt la stânga, dar la dreapta merge la nesfârșit. Ce figură are un singur capăt?
Cerință2.5.5 Centura galbenă
Se consideră funcția f : [1, +∞) → ℝ, f(x) = 3x − 2.
a) Ce figură este graficul funcției?
b) Determină originea acestei figuri.
Indicii
1Are intervalul [1, +∞) un capăt în dreapta? Simbolul +∞ nu e un număr.
2O bucată de dreaptă cu un singur capăt are un nume din clasa a VI-a.
3Capătul figurii e la x = 1. Calculează f(1) ca să-i afli ordonata.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.6 · 39 din 66 · 2.5 ☆☆☆
De data asta domeniul e un interval cu paranteze rotunde la ambele capete. Ce se schimbă la desen?
Cerință2.5.6 Centura galbenă
Se consideră funcția f : (1, 5) → ℝ, f(x) = −x + 6.
a) Ce figură este graficul funcției?
b) Care sunt capetele acestei figuri?
c) Aparțin capetele graficului?
Indicii
1Domeniul e un interval mărginit: ce figură dă?
2Capetele figurii sunt la x = 1 și x = 5; calculează f în fiecare, ca să știi unde se oprește desenul.
3La c): parantezele sunt rotunde, deci 1 și 5 nu sunt în domeniu. Cum desenezi atunci capetele?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.7 · 40 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Domeniul e dat printr-o proprietate a elementelor, ca la lecția despre mulțimi, iar din interval păstrezi doar numerele întregi, ca la lecția despre intervale. Scrie-l întâi element cu element.
Cerință2.5.7 Centura galbenă
Se consideră funcția f : D → ℝ, f(x) = −x + 3, unde D = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 2}.
a) Scrie elementele mulțimii D.
b) Scrie graficul funcției ca mulțime de perechi.
Indicii
1Scrie întâi numerele întregi de la −2 până la 2, apoi verifică fiecare capăt: ≤ la stânga, < la dreapta.
2Pentru fiecare element al lui D calculează f. La numerele negative, −x devine pozitiv.
3Graficul are exact atâtea perechi câte elemente are D.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.5.8 · 41 din 66 · 2.5 ☆☆☆
O rampă adevărată are un început și un sfârșit. De aceea domeniul este [0, 6], nu tot ℝ.
Cerință2.5.8 Centura galbenă
O rampă de încărcare pentru camioane are lungimea orizontală de 6 metri. Înălțimea ei deasupra solului, la distanța x metri de capătul de jos, este dată de f : [0, 6] → ℝ, f(x) = x/4.
a) Determină capetele graficului în planul xOy.
b) La ce înălțime ajunge rampa la capătul de sus?
Indicii
1Rampa începe la x = 0 și se termină la x = 6. Calculează f în amândouă.
26/4 se simplifică. Scrie-l ca fracție ireductibilă sau ca zecimal, cum vrei.
3Înălțimea de la capătul de sus e a doua coordonată a capătului din dreapta.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 · 42 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Înainte să trecem mai departe, o afirmație despre dreaptă și cele două numere din formulă. Tu spui dacă e adevărată și, oricum ar fi, dai un exemplu sau un contraexemplu.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 Centura galbenă
Adevărat sau fals? „Dacă graficul unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, trece prin originea O(0, 0), atunci a = 0.” Justifică printr-un exemplu sau printr-un contraexemplu.
Indicii
1Ce înseamnă, pentru formulă, că graficul trece prin origine? Pune x = 0.
2Condiția obținută vorbește despre b. Afirmația vorbește despre a. Nu e același lucru.
3Caută o funcție cu b = 0 și a oricare, diferit de 0. Trece prin O? Atunci ai contraexemplul.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 · 43 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Toată noțiunea într-un singur exercițiu: tăieturile cu axele, direcția dreptei și testul unui punct. Dacă îl poți face cap-coadă, ideea s-a legat.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 6.
a) Determină punctele în care graficul taie axele de coordonate.
b) Dreapta urcă sau coboară de la stânga la dreapta?
c) Verifică dacă punctul M(4, −2) aparține graficului.
Indicii
1La a), două condiții: f(x) = 0 pentru Ox, x = 0 pentru Oy.
2La b), nu desena: uită-te la semnul coeficientului lui x.
3La c), pune 4 în formulă și compară cu −2.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 · 44 din 66 · 2.5 ☆☆☆
Aceeași lege, trei domenii. Formula nu se schimbă deloc; desenul, da. Asta e ultima piesă a noțiunii.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 Centura galbenă
Legea f(x) = x − 1 este dată pe trei domenii diferite: f₁ : ℝ → ℝ, f₂ : [0, 3] → ℝ și f₃ : {0, 1, 2} → ℝ. Pentru fiecare, precizează ce figură este graficul și scrie capetele ei (pentru f₂), respectiv punctele ei (pentru f₃).
Indicii
1Nu te uita la formulă, e aceeași de trei ori. Uită-te la domeniu: ℝ, un interval, o mulțime finită.
2Pentru f₂, capetele sunt la x = 0 și x = 3: calculează f în fiecare.
