Sari la conținut

Exercițiile noțiunii 1 (centurile albă, galbenă, verde, albastră și maro)

Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiile noțiunii 1

Valorile funcției

16 exerciții, de la ușor la greu, nivel cu nivel. La prima parcurgere îți recomand drumul complet, micro-noțiune cu micro-noțiune: acolo exersezi pe loc fiecare idee.

Sari direct la exercițiile unei micro-noțiuni:

Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.1 · 1 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Încălzire: trei numere de pus, pe rând, în aceeași formulă. Ultimul e negativ; acolo cad cei grăbiți.
Cerință1.1.1 Centura albă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5. Calculează f(0), f(2) și f(−1).
Indicii
1Formula e o mașină cu o singură intrare: litera x. Tot ce ai de făcut e să pui numărul dat în locul ei și să calculezi.
2Scrie formula cu o căsuță goală, 3 · [ ] − 5, și completează căsuța pe rând cu 0, cu 2, cu −1. Întâi înmulțirea, apoi scăderea.
3La −1, pune-l între paranteze: 3 · (−1). Ce semn are un produs dintre un număr pozitiv și unul negativ?
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.2 · 2 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Un tabel de valori e ca o fișă de antrenament: aceeași regulă, patru numere. După ce îl completezi, uită-te cum se schimbă rândul de jos.
Cerință1.1.2 Centura albă
Completează tabelul de valori al funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = −2x + 7, pentru x egal, pe rând, cu −2, 0, 1 și 3.
Indicii
1Ia coloanele una câte una. Pentru fiecare, pune numărul de sus în locul lui x și calculează; rezultatul merge dedesubt.
2Prima coloană are x = −2: produsul e −2 · (−2). Ce semn are produsul a două numere negative?
3La fiecare coloană, calculează întâi produsul −2 · x, apoi adună 7. Nu sări peste produs.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.3 · 3 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Înainte să calculezi ceva cu o formulă, trebuie să o recunoști. Îți arăt patru formule, iar tu cauți intrusul.
Cerință1.1.3 Centura albă
Care dintre formulele de mai jos NU descrie o funcție de forma f(x) = ax + b?
Indicii
1Forma căutată este „un număr ori x, plus un număr”. Întreabă-te, la fiecare variantă: așa apare x?
2Nu te lăsa păcălit de ordinea termenilor sau de o fracție: 4 − 2x și x/3 se pot rescrie în forma cerută.
3Uită-te la ce i se întâmplă lui x în fiecare formulă. Într-una dintre ele i se face ceva ce nu are voie să i se facă.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.4 · 4 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Ca la Evaluarea Națională: patru variante, una bună. Celelalte trei sunt greșeli de semn, puse acolo anume.
Cerință1.1.4 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −3x + 4. Valoarea f(−2) este egală cu:
Indicii
1Pune −2 în locul lui x, cu paranteze. Produsul se face întâi, adunarea după.
2Ce semn are −3 · (−2)? Dacă răspunzi corect aici, ai eliminat deja două variante.
3După produs, termenul liber +4 se adună, nu se scade. Verifică ce ai făcut cu el.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.5 · 5 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Aici a e o fracție: x/2 înseamnă jumătatea lui x. Norocul tău: toate cele trei numere se împart exact la 2.
Cerință1.1.5 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x/2 − 3. Calculează f(4), f(−6) și f(0).
Indicii
1x/2 înseamnă x împărțit la 2, adică jumătatea lui x. Întâi jumătatea, apoi scazi 3.
2La f(−6): jumătatea lui −6 este un număr negativ. Apoi mai scazi 3; mergi și mai jos pe axă.
3La f(0): jumătatea lui 0 este 0. Ce rămâne din formulă?
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.6 · 6 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Drumul invers: știi ce a ieșit, 17, și cauți ce ai pus. Ca atunci când ai suma de pe bon și vrei kilometrii.
Cerință1.1.6 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 2. Determină numărul real x pentru care f(x) = 17.
Indicii
1De data asta nu știi x, știi rezultatul. Scrie formula egală cu 17 și ai o ecuație.
2Ecuația e 5x + 2 = 17. Scapă întâi de +2: ce faci cu el când îl treci dincolo?
3Când ai găsit un x, pune-l înapoi în formulă. Dacă iese 17, e bun.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.7 · 7 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Uneori primești doar un tabel, fără formulă. Regula „la pas de 1, valoarea se schimbă cu a” îți permite să scoți formula din tabel.
Cerință1.1.7 Centura galbenă
Tabelul de valori al unei funcții f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, are patru coloane: x = 0 → f(x) = 4; x = 1 → f(x) = 7; x = 2 → f(x) = 10; x = 3 → f(x) = 13. a) Determină a. b) Determină b. c) Calculează f(10).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 5 și y între -1 și 16; graficul unei funcții; 4 puncte marcate.

