3.3 · Două drepte se întâlnesc · Lecția 11

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Introducere· Micro-noțiunea 3.3

coperta

Micro-noțiunea 3.3

Introducere: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Unde suntem · Noțiunea 3, Lecturi grafice și funcția din condițiiDouă funcții în același desen și întrebarea „unde costă la fel?”. Punctul comun verifică ambele formule, deci e soluția unui sistem din clasa a VII-a, văzută pe desen.

Ce urmează

De unde pornim

Două săli de sport: la câte ședințe costă la fel?

1 ecran

Întreabă-te întâi

Punctul de intersecție a două grafice este:

1 întrebare

Încearcă tu, înainte de regulă

Provocarea: Trage de a doua dreaptă și urmărește în panou cum se mută punctul comun și cele două valori din el. Apoi așaz-o astfel încât dreptele să se întâlnească în dreptul lui x = 1.

1 ecran

Teoria, pas cu pas

Ce are în plus un punct comun · Metoda, pas cu pas · Legătura cu sistemele de ecuații · Câte puncte comune pot avea

5 ecrane

Fișa micro-noțiunii și capcanele

Punctul comun: rezolvi f(x) = g(x), apoi calculezi y; perechea e soluția sistemului format din cele două formule.

2 ecrane

Grila 3.3

Întrebări de înțelegere, fără notă, cu explicație și trimitere la teorie.

6 întrebări

Exerciții

6 exerciții de nucleu; apoi încă 6, de antrenament, dacă vrei.

Recapitularea 3.3 · opțional

Test de teorie 3.3 · testul 1

8 întrebări

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Introducere· Micro-noțiunea 3.3

3.3 · De unde pornim

Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Vrei să mergi la sală și ai două oferte. Să zicem că sala A cere 40 de lei pe ședință, fără abonament. Sala B cere un abonament de 150 de lei pe lună plus 10 lei pe ședință. Care e mai ieftină? Depinde de câte ori mergi. Ghicește înainte să calculezi: la 3 ședințe pe lună, care te costă mai puțin? Și la 10? Ține minte ce ai ales. Îți spun doar atât: există un număr de ședințe la care cele două oferte costă exact la fel, iar de acolo încolo se schimbă cine e mai ieftină. Care e numărul? Nu-l dau încă; răspunde întâi la întrebarea de pe ecranul următor, apoi facem calculul împreună. Pe desen, numărul ăsta e punctul în care se întâlnesc cele două drepte.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Introducere· Micro-noțiunea 3.3

Întreabă-te întâi

Punctul de intersecție a două grafice este:

Ghicește înainte să citești teoria. Nu contează dacă greșești.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Încearcă tu· Micro-noțiunea 3.3

Încearcă tu, înainte de regulă

Sarcina: Mută a doua dreaptă până când cele două drepte se întâlnesc în dreptul lui x = 1.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.3

Deschiderea

Azi învățăm: Unde se întâlnesc două grafice

Am o problemă de pe stradă pentru tine, pe care ai început s-o rezolvi cu sălile de sport: două oferte și întrebarea „de la câte ședințe devine a doua mai ieftină?”. Răspunsul pornește dintr-un singur punct al desenului: acolo unde cele două drepte se întâlnesc, cele două oferte costă la fel, iar de acolo încolo se schimbă cine e mai ieftin.

Până acum punctul comun l-am găsit eu, în fața ta; de aici încolo îl găsești tu.

Dacă ai făcut explorarea, ai mutat a doua dreaptă până când punctul comun a ajuns în dreptul lui x = 1 și ai văzut că în punctul comun cele două formule dau aceeași valoare. Dacă ai sărit-o, reține observația de aici: în punctul comun, cele două formule dau același număr. Azi facem din ea o metodă.

Aflăm punctul prin calcul, vedem ce legătură are cu sistemele de ecuații din clasa a VII-a și numărăm câte puncte comune pot avea două drepte.

1Ce are în plus un punct comun

2Metoda, pas cu pas

3Legătura cu sistemele de ecuații

4Câte puncte comune pot avea

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.3

Pasul 1 din 4

Ce are în plus un punct comun

Un punct comun al graficelor lui f și g stă pe amândouă dreptele. Aplică-i testul de la 2.2 de două ori: ordonata lui e f(x₀), pentru că e pe primul grafic, și e g(x₀), pentru că e pe al doilea. Același număr, de două ori. Deci f(x₀) = g(x₀).

