Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Introducere· Noțiunea 3
Introducerea noțiunii 3
Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții — ce construim și din ce micro-noțiuni
Noțiunea 3 e drumul invers față de Noțiunea 2. În „Graficul este o dreaptă” porneai de la formulă și ajungeai la desen. În „Lecturi grafice și funcția din condiții” pornești de la desen, de la două puncte sau de la câteva condiții scrise în cuvinte, și ajungi la formulă sau la răspuns.
Patru micro-noțiuni, în ordinea asta: întâi scoți funcția din două puncte, cu un sistem (3.1); apoi citești de pe un grafic gata desenat, fără calcul (3.2); apoi pui două grafice în același desen și afli unde se întâlnesc (3.3); la final verifici dacă trei puncte stau pe aceeași dreaptă (3.4), unde folosești 3.1 și testul din 2.2 la un loc.
O singură întrebare ține toată noțiunea: „ce îmi spune desenul despre formulă?”. La sfârșitul ei vei ști să afli tariful unui taxi din două bonuri, să citești orice grafic din știri și să spui de la ce cursă devine o firmă mai ieftină decât alta. Întâi teoria întreagă a noțiunii, apoi micro-noțiunile pe rând.
Pe scurt: Noțiunea 3, „Lecturi grafice și funcția din condiții”: 3.1 → 3.2 → 3.3 → 3.4. De la desen sau de la condiții înapoi la formulă.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 1 din 8 · Metodă
Funcția din două puncte
Până acum știai a și b și căutai puncte. De acum e invers: cunoști două puncte de pe grafic și cauți formula, adică pe a și pe b.
Cheia e testul punctului din Noțiunea 2, citit în sens invers: punctul e pe grafic, deci egalitatea e adevărată, deci am o ecuație cu care pot lucra.
Metodă
A(x₁, y₁) ∈ Gf ⇔ a · x₁ + b = y₁
Uită-te ce e cunoscut aici: x₁ și y₁ sunt numerele punctului, pe care le ai; necunoscutele sunt a și b. Două necunoscute, deci două ecuații, deci două puncte: un sistem ca în clasa a VII-a. Scazi o ecuație din cealaltă, b se duce și rămâne a.
Să scoatem funcția al cărei grafic trece prin A(2, 1) și B(5, 10). Înainte de pași, ghicește: de la x = 2 la x = 5 valorile au urcat de la 1 la 10, trei pași, nouă în plus. Cât iese a?
1
Condiția pentru A(2, 1)
a · 2 + b = 1
2
Condiția pentru B(5, 10)
a · 5 + b = 10
3
Scazi prima ecuație din a doua
3a = 9, deci a = 3
4
Înlocuiești în prima
6 + b = 1, deci b = −5
5
Scrii funcția și verifici
f(x) = 3x − 5; f(2) = 1 ✓, f(5) = 10 ✓
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 7 și y între −7 și 12; graficul funcției f(x) = 3x − 5; punctele A(2, 1) (2; 1), B(5, 10) (5; 10).
Dreapta trece prin amândouă, cum au cerut condițiile. Verifică mereu în ambele puncte: dacă unul nu iese, greșeala e la scădere sau la semn, și o prinzi acum, nu la corectare.
Pe scurt: Fiecare punct cunoscut al graficului dă o ecuație în necunoscutele a și b; două puncte dau un sistem, pe care îl rezolvi (de obicei scăzând ecuațiile) și verifici în ambele puncte.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 2 din 8 · Metodă
Funcția din condiții
În probleme, de multe ori nu primești puncte, ci propoziții: „graficul taie axa Oy în (0, 4)”, „f(−2) = 0”. Tradu-le tu întâi, apoi compară cu dicționarul:
1
f(0) = k
b = k
2
graficul taie Oy în (0, k)
b = k
3
graficul taie Ox în (p, 0)
a · p + b = 0
4
f(p) = q sau (p, q) ∈ Gf
a · p + b = q
O condiție în x = 0 îți dă b imediat, fără sistem, așa că de la ea pornești ori de câte ori o ai. Exemplu: „f(0) = 4 și graficul taie Ox în (−2, 0)”. Din prima, b = 4; din a doua, a · (−2) + 4 = 0, deci a = 2, și f(x) = 2x + 4. Două rânduri, gata.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 2 și y între −2 și 7; graficul funcției f(x) = 2x + 4; punctele (0, 4) (0; 4), (−2, 0) (−2; 0).
Un singur lucru de verificat înainte de orice sistem: cele două puncte trebuie să aibă abscise diferite. Să zicem că ai două bonuri de închiriat o trotinetă, amândouă pentru 1 oră, unul de 2 lei și unul de 6 lei: a + b = 2 și a + b = 6, deci 0 = 4. Nu există a și b.