Indicii
1Uită-te la coloana cu x = 0. Ce rămâne din formula ax + b când x e 0?
2Acum compară două coloane vecine: cu cât crește valoarea de jos când x crește cu 1? Numărul acela are un nume în formulă.
3După ce ai formula, c) e un calcul obișnuit: pune 10 în locul lui x.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.8 · 8 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Aici calculezi întâi două valori ale funcției, apoi mergi pe drumul invers: știi valoarea și cauți numărul x.
Cerință1.1.8 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 4. Determină numărul real x pentru care f(x) = f(2) + f(3).
Indicii
1Membrul drept e un număr, doar că e ascuns: calculează f(2) și f(3) și adună-le.
2Ai obținut 17? Atunci cerința e f(x) = 17: o ecuație de gradul I.
3La 5x − 4 = 17, termenul −4 trece dincolo cu semn schimbat. Răspunsul nu e număr întreg și e în regulă.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.9 · 9 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Rândul de jos al unui tabel de valori e un șir de numere. Dacă știi cum merge șirul, poți sări direct la orice termen, fără să-i scrii pe toți.
Cerință1.1.9 Centura galbenă
Pentru x = 1, 2, 3, …, valorile unei funcții f(x) = ax + b formează șirul 5, 8, 11, … a) Scrie următorii doi termeni ai șirului. b) Determină a. c) Determină b. d) Calculează al zecelea termen al șirului.
Indicii
1Cu cât crește șirul de la un termen la următorul? Numărul acela se repetă mereu.
2Saltul constant este a. Pentru b, pune x = 1 în formulă: trebuie să iasă primul termen, 5.
3Al zecelea termen nu se află numărând pe degete: pune x = 10 în formula pe care ai găsit-o.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.10 · 10 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Un șir care scade, de data asta. Regula e aceeași, doar că saltul e cu minus.
Cerință1.1.10 Centura galbenă
Un șir începe cu 20, 17, 14, … și fiecare termen se obține din cel dinainte după aceeași regulă. a) Cu cât se schimbă șirul de la un termen la următorul? b) Scrie funcția f(x) = ax + b care dă termenul de pe locul x (x = 1, 2, 3, …). c) Calculează al optulea termen.
Indicii
1Scade fiecare termen din cel de dinainte: 17 − 20, apoi 14 − 17. Ce obții?
2Numărul găsit, cu semnul lui, este a. Pentru b, cere ca f(1) să fie 20.
3Al optulea termen: pune x = 8 în formulă. Poate ieși și un număr negativ; șirul coboară.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.11 · 11 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Radicalii nu schimbă regula: tot înmulțești cu a și aduni b. Doar că aici a și b sunt √2 și −√2.
Cerință1.1.11 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = √2 · x − √2. a) Calculează f(√2). b) Calculează f(1).
Indicii
1Regula e aceeași ca la numere obișnuite: pui √2 în locul lui x, peste tot unde apare x.
2Cât face √2 înmulțit cu el însuși? Gândește-te la definiția radicalului.
3La b), x = 1: √2 · 1 − √2. Ce rămâne?
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Exercițiul 1.1.12 · 12 din 16 · 1.1 ☆☆☆
Regula funcției merge la fel și cu radicali: pui numărul între paranteze în locul lui x. Produsul celor două valori se calculează repede, cu o formulă de calcul prescurtat.
Cerință1.1.12 Centura galbenă
Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2. Calculează f(√3) · f(−√3).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -3 și 3 și y între -6 și 9; graficul unei funcții; 2 puncte marcate.