3Pentru f₃, câte elemente are domeniul? Atâtea puncte are graficul, și nu le unești.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.1.7 · 45 din 66 · 2.1 ☆☆☆
Cineva a desenat graficul, dar a pus un punct anapoda. Faci tu pe profesorul: găsește intrusul și spune cum trebuia să fie.
Cerință2.1.7 Centura verde
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 5.
a) Calculează f(0) și f(4) și scrie coordonatele celor două puncte prin care trasezi graficul funcției.
b) Un coleg a marcat în planul xOy punctele P(1, 3), Q(2, 1) și R(3, 0) și le-a unit, spunând că a obținut graficul funcției f. Arată că unul dintre cele trei puncte nu aparține graficului.
c) Scrie ordonata pe care ar fi trebuit să o aibă acel punct.
Indicii
1La a), pune 0 și apoi 4 în locul lui x. Scrie punctele ca (x, f(x)).
2La b), nu te uita la desen, verifică prin calcul: pentru fiecare punct, calculează f în abscisa lui și compară cu ordonata.
3Ordonatele colegului scad (3, 1, 0), deci „pare” corect. Dar scad cu cât? De la x la x + 1, f trebuie să scadă mereu cu același număr.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.3.13 · 46 din 66 · 2.3 ☆☆☆
Două rampe pornesc din același loc. Sunt mai abrupte decât rampele adevărate, să zicem, ca să se vadă bine diferența dintre ele. Care urcă mai abrupt se vede din a, dar aici a e fracție și trebuie să compari fracții. La final afli și unde ajunge una cu 3 metri deasupra celeilalte.
Cerință2.3.13 Centura verde
Două rampe pornesc de la aceeași înălțime. Înălțimile lor, în metri, la distanța x metri de start, sunt f(x) = x/5 + 1 și g(x) = x/2 + 1, cu x număr real, x ≥ 0.
a) Determină înălțimea comună de pornire.
b) Care rampă urcă mai repede? Justifică.
c) La ce distanță de start rampa g este cu 3 metri mai sus decât rampa f?
Indicii
1Înălțimea de pornire e la x = 0. Calculează f(0) și g(0).
2La b), compară 1/5 cu 1/2 aducându-le la același numitor. Nu te lua după numitorul mai mare.
3La c), diferența g(x) − f(x) trebuie să fie 3: x/2 − x/5 = 3. Numitorul comun e 10.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.9 · 47 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Un matematician nu crede o afirmație doar pentru că „de obicei” e adevărată. Dacă găsește un singur exemplu care o contrazice, afirmația e falsă. Exemplul acela se numește contraexemplu.
Cerință2.4.9 Centura verde
Este adevărată afirmația: „Graficul oricărei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere reale oarecare (inclusiv a = 0), intersectează axa Ox”? Justifică răspunsul.
Indicii
1Afirmația spune „oricare”. Ca s-o dărâmi, îți ajunge o singură funcție care n-o respectă.
2Ce fel de dreaptă nu ajunge niciodată la axa Ox? Gândește-te la direcția ei.
3Enunțul îți permite a = 0. Ia o funcție constantă, diferită de 0, și încearcă să rezolvi f(x) = 0.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Exercițiul 2.4.10 · 48 din 66 · 2.4 ☆☆☆
Dreapta și cele două axe închid un triunghi. Ca la subiectul III de la Evaluarea Națională: tăieturile, apoi aria și perimetrul.
Cerință2.4.10 Centura verde
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x/4 + 3. Graficul funcției intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B, iar O este originea reperului.
a) Determină coordonatele punctelor A și B.
b) Calculează aria triunghiului OAB.
c) Calculează perimetrul triunghiului OAB.
Indicii
1Tăieturile se află ca de obicei: pe Ox f(x) = 0, pe Oy x = 0. La prima, scapă de numitor înmulțind cu 4.
2Ce fel de unghi au axele între ele? Triunghiul OAB are un unghi drept în O, iar catetele sunt pe axe.
3Pentru AB îți trebuie teorema lui Pitagora: catetele sunt lungimile OA și OB, pe care le ai de la a). Apoi adună cele trei laturi.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivelul 3 din 6
Centura verde
Subiectul III de la Evaluarea Națională.
Probleme care cer raționament, nu doar calcul.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 49 din 66
Centura verde
Triunghiul care se schimbă după m
Trage de m pe desen și uită-te la triunghiul dintre dreaptă și axe: un vârf stă pe loc, pe axa Oy, iar celălalt alunecă pe Ox. Triunghiul se lățește sau se îngustează, dar rămâne mereu dreptunghic în O. Azi îi ceri două lucruri, pe rând: o arie anume și o formă anume. Înainte să calculezi, ghicește din desen: pentru aria 16, m e aproape de 0 sau departe de 0?
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrii totul în funcție de m: catetele, apoi aria. Fiecare cerință devine o ecuație în m.
CerințăProblema 49 din 66 Centura verde
Pentru m < 0, graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 4 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B; O este originea reperului.
a) Determină m pentru care aria triunghiului OAB este 16.
b) Determină m pentru care triunghiul OAB este isoscel.
Experimentează pe grafic
Mută m și urmărește aria și cele două catete. Unde devin catetele egale?
Laborator interactiv: Mută m și urmărește aria și cele două catete. Unde devin catetele egale?