Pe desen, (1, 2) și (1, 6) stau pe o verticală, iar o dreaptă verticală nu e graficul niciunei funcții: unui x îi corespunde o singură valoare. Următorul pas se sprijină exact pe asta: două bonuri de taxi, tariful nescris pe niciunul, și tu îl scoți, la 3.1.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 3 și y între −1 și 8; punctele (1, 2) (1; 2), (1, 6) (1; 6).
A și B au aceeași abscisă (x = 1) → nu există f(x) = ax + b cu graficul prin amândouă
Pe scurt: Fiecare condiție se traduce într-o ecuație în a și b; o condiție în x = 0 îți dă b direct. Cele două puncte trebuie să aibă abscise diferite; altfel nu există nicio funcție f(x) = ax + b al cărei grafic să treacă prin ele.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 3 din 8 · Lectură
Lecturi grafice: valoarea și ecuația
La teoria lecției ți-am spus că un grafic se citește cu degetul; acum îți arăt tot drumul. Lasă creionul jos: pe ecranul ăsta aproape nu calculezi nimic, te uiți la un desen gata făcut, cum te uiți la graficul temperaturii din aplicația meteo.
Fiecare punct al graficului e o pereche (x, f(x)), deci desenul ține locul unui tabel de valori cu nesfârșit de multe coloane. Singura regulă de citire: x stă pe Ox, f(x) stă pe Oy.
Luăm f(x) = 2x − 4 pe [−1, 4]. Vreau f(3), fără formulă. Pune degetul pe 3, pe axa Ox, urcă vertical până la grafic, apoi mergi orizontal până la axa Oy și citește: 2. Deci f(3) = 2. O singură verificare cu formula, ca să ai încredere în deget: 2 · 3 − 4 = 2.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 5 și y între −7 și 5; graficul funcției f(x) = 2x − 4, cu domeniul [-1, 4]; punctele (3, 2) (3; 2); dreapta verticală x = 3; dreapta orizontală y = 2.
Drumul invers: știi valoarea și cauți x, adică rezolvi ecuația f(x) = k direct de pe desen. Hotărăște tu unde pui degetul acum: pe axa Oy, la k. Pentru f(x) = −2 pleci din −2 pe Oy, mergi orizontal până întâlnești graficul, cobori pe Ox și citești x = 1. Calculul confirmă: 2x − 4 = −2 dă x = 1.
Pe scurt: Pentru f(x₀): din x₀ pe Ox urci la grafic, apoi mergi orizontal și citești pe Oy. Pentru f(x) = k: din k pe Oy mergi orizontal la grafic, apoi cobori și citești x pe Ox.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 4 din 8 · Lectură
Semnul, creșterea, capetele
Acum o întrebare de o privire, dar hotărăște-te înainte să citești mai jos: pe același desen, unde sunt valorile pozitive, la stânga sau la dreapta lui 2?
Graficul taie axa Ox în x = 2; la dreapta e deasupra axei, deci valorile sunt pozitive; la stânga e dedesubt, deci negative.
Lectură
deasupra axei Ox ⇔ f(x) > 0
pe axa Ox ⇔ f(x) = 0
sub axa Ox ⇔ f(x) < 0
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 5 și y între −7 și 5; dreapta cu semnul funcției colorat diferit de o parte și de alta a zeroului.
Scris ca intervale, cum ai scris soluțiile inecuațiilor: f(x) < 0 pentru x ∈ [−1, 2), f(x) = 0 pentru x = 2, f(x) > 0 pentru x ∈ (2, 4]. Încă două lucruri fără calcul: dreapta urcă de la stânga la dreapta, deci valorile cresc; iar pe un segment dreapta nu se poate întoarce, așa că cea mai mică valoare e în capătul din stânga, f(−1) = −6, și cea mai mare în capătul din dreapta, f(4) = 4.
Graficul temperaturii nu e o dreaptă, e o linie frântă, ca cele din clasa a VII-a. Se citește cu același deget; doar că cea mai mare și cea mai mică valoare le cauți în colțuri și la capete, iar o valoare poate apărea de mai multe ori. Dacă te-ai întrebat vreodată la ce oră a fost cel mai cald ieri, ai ghicit ce urmează: desenul temperaturilor, la 3.2.