Și invers: dacă găsești un x₀ cu f(x₀) = g(x₀), punctul (x₀, f(x₀)) e pe ambele grafice. La sala de sport: numărul de ședințe la care ambele oferte costă la fel.

Definiție

M(x₀, y₀) ∈ G_f ∩ G_g

⇔ y₀ = f(x₀) și y₀ = g(x₀)

deci caut x₀ cu f(x₀) = g(x₀)

Pe scurt: Abscisa punctului comun este soluția ecuației f(x) = g(x); ordonata este valoarea comună.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.3

Pasul 2 din 4

Metoda, pas cu pas

Să aflăm punctul comun al graficelor lui f(x) = 4x − 5 și g(x) = −x + 10. Înainte de pași, o predicție: una urcă repede, cealaltă coboară; se întâlnesc la un x pozitiv sau negativ?

Egalezi formulele

4x − 5 = −x + 10

Rezolvi ecuația

5x = 15, deci x = 3

Calculezi ordonata

y = f(3) = 7 (verificare: g(3) = 7)

Scrii punctul

G_f ∩ G_g = {(3, 7)}

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 6 și y între −3 și 11; graficul funcției f(x) = 4x − 5; graficul funcției g(x) = −x + 10; punctele (3, 7) (3; 7).

g(x) = −x + 10

Aici se pierd puncte la examen, la ultimul pas: găsești x = 3 și te oprești. Nu te opri: punctul are două coordonate. Scrie perechea.

Pe scurt: Egalezi formulele, afli x, calculezi y; răspunsul este perechea (x, y).

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Verifică-te· Micro-noțiunea 3.3

Ai văzut exemplul rezolvat. Acum unul la fel, făcut de tine. Nu se notează.

Graficele lui f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 8 se întâlnesc în punctul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.3

Pasul 3 din 4

Legătura cu sistemele de ecuații

Uită-te la ce ai scris: coordonatele punctului comun verifică și y = 4x − 5, și y = −x + 10. Două ecuații, aceeași pereche (x, y). Asta e exact soluția unui sistem, cum îl știi din clasa a VII-a.

Proprietate

{ y = 4x − 5

{ y = −x + 10

soluția: (x, y) = (3, 7)

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 6 și y între −6 și 12; graficul funcției f(x) = 4x − 5; graficul funcției g(x) = −x + 10; punctele (3, 7) (3; 7).

g(x) = −x + 10

A rezolva sistemul și a găsi punctul comun al dreptelor sunt același lucru, privit din două părți: o dată cu calculul, o dată cu ochii, pe desen. Când o problemă îți dă un sistem, poți să-l vezi ca pe două drepte; când îți dă două drepte, poți scrie sistemul.

Pe scurt: Punctul comun al graficelor este soluția sistemului format din cele două ecuații.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.3

Pasul 4 din 4

Câte puncte comune pot avea

Pentru funcții pe tot ℝ: două drepte se pot tăia într-un punct, pot să nu se întâlnească deloc sau pot fi una și aceeași. Ghicește, din ce știi de la 2.3, care număr hotărăște: a sau b?

a diferiți

exact un punct comun: sistemul are o singură soluție

același a, b diferiți

drepte paralele, niciun punct comun: sistemul nu are soluții

același a, același b

aceeași dreaptă, toate punctele sunt comune

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −3 și 4 și y între −3 și 7; graficul funcției f(x) = x + 3; graficul funcției g(x) = x − 1.

g(x) = x − 1

Pe desen, y = x + 3 și y = x − 1 au același a = 1: urcă la fel la fiecare pas, deci rămân mereu la aceeași distanță, ca două șine. Dacă încerci ecuația, x + 3 = x − 1 dă 3 = −1, fals: nicio soluție. Două abonamente cu același preț pe ședință, dar cu taxe de înscriere diferite, nu costă niciodată la fel.

Și o atenție pentru domenii mai mici decât ℝ: se poate ca punctul în care s-ar întâlni dreptele să cadă în afara domeniilor; atunci graficele nu au niciun punct comun, deși ecuația are soluție.

Pe scurt: a diferiți: un punct comun; același a și b diferiți: paralele, niciun punct; același a și același b: aceeași dreaptă.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Fișa micro-noțiunii· Micro-noțiunea 3.3

Fișa micro-noțiunii 3.3

f(x) = g(x)afli x, apoi y = f(x). Răspunsul este perechea (x, y).