Indicii
1B nu depinde de m: calculează f(0). Pentru A, rezolvă ecuația mx + 4 = 0.
2Lungimile catetelor sunt OA și OB. Atenție: m e negativ, deci abscisa lui A e pozitivă, iar OA = −4/m. Aria e OA · OB / 2.
3Pentru b), gândește-te care două laturi pot fi egale într-un triunghi dreptunghic: ipotenuza poate fi egală cu o catetă?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 50 din 66
Centura verde
Cât de aproape trece drumul de casă
Un drum drept trece pe lângă o casă. În ce loc al drumului ești cel mai aproape de ea? Pe hartă, casa e originea O, iar drumul e graficul unei funcții. Plimbă punctul M pe drum și urmărește distanța OM: ghicește unde e cea mai mică. Apoi calculează exact, cu un truc pe care îl știi din clasa a VII-a: aria aceluiași triunghi, scrisă în două feluri.
Ideea problemei
Ideea problemei: Aria unui triunghi dreptunghic se scrie și cu cele două catete, și cu ipotenuza și înălțimea dusă pe ea. Egalezi cele două scrieri.
CerințăProblema 50 din 66 Centura verde
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −4x/3 + 8 intersectează axa Ox în punctul A și axa Oy în punctul B; O este originea reperului.
a) Determină coordonatele punctelor A și B și lungimea segmentului AB.
b) Calculează distanța de la punctul O la dreapta AB.
Experimentează pe grafic
Plimbă punctul M pe dreaptă și urmărește distanța OM. Unde pare cea mai mică?
Laborator interactiv: Plimbă punctul M pe dreaptă și urmărește distanța OM. Unde pare cea mai mică?
Indicii
1Pentru A pui f(x) = 0; pentru B calculezi f(0).
2Triunghiul OAB este dreptunghic în O, deci AB se află cu teorema lui Pitagora.
3Scrie aria triunghiului de două ori: o dată cu catetele, o dată ca AB · d / 2, unde d este distanța căutată. Egalează.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 51 din 66
Centura verde
Puncte egal depărtate de cele două axe
Distanța unui punct (x, y) până la axa Oy este |x|, iar până la axa Ox este |y|. Plimbă punctul pe grafic și uită-te la cele două distanțe din panou: când sunt egale? Liniile punctate de pe desen te pot ajuta să ghicești. Apoi modulul te obligă să cercetezi două cazuri, și e bine așa: nu știi dinainte câte puncte vei găsi.
Ideea problemei
Ideea problemei: |x| = |y| înseamnă y = x sau y = −x: punctele căutate sunt pe una dintre cele două bisectoare ale axelor.
CerințăProblema 51 din 66 Centura verde
Determină punctele graficului funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 15, care se află la aceeași distanță de axa Ox și de axa Oy.
Experimentează pe grafic
Plimbă punctul pe grafic. Liniile punctate sunt y = x și y = −x.
Laborator interactiv: Plimbă punctul pe grafic. Liniile punctate sunt y = x și y = −x.
Indicii
1Scrie condiția: |x| = |f(x)|, adică |x| = |4x − 15|.
2Două numere au același modul când sunt egale sau opuse: 4x − 15 = x sau 4x − 15 = −x.
3Rezolvă fiecare ecuație, apoi calculează ordonata fiecărui punct și verifică distanțele.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 52 din 66
Centura verde
Trapezul de sub grafic
Uită-te la peretele lateral al unei case cu acoperișul înclinat într-o singură parte: e un trapez dreptunghic. Dacă marginea acoperișului e o dreaptă, înălțimile peretelui la cele două capete sunt chiar valorile funcției acolo. Pe desen mută linia verticală și urmărește cele două arii: ghicește unde o pui ca partea din stânga să fie cam jumătate din dreapta.
Ideea problemei
Ideea problemei: Bazele trapezului sunt valorile funcției la capetele intervalului, iar înălțimea lui e lungimea intervalului.
CerințăProblema 52 din 66 Centura verde
Se consideră funcția f : [0, 4] → ℝ, f(x) = x/2 + 2. Graficul funcției, axa Ox și dreptele verticale x = 0 și x = 4 mărginesc un trapez.
a) Calculează aria trapezului.
b) Dreapta verticală x = 2 împarte trapezul în două trapeze. Calculează raportul dintre aria trapezului din stânga și aria trapezului din dreapta.
Experimentează pe grafic
Trage de c, abscisa dreptei verticale x = c, și compară din ochi cele două bucăți colorate: care e mai mare și cam de câte ori? Ariile le calculezi tu; după răspuns le vezi scrise sub desen.
Laborator interactiv: Trage de c, abscisa dreptei verticale x = c, și compară din ochi cele două bucăți colorate: care e mai mare și cam de câte ori? Ariile le calculezi tu; după răspuns le vezi scrise sub desen.
Indicii
1Bazele trapezului sunt f(0) și f(4); înălțimea este lungimea intervalului [0, 4].
2Aria trapezului = (baza mare + baza mică) · înălțimea / 2.