Indicii
1Calculează separat cele două valori; a doua are x negativ, pune-l în paranteze.
2Ai obținut 3√3 + 2 și −3√3 + 2? Scrie-le ca 2 + 3√3 și 2 − 3√3: ce formulă recunoști?
3(p + q)(p − q) = p² − q². Aici p = 2 și q = 3√3; atenție la pătratul lui 3√3.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivelul 3 din 6

Centura verde

Subiectul III de la Evaluarea Națională.
Probleme care cer raționament, nu doar calcul.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivel Centura verde – problema 13 din 16
Centura verde

Suma a zece valori

Se povestește că micul Gauss, pus la școală să adune numerele de la 1 la 100, a terminat în câteva clipe, pe când colegii lui încă scriau. Nu știm dacă povestea e adevărată, dar trucul lui e adevărat și îți trebuie azi. Înainte să scrii ceva, uită-te la prima condiție și ghicește: dacă de la f(1) la f(10) valoarea a crescut cu 27, cu cât a crescut la fiecare pas de 1?
Ideea problemei
Ideea problemei: O sumă de valori ale lui f(x) = ax + b se desparte în „a ori suma numerelor” plus „b, de câte ori apare”. Restul e un sistem cu două necunoscute, a și b.
CerințăProblema 13 din 16 Centura verde
Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitățile f(10) − f(1) = 27 și f(1) + f(2) + f(3) + … + f(10) = 175. Determină funcția f.
Experimentează pe grafic

Mută a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), f(2), …, f(10); urmărește suma lor și diferența f(10) − f(1) până nimerești 175 și 27.

Laborator interactiv: Mută a și b. Stâlpii sunt valorile f(1), f(2), …, f(10); urmărește suma lor și diferența f(10) − f(1) până nimerești 175 și 27.

Indicii
1Pornește de la prima condiție: scrie f(10) și f(1) cu a și b și scade. Ce se întâmplă cu b?
2Pentru a doua condiție, fiecare termen f(k) este a · k + b. Adună-le pe toate zece: dă-l pe a factor comun și numără de câte ori apare b.
3Suma 1 + 2 + … + 10 se calculează repede dacă împerechezi 1 cu 10, 2 cu 9 și tot așa. Apoi ai o ecuație în care îl știi deja pe a.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivel Centura verde – problema 14 din 16
Centura verde

O egalitate care leagă x de 2 − x

În egalitatea de mai jos apar în același timp f(x) și f(2 − x). Pare că ai prea multe necunoscute, dar nu te lăsa păcălit: f are forma ax + b, deci totul se reduce la două numere, a și b. Pe desen reglează-le până când dreapta roz se așază peste linia punctată; apoi fă același lucru cu creionul.
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrii totul cu a și b, grupezi termenii cu x și compari cu 2x + 10: coeficientul cu coeficientul, termenul liber cu termenul liber.
CerințăProblema 14 din 16 Centura verde
Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, verifică egalitatea f(x) + 3f(2 − x) = 2x + 10, pentru orice număr real x. Determină funcția f.
Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Linia punctată este 2x + 10; dreapta roz este f(x) + 3f(2 − x).

Laborator interactiv: Reglează a și b. Linia punctată este 2x + 10; dreapta roz este f(x) + 3f(2 − x).