Exemplu: f(x) = 4x − 5 și g(x) = −x + 10

Egalezi

4x − 5 = −x + 10

Rezolvi

5x = 15, x = 3

Calculezi ordonata

y = f(3) = 7

✓

Punctul

(3, 7), adică soluția sistemului y = 4x − 5, y = −x + 10

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Atenție la capcane· Micro-noțiunea 3.3

Nu te opri la x: punctul are nevoie și de y. Calculează-l și verifică-l în ambele formule.
Același a și b diferiți înseamnă drepte paralele: nu se întâlnesc niciodată, iar ecuația dă ceva fals, ca 3 = −1.

De reținut:Punctul comun: rezolvi f(x) = g(x), apoi calculezi y; perechea e soluția sistemului format din cele două formule.

Întâi câteva întrebări-grilă de înțelegere, apoi 12 exerciții. Dacă te încurci, sunt chiar lângă caseta de răspuns.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 1 din 6

Graficele lui f(x) = −3x + 4 și g(x) = x − 4 se întâlnesc în punctul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 2 din 6

Coordonatele punctului comun al graficelor lui f(x) = 5x − 1 și g(x) = 2x + 8 sunt soluția:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 3 din 6

Funcțiile f, g : [0, 2] → ℝ, f(x) = 3x + 2, g(x) = −x + 14. Pe tot ℝ, dreptele s-ar întâlni în x = 3. Pe domeniul dat, graficele:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 4 din 6

Punctul (2, 9) verifică formula lui f(x) = 3x + 3 (f(2) = 9), dar nu verifică formula lui g(x) = 2x + 4 (g(2) = 8). Este (2, 9) punct comun al celor două grafice?

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 5 din 6

Dreptele y = (1/2)x + 3 și y = 0,5x − 7 au:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Întrebarea 6 din 6

Funcțiile f(x) = 2x + 6 și g(x) = 2(x + 1) + 4 au grafice care:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Grila 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Rezultatul

Grila 3.3

Corecte

0/6

Grila nu se notează. Toate: ideile s-au legat.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.1 · 1 din 12

Abscisa e deja dată, deci ai făcut deja jumătate din drum. Mai rămâne ordonata.

Cerință3.3.1 Centura albă

Graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 2 și g(x) = x + 4, se intersectează într-un punct A de abscisă 3. Calculează ordonata punctului A.

1A e pe graficul lui f. Ce știi despre ordonata unui punct de pe grafic, dacă îi cunoști abscisa?

2Pune 3 în f. Apoi, ca verificare, pune 3 și în g: trebuie să iasă același număr.

3Dacă în f și în g iese altceva, s-a strecurat o greșeală de calcul; punctul comun are o singură ordonată.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.2 · 2 din 12

Un punct e comun celor două grafice dacă verifică ambele formule. Nu rezolvi nimic: doar verifici.

Cerință3.3.2 Centura albă

Este punctul (1, 4) punctul comun al graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 1 și g(x) = −x + 5? Justifică răspunsul.

1Două teste, câte unul pentru fiecare funcție: pune 1 în locul lui x și compară cu 4.

2f(1) = 3 · 1 + 1. Cât iese? E 4?

3Dacă ambele teste dau 4, punctul e pe ambele grafice, adică e comun.

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.3 · 3 din 12

Nu calcula nimic: alege doar ecuația potrivită. Asta e toată ideea metodei.

Cerință3.3.3 Centura albă

Pentru a afla abscisa punctului în care se intersectează graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 2 și g(x) = 3x + 4, se rezolvă ecuația:

1Ce au în comun cele două grafice în punctul în care se taie: abscisa, ordonata sau amândouă?

2Dacă ordonata e aceeași, atunci f(x) = g(x). Scrie asta cu formulele date.

3Variantele B și C caută altceva: punctul în care fiecare dreaptă taie axa Ox.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.4 · 4 din 12

Același calcul ca în lecție, cu alte două drepte. De data asta e al tău. Nu te opri la x.

Cerință3.3.4 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 5. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează cele două formule: în punctul comun, f(x) = g(x).

2Adună termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă; schimbă semnul la ce treci dincolo.

3Ai aflat x. Un punct are două coordonate: pune x într-una dintre funcții și află y.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.5 · 5 din 12

Aici vezi legătura cu sistemele din clasa a VII-a: punctul comun e chiar soluția sistemului.

Cerință3.3.5 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 și g(x) = x − 4. a) Determină punctul comun al graficelor. b) Scrie sistemul de două ecuații cu două necunoscute a cărui soluție este dată de coordonatele acestui punct.

1La a), egalează formulele și rezolvă. Atenție: iese un x negativ.