3Pentru b), calculează întâi f(2): e baza comună a celor două trapeze mici.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 53 din 66
Centura verde
Pasul de 2
Știi de la micro-noțiunea 1.1 că la un pas de 1 valoarea unei funcții ax + b se schimbă exact cu a. Ghicește, înainte de orice calcul: ce se întâmplă la un pas de 2? Pe desen reglează a și b și urmărește cele două condiții din panou; una dintre ele îți dă a dintr-o privire.
Ideea problemei
Ideea problemei: f(x + 2) − f(x) = 2a, oricare ar fi x. De aici afli a; a doua condiție îți dă b.
CerințăProblema 53 din 66 Centura verde
Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitatea f(x + 2) − f(x) = 6, pentru orice număr real x, și egalitatea f(0) + f(1) = 9.
a) Determină funcția f.
b) Calculează f(10).
Experimentează pe grafic
Reglează a și b și urmărește cele două condiții.
Laborator interactiv: Reglează a și b și urmărește cele două condiții.
Indicii
1Calculează f(x + 2) − f(x) cu formula: termenii cu x și termenul b se reduc.
2Din 2a = 6 afli a. Apoi scrie f(0) + f(1) cu a cunoscut.
3Rămâne o ecuație de gradul I în b.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 54 din 66
Centura verde
Triunghiuri cu arie întreagă
Dreapta y = mx + 10 trece mereu prin (0, 10), ca o ușă care se rotește în balama. La fiecare înclinare, ea taie din colțul reperului un triunghi a cărui arie depinde doar de m. Mută m pe desen și uită-te în panou: pentru unele valori aria e număr natural, pentru altele nu. Ghicește câte valori întregi ale lui m sunt „bune”, apoi numără-le exact.
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrie aria cu ajutorul lui m. Apoi întreabă-te: când e o fracție cu numărătorul fix un număr natural? Și nu uita că m poate fi și negativ.
CerințăProblema 54 din 66 Centura verde
Pentru fiecare număr întreg nenul m, graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + 10 formează cu axele de coordonate un triunghi. Câte numere întregi nenule m fac ca aria acestui triunghi să fie un număr natural?
Experimentează pe grafic
Mută m și urmărește aria triunghiului.
Laborator interactiv: Mută m și urmărește aria triunghiului.
Indicii
1Triunghiul are vârfurile O, (0, 10) și punctul în care graficul taie axa Ox. Află-l în funcție de m.
2Tăietura cu Ox e x = −10/m, deci o catetă are lungimea 10/|m| (lungimea e pozitivă, de aceea apare modulul). Scrie aria.
3Aria e o fracție cu numărătorul 50. Când e număr natural? Și câte valori ale lui m dă fiecare valoare bună a lui |m|?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 55 din 66
Centura verde
Cel mai mare dreptunghi sub o dreaptă înclinată
Un tâmplar vrea să taie dintr-o placă în formă de triunghi dreptunghic un raft dreptunghiular cât mai mare, cu două laturi pe marginile drepte ale plăcii. Al patrulea colț trebuie să atingă marginea înclinată. Pe desen mută colțul P și urmărește aria: ghicește cât de lat să fie raftul. Apoi arată că nu se poate mai mult.
Ideea problemei
Ideea problemei: Aria se scrie ca „un număr fix minus un pătrat”. Un pătrat nu poate fi negativ, deci aria cea mai mare se obține când pătratul e 0.
CerințăProblema 55 din 66 Centura verde
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 8 formează cu axele de coordonate un triunghi. Un dreptunghi are un vârf în originea O, două laturi pe axele de coordonate, iar al patrulea vârf, P(x, f(x)), pe graficul lui f, cu 0 < x < 4.
a) Arată că aria dreptunghiului este 8 − 2(x − 2)².
b) Determină cea mai mare arie posibilă și coordonatele punctului P pentru care se obține.
Experimentează pe grafic
Mută colțul P pe marginea înclinată și urmărește aria dreptunghiului.
Laborator interactiv: Mută colțul P pe marginea înclinată și urmărește aria dreptunghiului.
Indicii
1Dreptunghiul are lățimea x și înălțimea f(x).
2Aria = x(−2x + 8). Pornește de la 8 − 2(x − 2)², desfă pătratul și compară.
3Un pătrat nu e niciodată negativ. Când e 2(x − 2)² cel mai mic?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivelul 4 din 6
Centura albastră
Dincolo de examen: o idee ascunsă.
De aici încep problemele pentru pasionați. Nimic nu e blocat și nimic nu se pierde: încerci, deschizi indiciile pe rând, iar fiecare idee găsită singur e a ta.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 56 din 66
Centura albastră
Dreptele care se rotesc în jurul unui punct
Trage de cursorul m de pe desen și uită-te la dreaptă: se rotește, dar parcă e prinsă într-un cui. Ghicește unde stă cuiul, apoi vine partea grea: să demonstrezi că toate dreptele, pentru orice m, chiar trec pe acolo. Știi deja că b hotărăște unde taie dreapta axa Oy; aici însă și a, și b depind de același număr m.
Ideea problemei
Ideea problemei: Un punct comun tuturor dreptelor nu are voie să depindă de m. Grupează termenii cu m: fm(x) = m · (ceva cu x) + (restul). Pentru ce x se anulează paranteza de lângă m?