Pe scurt: Semnul valorilor se citește după poziția graficului față de axa Ox: deasupra, pozitive; pe axă, zero; dedesubt, negative. Dacă dreapta urcă, valorile cresc; dacă coboară, scad. Pe un segment, cea mai mare și cea mai mică valoare sunt la capete.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 5 din 8 · Proprietate
Două grafice se întâlnesc
La teoria lecției ai aflat că punctul comun a două grafice iese dintr-o ecuație; hai să vedem de ce. Să zicem că ai două firme de trotinete: una cere 3 lei la deblocare și 0,50 lei pe minut, cealaltă nimic la deblocare, dar 1 leu pe minut. Ghicește, înainte de calcul: pentru 4 minute, care e mai ieftină? Și pentru 10?
Un punct comun stă pe amândouă dreptele, așa că trece testul punctului și pentru f, și pentru g: ordonata lui e f(x₀), dar e și g(x₀). Un singur număr, două formule: f(x₀) = g(x₀). Merge și invers: orice x₀ cu f(x₀) = g(x₀) dă un punct de pe ambele grafice.
Proprietate
M(x₀, y₀) ∈ Gf ∩ Gg
⇔ y₀ = f(x₀) și y₀ = g(x₀)
deci caut x₀ cu f(x₀) = g(x₀)
Punctul comun al graficelor lui f(x) = 3x + 2 și g(x) = −2x + 12. Una urcă, cealaltă coboară; prezice tu, din ochi, dacă se întâlnesc la un x pozitiv sau negativ, apoi deschide pașii.
1
Egalezi formulele
3x + 2 = −2x + 12
2
Rezolvi ecuația
5x = 10, deci x = 2
3
Calculezi ordonata
y = f(2) = 8 (verificare: g(2) = 8)
4
Scrii punctul
Gf ∩ Gg = {(2, 8)}
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −2 și 6 și y între −2 și 14; graficul funcției f(x) = 3x + 2; graficul funcției g(x) = −2x + 12; punctele (2, 8) (2; 8).
g(x) = −2x + 12
Nu te opri la x = 2: punctul are două coordonate, scrie perechea. Și observă: (2, 8) verifică și y = 3x + 2, și y = −2x + 12, deci e soluția unui sistem din clasa a VII-a. A rezolva sistemul și a găsi punctul comun al dreptelor e același lucru, o dată cu calculul, o dată pe desen.
Pe scurt: Abscisa punctului comun este soluția ecuației f(x) = g(x); ordonata este valoarea comună. Egalezi formulele, afli x, calculezi y; răspunsul este perechea (x, y). Punctul comun al graficelor este soluția sistemului format din cele două ecuații.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 6 din 8 · Proprietate
Câte puncte comune pot avea două drepte
Trotinetele: 3 + 0,5x = x dă x = 6 minute, iar atunci plătești 6 lei la oricare. Sub 6 minute e mai ieftină firma fără deblocare, peste 6 minute cealaltă. Așa ai ghicit pentru 4 și pentru 10?
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 12 și y între −1 și 10; graficul funcției f(x) = 0,5·x + 3; graficul funcției g(x) = x; punctele (6, 6) (6; 6).
g(x) = x
Câte puncte comune pot avea două drepte? Ghicește care număr hotărăște, a sau b. Același a și b diferiți, ca y = 3x + 2 și y = 3x − 3: urcă la fel la fiecare pas și rămân la aceeași distanță, ca două șine; ecuația dă 2 = −3, fals, deci nicio soluție.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −3 și 3 și y între −6 și 6; graficul funcției f(x) = 3x + 2; graficul funcției g(x) = 3x − 3.
g(x) = 3x − 3
1
a diferiți
exact un punct comun
2
același a, b diferiți
paralele: niciun punct comun
3
același a și același b
aceeași dreaptă: toate punctele sunt comune
Atenție la domenii mai mici decât ℝ: punctul în care s-ar întâlni dreptele poate cădea în afara domeniilor, și atunci graficele nu au niciun punct comun. Ridic puțin vălul: la 3.3 ai două săli de sport cu două abonamente, și tu hotărăști de la câte ședințe merită a doua.
Pe scurt: a diferiți: un punct comun; același a și b diferiți: paralele, niciun punct; același a și același b: aceeași dreaptă.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 7 din 8 · Metodă
Trei puncte în linie
Ultima idee a noțiunii n-are nimic nou de învățat: pune la un loc funcția din două puncte și testul punctului. Pe amândouă le-ai lucrat deja; acum le legi, pe un exemplu.
Cuvântul îl știi din geometrie: punctele care stau pe aceeași dreaptă se numesc coliniare. Pe hârtie pui rigla și toate trei par sub ea; dar rigla minte la zecimi, așa că decizia sigură se ia cu numere.