2Ai aflat x? E negativ; pune-l, cu paranteze, într-una dintre formule ca să afli ordonata.

3La b), fiecare funcție se scrie ca o ecuație în x și y: y = f(x) și y = g(x). Puse una sub alta, dau sistemul.

a) punctul comun:

b) sistemul de ecuații:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

ObligatoriuExercițiul 3.3.6 · 6 din 12

Afli punctul comun, apoi îl verifici în ambele formule. Dacă iese în amândouă, nu ai cum să greșești.

Cerință3.3.6 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = x + 3 și g(x) = −2x + 9. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții și verifică rezultatul în ambele formule.

1Egalează formulele: x + 3 = −2x + 9. Termenul −2x trece dincolo ca +2x.

2Ai x = 2? Pune-l în f și află y.

3Verificarea cere să pui x = 2 și în g. Trebuie să iasă același y.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

Nucleul micro-noțiunii 3.3

Încă puțin și o stăpânești

Ai rezolvat corect 0 din 6 exerciții din nucleu. Încă 5 corecte și nucleul e al tău. Revezi întâi pasul la care te-ai împiedicat, apoi reia exercițiile acelea.

Sau alege altceva

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.7 · 7 din 12

Sistemele de două ecuații din clasa a VII-a au acum și o imagine: fiecare ecuație e o dreaptă, iar soluția e locul în care se întâlnesc.

Cerință3.3.7 Centura galbenă

Rezolvă sistemul { y = 2x − 3 ; y = −x + 6 } și interpretează geometric soluția.

1Amândouă ecuațiile îl dau pe y. Ce obții dacă egalezi cele două expresii?

2Rezolvă 2x − 3 = −x + 6, apoi află y din oricare ecuație.

3Fiecare ecuație e graficul unei funcții. Ce reprezintă atunci perechea (x, y) pe desen?

a) x =

b) y =

c) interpretarea geometrică:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.8 · 8 din 12

Una dintre funcții trece prin origine, pentru că nu are termen liber. Nu schimbă nimic la metodă.

Cerință3.3.8 Centura galbenă

Determină, prin rezolvarea unei ecuații, coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x/5 și g(x) = −2x + 12.

1Egalează: 2x/5 = −2x + 12. Fracția te încurcă? Înmulțește toată egalitatea cu 5.

2După înmulțire: 2x = −10x + 60. Adu termenii cu x în stânga.

3Ai aflat x? Pune-l în f, care e mai simplă, și află ordonata; apoi verifică și cu g.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.9 · 9 din 12

Uneori poți răspunde fără niciun calcul, doar privind formulele. Uită-te la coeficienții lui x.

Cerință3.3.9 Centura galbenă

Fără să rezolvi sistemul, precizează câte puncte comune au graficele funcțiilor f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 și g(x) = 2x − 4. Ce înseamnă acest lucru pentru sistemul { y = 2x + 1 ; y = 2x − 4 }?

1Ce au la fel cele două formule? Ce înseamnă asta pentru direcția celor două drepte?

2Două drepte cu aceeași direcție, dar care pleacă din puncte diferite de pe Oy: se întâlnesc vreodată?

3Dacă ai încerca ecuația 2x + 1 = 2x − 4, ce ar rămâne după ce scazi 2x din ambele părți?

a) numărul de puncte comune:

b) ce înseamnă pentru sistem:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.10 · 10 din 12

Două grafice în același desen. Fără niciun calcul, desenul îți spune unde se întâlnesc și când una dintre funcții e mai mică decât cealaltă.

Cerință3.3.10 Centura galbenă

În desen sunt graficele funcțiilor f, g : [0, 6] → ℝ, f(x) = x + 1 și g(x) = −x + 5. Citind de pe grafic: a) scrie coordonatele punctului comun; b) scrie mulțimea valorilor lui x pentru care f(x) < g(x).

Desen interactiv pentru exercițiu: în planul xOy, cu x între -1 și 7 și y între -2 și 8; graficele a 2 funcții.

1La a), uită-te unde se taie cele două drepte și citește coordonatele; apoi verifică-le în ambele formule.

2La b), f(x) < g(x) înseamnă „dreapta lui f e sub dreapta lui g”. Pe care parte a punctului comun se întâmplă asta?

3Nu uita domeniul [0, 6] și faptul că în punctul comun valorile sunt egale, nu mai mici.

a) punctul comun:

b) f(x) < g(x) pentru x ∈

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.11 · 11 din 12

Trei drepte. Afli unde se întâlnesc primele două, apoi verifici dacă trece și a treia pe acolo.