CerințăProblema 56 din 66 Centura albastră
Pentru fiecare număr real m se consideră funcția fm : ℝ → ℝ, fm(x) = (m − 1)x + 2m + 3. Arată că graficele tuturor acestor funcții trec printr-un același punct și determină coordonatele acestui punct.
Experimentează pe grafic
Mută m. Linia subțire rămâne din pozițiile anterioare: prin ce punct trec toate?
Laborator interactiv: Mută m. Linia subțire rămâne din pozițiile anterioare: prin ce punct trec toate?
Indicii
1Punctul căutat e același pentru m = 0, m = 1, m = 2… Scrie f₀, f₁ și f₂ și caută-le punctul comun. Apoi va trebui să arăți că și toate celelalte drepte trec prin el.
2Desfă parantezele și adună separat termenii care îl conțin pe m și cei care nu îl conțin: fm(x) = m · (…) + (…).
3Un punct nu depinde de m dacă paranteza de lângă m devine 0. Pentru ce x se întâmplă asta? Calculează apoi valoarea funcției chiar acolo.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 57 din 66
Centura albastră
Colțurile de pătrățel de pe grafic
Ia o foaie de matematică și trage o dreaptă la întâmplare: prin câte colțuri de pătrățel trece? Uneori prin multe, alteori prin niciunul. Pe desen vezi doar o bucată din graficul nostru, până la x = 20, cu colțurile prinse marcate. Uită-te la distanța dintre ele și ghicește o regulă; apoi numără-le pe toate, de la −10 la 50, fără să le desenezi. Divizibilitatea din clasele a V-a și a VI-a face toată treaba.
Ideea problemei
Ideea problemei: Dacă găsești un x bun, îl poți muta cu un pas fix și rămâne bun. Așa numeri fără să încerci fiecare număr în parte.
CerințăProblema 57 din 66 Centura albastră
Se consideră funcția f : [−10, 50] → ℝ, f(x) = (3x − 2)/5. Câte puncte ale graficului funcției au ambele coordonate numere întregi?
Experimentează pe grafic
Aici vezi doar o parte a graficului, până la x = 20. Colțurile de pătrățel de pe dreaptă sunt marcate. Ce regularitate observi?
Laborator interactiv: Aici vezi doar o parte a graficului, până la x = 20. Colțurile de pătrățel de pe dreaptă sunt marcate. Ce regularitate observi?
Indicii
1Abscisa x trebuie să fie număr întreg, iar 3x − 2 trebuie să se împartă exact la 5.
2Încearcă x = 0, 1, 2, 3, 4. Pentru care dintre ele 3x − 2 e multiplu de 5? Apoi întreabă-te: dacă aduni 5 la x, cu cât se schimbă 3x − 2?
3Toți x buni stau la o distanță multiplu de 5 de primul x bun găsit. Scrie-i ca pe un șir și numără-i pe cei din intervalul [−10, 50], cu capetele incluse.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 58 din 66
Centura albastră
Funcții cu coeficienți întregi
Când a și b trebuie să fie numere întregi, o problemă de funcții își schimbă caracterul: nu mai cauți „un număr”, ci cauți printre puține numere posibile. Graficul trebuie să treacă prin (1, 7) și să taie axa Ox „frumos”, într-un număr întreg pozitiv. Pe desen alege diferite valori întregi ale lui a și uită-te unde cade tăietura. Câte alegeri bune crezi că există? Ghicește, apoi demonstrează.
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrii b cu ajutorul lui a, apoi abscisa tăieturii ca o fracție. Ca fracția să fie număr întreg, numitorul trebuie să dividă numărătorul.
CerințăProblema 58 din 66 Centura albastră
Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi, al căror grafic trece prin punctul (1, 7) și intersectează axa Ox într-un punct cu abscisa număr întreg strict pozitiv.
a) Câte astfel de funcții există?
b) Scrie funcția al cărei grafic intersectează axa Ox cel mai aproape de origine.
Experimentează pe grafic
Alege a (întreg); b se calculează singur din condiția ca graficul să treacă prin (1, 7). Uită-te unde cade tăietura cu Ox și când e „frumoasă”.
Laborator interactiv: Alege a (întreg); b se calculează singur din condiția ca graficul să treacă prin (1, 7). Uită-te unde cade tăietura cu Ox și când e „frumoasă”.
Indicii
1Din (1, 7) pe grafic: a + b = 7, deci b = 7 − a. Observă și că a ≠ 0, altfel graficul nu taie axa Ox.
2Scrie abscisa tăieturii cu Ox rezolvând ax + 7 − a = 0 și adu rezultatul la forma 1 − (ceva)/a. Când este un număr întreg?
3Un întreg nenul a îl divide pe 7 doar în patru feluri. Verifică pentru fiecare dacă abscisa iese strict pozitivă; nu toți trec proba.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 59 din 66
Centura albastră
Trei case și o cutie poștală
Trei case stau de-a lungul unui drum drept, la kilometrii 1, 4 și 10. Poșta vrea să pună o singură cutie poștală pe drum, astfel încât suma drumurilor celor trei familii până la ea să fie cât mai mică. Pe desen mută cutia și urmărește suma: ghicește unde se oprește cel mai bine. Apoi demonstrează; pe fiecare bucată a drumului, suma e o funcție de forma ax + b.