Metodă
A, B, C coliniare ⇔
există o dreaptă d cu A, B, C ∈ d
Cum le pui împreună? Iei două dintre puncte, A și B, cu abscise diferite: prin ele trece o singură dreaptă, și ea e graficul unei funcții f(x) = ax + b, pe care o afli din cele două puncte, cum ai făcut la începutul noțiunii. Apoi îl întrebi pe C dacă stă pe graficul ei: testul punctului, nimic mai mult.
A(−2, −3), B(1, 3) și C(3, 7) sunt coliniare? Da sau nu, din ochi, înainte de pași: uită-te doar la cum cresc ordonatele. Apoi verificăm.
1
Afli f din A și B
din a · (−2) + b = −3 și a · 1 + b = 3, scăzute, 3a = 6, deci a = 2 și b = 1; f(x) = 2x + 1
2
Testezi C
C(3, 7): f(3) = 7 ✓
3
Concluzia
A, B, C sunt coliniare
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 6 și y între −5 și 12; graficul funcției f(x) = 2x + 1; punctele A (−2; −3), B (1; 3), C (3; 7), D (4; 10).
Pe scurt: Coliniare înseamnă „pe aceeași dreaptă”; decizia sigură se ia prin calcul, nu cu rigla. Afli dreapta prin două puncte și verifici dacă coordonatele celui de-al treilea verifică formula.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Teoria noțiunii· Noțiunea 3
Pasul 8 din 8 · Metodă
Când testul pică; cazul verticalei
Uită-te și la D(4, 10). Ordonatele cresc și la el, −3, 3, 7, 10, dar f(4) = 9 ≠ 10: nu e pe dreaptă. Că ordonatele cresc frumos nu dovedește nimic; numai calculul decide.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 6 și y între −5 și 12; graficul funcției f(x) = 2x + 1; punctele A (−2; −3), B (1; 3), C (3; 7), D (4; 10), f(4) = 9 (4; 9).
Cu patru puncte sau mai multe nu schimbi nimic: dreapta o iei din primele două, iar pe fiecare dintre celelalte îl pui, pe rând, la test; ajunge ca unul să pice ca să nu fie coliniare.
Un caz spus cinstit: (3, 1), (3, 4) și (3, 8), toate cu abscisa 3, sunt coliniare, stau pe verticala x = 3; dar pe ele metoda nu le poate prinde, fiindcă o verticală nu e graficul niciunei funcții f(x) = ax + b, cum ai văzut la începutul noțiunii.
Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 5 și y între −1 și 10; punctele (3, 1) (3; 1), (3, 4) (3; 4), (3, 8) (3; 8).
A și B au aceeași abscisă (x = 3) → nu există f(x) = ax + b cu graficul prin amândouă; A și C au aceeași abscisă (x = 3) → nu există f(x) = ax + b cu graficul prin amândouă
Iar dacă exact două dintre cele trei au aceeași abscisă, nu sunt coliniare: prin cele două trece doar verticala, iar al treilea nu e pe ea. Dacă vrei, verifică și cu metoda, pe o pereche cu abscise diferite: testul pică. La 3.4 ai trei bonuri din trei zile și o bănuială că la unul ai plătit prea mult; testul de acum îți spune dacă ai dreptate.
Pe scurt: La mai multe puncte, dreapta o iei din primele două, iar pe celelalte le testezi pe rând. Metoda cere două puncte cu abscise diferite; trei puncte pe o verticală sunt coliniare, dar se văd direct, fără funcție; dacă exact două au aceeași abscisă, punctele nu sunt coliniare.
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 1 din 8
Cauți funcția f(x) = ax + b și știi un singur punct de pe graficul ei. Ce îți dă acest punct?
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 2 din 8
Condiția „graficul lui f taie axa Oy în (0, 6)” se traduce prin:
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 3 din 8
De ce nu există nicio funcție f(x) = ax + b al cărei grafic să treacă prin (1, 2) și prin (1, 6)?
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 4 din 8
Vrei să rezolvi ecuația f(x) = k direct de pe graficul lui f. De unde pornești cu degetul și unde citești răspunsul?
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 5 din 8
Pe un interval, graficul unei funcții se află sub axa Ox. Ce știi despre valorile funcției acolo?
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 6 din 8
Abscisa punctului comun al graficelor lui f și g este soluția ecuației:
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 7 din 8
Două funcții f(x) = ax + b și g(x) = cx + d au același coeficient al lui x și termeni liberi diferiți. Graficele lor:
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Grila noțiunii 3· Noțiunea 3
Întrebarea 8 din 8
Cum decizi sigur dacă trei puncte A, B, C sunt coliniare?
Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții
Trecerea spre micro-noțiuni· Noțiunea 3
Grila noțiunii 3 · rezultatul
Grila noțiunii 3
Corecte
0/8
Grila nu se notează. Toate: ideile s-au legat.