Cerință3.3.11 Centura galbenă

Se consideră funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4, g(x) = x + 2 și h(x) = 2x − 1. a) Determină abscisa punctului A de intersecție a graficelor funcțiilor f și g. b) Determină ordonata punctului A. c) Arată că punctul A aparține și graficului funcției h.

1La a), lucrezi doar cu f și g: egalează-le și rezolvă.

2Ai x = 3? Ordonata o iei din f sau din g; trebuie să iasă la fel.

3La c), nu rezolvi nimic nou: pune abscisa lui A în h și compară cu ordonata lui A.

a) abscisa lui A:

b) ordonata lui A:

c) arată, prin calcul, că A e și pe graficul lui h:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Exerciții· Micro-noțiunea 3.3

OpționalExercițiul 3.3.12 · 12 din 12

Încă o intersecție, cu un coeficient negativ. Egalezi, rezolvi, calculezi ordonata.

Cerință3.3.12 Centura galbenă

Se dau funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 5 și g(x) = −2x + 10. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

1Egalează formulele. Termenul −2x trece în stânga ca +2x, iar −5 trece în dreapta ca +5.

2După grupare, în stânga rămân toți termenii cu x, în dreapta un singur număr. Câți x ai în stânga și ce număr ai în dreapta? Împarte apoi la coeficientul lui x și află ordonata.

3Verifică ordonata în ambele formule: dacă diferă, revezi calculul.

a) x =

b) y =

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Opțional

Recapitularea 3.3

8 întrebări de teorie, cu explicații. Poți sări peste ea.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 1 din 8

Întrebarea 1 din 8

Ce înseamnă ca un punct să fie comun graficelor a două funcții f și g?

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 2 din 8

Întrebarea 2 din 8

Pentru a afla abscisa punctului comun al graficelor lui f și g, rezolvi ecuația:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 3 din 8

Întrebarea 3 din 8

Graficele lui f(x) = 3x − 4 și g(x) = −x + 8 se întâlnesc în punctul:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 4 din 8

Întrebarea 4 din 8

Ai rezolvat ecuația f(x) = g(x) și ai obținut x = 3. Ce mai trebuie să faci ca să scrii punctul comun?

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 5 din 8

Întrebarea 5 din 8

Punctul comun al graficelor lui f(x) = ax + b și g(x) = cx + d este, de fapt:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 6 din 8

Întrebarea 6 din 8

Dreptele y = 3x + 2 și y = 3x − 4 au:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 7 din 8

Întrebarea 7 din 8

Dreptele y = −2x + 5 și y = −2x + 5 au:

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Test de teorie 3.3 · testul 1 · întrebarea 8 din 8

Întrebarea 8 din 8

Dreptele y = x + 10 și y = 5x − 2 au coeficienți diferiți ai lui x. Câte puncte comune au?

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Recapitularea 3.3· Micro-noțiunea 3.3

Rezultatul

Recapitularea 3.3

Corecte

0/8

Toate: ideile s-au legat.

Lecția 11 › Noțiunea 3: Lecturi grafice și funcția din condiții › Micro-noțiunea 3.3: Intersecția a două grafice și sistemele de ecuații

Încheiere· Micro-noțiunea 3.3

Încheierea micro-noțiunii 3.3

Încheiere: Unde se întâlnesc două grafice

Tabla de mai jos adună toate „Pe scurt”-urile de azi într-o singură idee: punctul comun e locul unde cele două formule dau același număr, deci îl afli din ecuația f(x) = g(x) și îl scrii ca pereche; iar perechea aceea e soluția sistemului. Sala de sport: la 5 ședințe costă la fel; la stânga punctului e mai ieftină una, la dreapta cealaltă. Dreptele paralele nu se întâlnesc niciodată; cele cu același a și același b sunt una singură. Ultima din noțiune e 3.4, „Coliniaritatea a trei puncte”: trei bonuri și întrebarea dacă stau pe aceeași dreaptă.

Pe scurt

f(x) = g(x) → x; apoi y = f(x); răspunsul: (x, y)

punctul comun = soluția sistemului

același a, b diferiți: paralele

Ce știi să faci acum

afli punctul comun al celor două grafice prin calcul și îl scrii ca pereche
treci de la două drepte la un sistem și invers
spui, din a și b, câte puncte comune au două drepte
compari două oferte: de unde devine una mai avantajoasă

3.3: ★☆☆ · parcursă