Ideea problemei
Ideea problemei: Pe fiecare interval dintre case, modulele se scot cu semn cunoscut și suma devine de forma ax + b. Minimul e acolo unde bucățile trec de la coborâre la urcare.
CerințăProblema 59 din 66 Centura albastră
Pentru fiecare număr real x se consideră E(x) = |x − 1| + |x − 4| + |x − 10|.
a) Arată că, pentru x ∈ [4, 10], avem E(x) = x + 5.
b) Determină cea mai mică valoare a lui E(x) și numărul x pentru care se obține.
Experimentează pe grafic
Mută cutia poștală pe drum și urmărește suma distanțelor.
Laborator interactiv: Mută cutia poștală pe drum și urmărește suma distanțelor.
Indicii
1Pe [4, 10]: x − 1 ≥ 0, x − 4 ≥ 0 și x − 10 ≤ 0. Scoate modulele cu semnul potrivit.
2Fă la fel pe (−∞, 1], pe [1, 4] și pe [10, +∞). Pe fiecare bucată obții o funcție de forma ax + b.
3Pe care bucăți scade E și pe care crește? Minimul e acolo unde coborârea se oprește.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 60 din 66
Centura albastră
Pătratul din triunghi
Într-un triunghi poți așeza un pătrat cu o latură pe bază și cu celelalte două vârfuri pe laturile triunghiului. Pe desen schimbă latura pătratului: un vârf rămâne mereu pe prima dreaptă, iar celălalt caută a doua dreaptă. Ghicește latura la care se potrivește exact, apoi afl-o cu două funcții și puțină atenție la coordonate.
Ideea problemei
Ideea problemei: Vârfurile de sus ale pătratului au aceeași ordonată, egală cu latura s. Fiecare dintre ele e pe câte un grafic: de aici vine o ecuație în s.
CerințăProblema 60 din 66 Centura albastră
Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x și g(x) = −x + 6 formează cu axa Ox triunghiul OAB, unde A este punctul lor comun, iar B este punctul în care graficul lui g intersectează axa Ox. Pătratul PQRS are latura PQ pe segmentul OB, vârful S pe graficul lui f și vârful R pe graficul lui g. Determină lungimea laturii pătratului.
Experimentează pe grafic
Schimbă latura pătratului. Vârful S rămâne pe graficul lui f. Când ajunge și R pe graficul lui g?
Laborator interactiv: Schimbă latura pătratului. Vârful S rămâne pe graficul lui f. Când ajunge și R pe graficul lui g?
Indicii
1Notează latura pătratului cu s. Vârfurile de sus, S și R, au ordonata s.
2S e pe graficul lui f: dacă S(p, s), atunci s = 2p. Iar R are abscisa p + s, pentru că RS e orizontală și are lungimea s.
3Scrie că R este pe graficul lui g și rezolvă ecuația în s.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 61 din 66
Centura albastră
O sumă care se strânge singură
O sută de triunghiuri, fiecare tăiat din colțul reperului de altă dreaptă. Aduni inversele ariilor lor. Pare o muncă de o zi, dar nu e: fiecare termen se desface într-o diferență și aproape totul se reduce. Pe desen alege n și urmărește suma de până la el; ghicește spre ce număr se apropie.
Ideea problemei
Ideea problemei: Descompune 1/(n(n + 1)) într-o diferență de două fracții mai simple. Apoi scrie suma și uită-te ce se taie.
CerințăProblema 61 din 66 Centura albastră
Pentru fiecare număr natural n ≥ 1, graficul funcției fn : ℝ → ℝ, fn(x) = −(n + 1)x/n + n + 1 formează cu axele de coordonate un triunghi cu aria An.
a) Arată că An = n(n + 1)/2.
b) Calculează S = 1/A₁ + 1/A₂ + … + 1/A₁₀₀.
Experimentează pe grafic
Alege n și urmărește triunghiul și suma calculată până la el.
Laborator interactiv: Alege n și urmărește triunghiul și suma calculată până la el.
Indicii
1fn(0) = n + 1, iar fn(x) = 0 dă x = n.
21/An = 2/(n(n + 1)). Poți scrie 1/(n(n + 1)) ca diferența a două fracții mai simple, cu numitorii n și n + 1?
3Scrie suma cu această descompunere: termenii din mijloc se reduc doi câte doi.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivelul 5 din 6
Centura maro
Două idei legate.
La centura maro, problemele cer mai multe idei legate între ele. Ia-o încet, cu hârtie și creion; graficul de lângă fiecare problemă te ajută să vezi.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura maro – problema 62 din 66
Centura maro
Cel mai mic triunghi printr-un punct
Imaginează-ți colțul unei plăci de lemn, cu un cui bătut în punctul P(6, 3). Tai placa în linie dreaptă, trecând prin cui, și desprinzi din colț un triunghi. Cum înclini tăietura ca triunghiul să fie cât mai mic? Pe desen rotește tăietura în jurul cuiului și urmărește aria: vei găsi repede un candidat. Greul abia începe: să arăți că nicio altă înclinare nu dă mai puțin.