Indicii
1Scrie f(2 − x) cu formula: a(2 − x) + b.
2Adună și grupează: termenii cu x la un loc, restul la alt loc.
3Două expresii de forma px + q sunt egale pentru orice x doar dacă au același p și același q. Poți verifica asta punând x = 0 și x = 2.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivelul 4 din 6

Centura albastră

Dincolo de examen: o idee ascunsă.
De aici încep problemele pentru pasionați. Nimic nu e blocat și nimic nu se pierde: încerci, deschizi indiciile pe rând, iar fiecare idee găsită singur e a ta.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivel Centura albastră – problema 15 din 16
Centura albastră

Funcția aplicată de două ori

În plus față de programăCompunerea funcțiilor.
Pui un număr într-o funcție, iar rezultatul îl pui din nou în aceeași funcție. Scriem asta f(f(x)): valoarea lui f în numărul f(x), exact ca la micro-noțiunea 1.1, doar că numărul pus în formulă e chiar f(x). Operația asta se numește compunerea funcțiilor și nu e în programa de gimnaziu; o vei întâlni la liceu. Pe desen reglează a și b până când dreapta roz, f(f(x)), se așază peste linia punctată. Ghicește: câte funcții se potrivesc, una sau mai multe?
Ideea problemei
Ideea problemei: f(f(x)) e tot o expresie de forma px + q. Compar-o cu 9x − 16: coeficient cu coeficient, termen liber cu termen liber.
CerințăProblema 15 din 16 Centura albastră
Determină toate funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, pentru care f(f(x)) = 9x − 16, pentru orice număr real x. (Prin f(f(x)) înțelegem valoarea funcției f în numărul f(x).)
Experimentează pe grafic

Reglează a și b. Linia punctată este 9x − 16; dreapta roz este f(f(x)). Fă-le să coincidă.

Laborator interactiv: Reglează a și b. Linia punctată este 9x − 16; dreapta roz este f(f(x)). Fă-le să coincidă.

Indicii
1Calculează f(f(x)) = a · f(x) + b = a(ax + b) + b și desfă paranteza.
2Egalitatea e adevărată pentru orice x. Pune x = 0, apoi x = 1: obții două ecuații în a și b.
3Din ele rezultă a² = 9. Câte numere au pătratul 9? Nu uita niciun caz.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivelul 5 din 6

Centura maro

Două idei legate.
La centura maro, problemele cer mai multe idei legate între ele. Ia-o încet, cu hârtie și creion; graficul de lângă fiecare problemă te ajută să vezi.
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
Nivel Centura maro – problema 16 din 16
Centura maro

Fiecare valoare o divide pe următoarea

Scrii valorile unei funcții în numerele 1, 2, 3, … și ceri ca fiecare să o dividă pe următoarea. Pe desen alege a și b întregi și urmărește unde se strică lanțul: f(1) | f(2), f(2) | f(3) și tot așa. Pare că există multe astfel de funcții. În realitate, cerința e atât de strictă încât aproape nimic nu rezistă; ghicește ce rămâne, apoi demonstrează exact.
Ideea problemei
Ideea problemei: Caută un număr fix pe care toate valorile f(n) trebuie să-l dividă. Un număr fix nu poate avea divizori oricât de mari.
CerințăProblema 16 din 16 Centura maro
Determină toate funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, cu a și b numere întregi, pentru care, oricare ar fi numărul natural n ≥ 1, avem f(n) ≠ 0 și f(n) divide f(n + 1).
Experimentează pe grafic

Alege a și b și urmărește dacă f(1) | f(2), f(2) | f(3), … Unde se strică?

Laborator interactiv: Alege a și b și urmărește dacă f(1) | f(2), f(2) | f(3), … Unde se strică?

Indicii
1f(n) divide f(n + 1) și, evident, divide f(n). Ce divide atunci și? Gândește-te la diferență.
2Cât este f(n + 1) − f(n)? Nu depinde de n. Ce poți spune despre un număr care îl divide?
3Dacă a ≠ 0, un divizor al lui a are modulul cel mult |a|. Dar ce se întâmplă cu |f(n)| = |an + b| când n crește foarte mult?
Lecția 11 › Noțiunea 1: Valorile funcției
Exercițiile noțiunii 1· Noțiunea 1
bilanțul

„Valorile funcției”: seria gata