Ideea problemei
Ideea problemei: Aria se scrie ca o sumă în care un termen crește cu k și celălalt scade. Minimul îl dă un pătrat care nu poate fi negativ, cu formulele de calcul prescurtat de la Lecția 6.
CerințăProblema 62 din 66 Centura maro
O dreaptă trece prin punctul P(6, 3) și intersectează semiaxa pozitivă Ox în A și semiaxa pozitivă Oy în B. Dreapta este graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = mx + n, cu m < 0; notăm k = −m.
a) Arată că aria triunghiului OAB este 18 + 18k + 9/(2k).
b) Determină cea mai mică valoare posibilă a ariei și funcția f pentru care se obține.
Experimentează pe grafic
Rotește tăietura în jurul cuiului P și urmărește aria. Unde pare cea mai mică?
Laborator interactiv: Rotește tăietura în jurul cuiului P și urmărește aria. Unde pare cea mai mică?
Indicii
1Din P ∈ Gf: 3 = 6m + n, deci n = 3 − 6m = 3 + 6k. Acesta este chiar OB.
2Pentru A, rezolvă −kx + n = 0 și scrie OA ca 6 + (ceva)/k. Apoi înmulțește OA · OB, împarte la 2 și desfă parantezele.
3Pentru minim, uită-te doar la partea care depinde de k, 18k + 9/(2k). De pe desen bănuiești sub ce număr nu coboară; numește-l M. Scrie diferența 18k + 9/(2k) − M ca o singură fracție. Ce fel de număr e numărătorul?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura maro – problema 63 din 66
Centura maro
Un punct se plimbă prin triunghi
Un punct M se plimbă prin interiorul unui triunghi și formează, cu două dintre vârfuri, un alt triunghi, mai mic. Aria lui se schimbă după cum muți M. Pe desen atinge colțuri de pătrățel din interior și citește aria. Caută întâi o regulă, de exemplu ce se întâmplă cu aria când muți M cu un pătrățel la dreapta, apoi răspunde la întrebări.
Ideea problemei
Ideea problemei: Aria unui triunghi „oblic” se află scăzând din aria mare ariile a două triunghiuri cu câte o latură pe axe; înălțimile lor sunt chiar coordonatele lui M.
CerințăProblema 63 din 66 Centura maro
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x/4 + 6 intersectează axa Ox în A și axa Oy în B; O este originea reperului. Punctul M(x, y), cu ambele coordonate numere întregi, este situat strict în interiorul triunghiului OAB.
a) Arată că aria triunghiului MAB este un număr natural.
b) Pentru câte astfel de puncte M aria triunghiului MAB este divizibilă cu 5?
Experimentează pe grafic
Atinge un colț de pătrățel din interior: vezi aria triunghiului MAB pentru el. Încearcă mai multe. Ce observi când muți M cu un pătrățel?
Laborator interactiv: Atinge un colț de pătrățel din interior: vezi aria triunghiului MAB pentru el. Încearcă mai multe. Ce observi când muți M cu un pătrățel?
Indicii
1A(8, 0) și B(0, 6). Pentru M(x, y) din interior, triunghiul OAB se împarte în trei triunghiuri: OMA, OMB și MAB.
2Calculează ariile triunghiurilor OMA și OMB folosind coordonatele lui M ca înălțimi. Apoi scade-le din aria lui OAB.
3Punctele interioare întregi au x ≥ 1, y ≥ 1 și 3x + 4y < 24. Ia pe rând y = 1, …, 5 și caută x pentru care aria se împarte exact la 5.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura maro – problema 64 din 66
Centura maro
Punctele de sub diagonală
Pe o foaie de matematică, un dreptunghi de 13 pe 5 pătrățele are o diagonală trasă. Câte colțuri de pătrățel stau strict sub ea, în interiorul dreptunghiului? Le poți număra rând cu rând, și pe desen chiar poți apăsa pe cele pe care le crezi înăuntru. Dar există un drum mai scurt și mai frumos, care pleacă de la o întrebare simplă: trece diagonala prin vreun colț de pătrățel, în afară de capete?
Ideea problemei
Ideea problemei: Triunghiul e jumătate dintr-un dreptunghi. Dacă diagonala nu atinge niciun colț interior, cele două jumătăți împart colțurile interioare între ele; întreabă-te de ce ar lua fiecare exact jumătate.
CerințăProblema 64 din 66 Centura maro
Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −5x/13 + 5 intersectează axa Ox în A și axa Oy în B; O este originea reperului.
a) Arată că niciun punct al segmentului AB, în afară de A și B, nu are ambele coordonate numere întregi.
b) Câte puncte cu ambele coordonate numere întregi se află strict în interiorul triunghiului OAB?
Experimentează pe grafic
Apasă pe colțurile de pătrățel pe care le crezi strict în interiorul triunghiului. Contorul îți arată câte ai marcat și câte dintre ele sunt chiar înăuntru. Punctul P stă pe diagonala AB: trage-l (sau scrie-i abscisa x în panou) și uită-te la ordonata lui.
Laborator interactiv: Apasă pe colțurile de pătrățel pe care le crezi strict în interiorul triunghiului. Contorul îți arată câte ai marcat și câte dintre ele sunt chiar înăuntru. Punctul P stă pe diagonala AB: trage-l (sau scrie-i abscisa x în panou) și uită-te la ordonata lui.
Indicii
1Un punct al segmentului cu abscisa x întreagă, între 1 și 12, are ordonata 5 − 5x/13. Când e aceasta un număr întreg? Gândește-te la divizibilitatea cu 13.
2Completează triunghiul până la dreptunghiul cu vârfurile O, A(13, 0), C(13, 5), B(0, 5). Câte colțuri de pătrățel are dreptunghiul strict în interior? Și unde stă fiecare dintre ele: sub diagonală sau deasupra ei?
3Împerechează fiecare colț interior de sub diagonală cu un colț interior de deasupra ei, astfel încât perechile să acopere tot dreptunghiul. Ce mișcare a dreptunghiului face asta pentru toate punctele deodată?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivelul 6 din 6
Centura neagră
O zi pe o problemă.
Aici și profesorii stau o zi pe o problemă. Nu e nevoie pentru examen. Intră când vrei să vezi cât de departe poți merge.
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura neagră – problema 65 din 66
Centura neagră
Drepte prin rețeaua de 10 × 10
Ai o rețea de 10 × 10 puncte, ca un tablou de joc: toate punctele (x, y) cu x și y de la 1 la 10. Tragi drepte de forma y = ax + b, cu a și b numere întregi. Pe desen alege a și b și uită-te câte puncte ale rețelei prinde dreapta. Câte drepte prind cel puțin trei? E o numărătoare lungă, în care fiecare dreaptă trebuie numărată o singură dată. Ia hârtie și creion: aici stau și profesorii o zi.
Ideea problemei
Ideea problemei: Grupează dreptele după coeficientul a. O dreaptă cu cel puțin trei puncte în rețea are un „prim punct”, cel mai din stânga. Numără primele puncte posibile.
CerințăProblema 65 din 66 Centura neagră
Se consideră mulțimea R a punctelor (x, y), cu x, y ∈ {1, 2, …, 10}. Câte grafice ale funcțiilor f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi (a poate fi și 0), conțin cel puțin trei puncte din R?
Experimentează pe grafic
Alege coeficientul a și termenul liber b. Punctele verzi sunt punctele rețelei de pe dreaptă.
Laborator interactiv: Alege coeficientul a și termenul liber b. Punctele verzi sunt punctele rețelei de pe dreaptă.
Indicii
1Dacă |a| ≥ 5, trei puncte ale dreptei cu abscise consecutive au ordonatele la distanță de cel puțin 10. Mai încap în rețea?
2Simetria (x, y) → (x, 11 − y) păstrează rețeaua și schimbă coeficientul a în −a. Deci e de ajuns să numeri pentru a ≥ 0 și să dublezi partea cu a ≠ 0.
3Pentru a ≥ 1, numără dreptele după cel mai din stânga punct al lor din R. Ce condiții trebuie să îndeplinească acest punct ca să fie primul și ca dreapta să mai aibă încă două?
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura neagră – problema 66 din 66
Centura neagră
Opt case, ponderi diferite
Pe un drum drept stau opt case, la kilometrii 1, 2, …, 8. În casa de la kilometrul k locuiesc k oameni, iar fiecare om merge zilnic o dată până la fântână. Unde săpăm fântâna ca drumul total al tuturor oamenilor să fie cel mai scurt? Pe desen mută fântâna și urmărește drumul total. Nu mai merge răspunsul „casa din mijloc”: casele mai populate trag fântâna spre ele. Ghicește spre care kilometru, apoi demonstrează.
Ideea problemei
Ideea problemei: Pe fiecare interval dintre două case, E(x) e de forma px + q. Urmărește semnul lui p de la un interval la altul: unde trece de la minus la plus?
CerințăProblema 66 din 66 Centura neagră
Pentru fiecare număr real x se consideră E(x) = |x − 1| + 2|x − 2| + 3|x − 3| + … + 8|x − 8|. Determină cea mai mică valoare a lui E(x) și numărul x pentru care se obține.
Experimentează pe grafic
Mută fântâna pe drum și urmărește drumul total al tuturor oamenilor.
Laborator interactiv: Mută fântâna pe drum și urmărește drumul total al tuturor oamenilor.
Indicii
1Pe [n, n + 1], pentru k ≤ n avem |x − k| = x − k, iar pentru k > n avem |x − k| = k − x.
2Pe fiecare astfel de interval, E(x) e de forma px + q. Cum depinde p de numărul oamenilor din casele din stânga și din dreapta lui x?
3E scade pe intervalele unde p < 0 și crește unde p > 0. Pentru ce n își schimbă p semnul? Nu uita intervalele (−∞, 1] și [8, +∞).
Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
bilanțul
„Graficul este o dreaptă”: seria gata
- 2.1 ☆☆☆ 0 din 7 corecte în seria aceasta (7 nefăcute)
- 2.2 ☆☆☆ 0 din 7 corecte în seria aceasta (7 nefăcute)
- 2.3 ☆☆☆ 0 din 14 corecte în seria aceasta (14 nefăcute)
- 2.4 ☆☆☆ 0 din 11 corecte în seria aceasta (11 nefăcute)
- 2.5 ☆☆☆ 0 din 9 corecte în seria aceasta (9 nefăcute)