2.3 · Rolul lui a și b · Lecția 11 · Matematică clasa a VIII-a

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Introducere· Micro-noțiunea 2.3

coperta

Micro-noțiunea 2.3

Introducere: Ce face a și ce face b

Lecția 11: Funcții de forma f : D → ℝ, f(x) = ax + b; interpretare geometrică; lecturi grafice

Unde suntem · Noțiunea 2, Graficul este o dreaptăGraficul e o dreaptă, dar o dreaptă poate sta în multe feluri. Aici afli că cele două numere din formulă hotărăsc totul: b spune de unde pleacă dreapta pe axa Oy, a spune încotro merge și cât de abrupt.

Ce urmează

De unde pornim

Două taxiuri cu tarife diferite

1 ecran

Întreabă-te întâi

Graficul lui f(x) = −4x + 3 taie axa Oy în punctul:

1 întrebare

Încearcă tu, înainte de regulă

Provocarea: Trage de dreaptă ca să coboare, dar să plece tot din (0, 2). Uită-te în panou ce număr se schimbă și care stă pe loc.

1 ecran

Teoria, pas cu pas

Ce spune b · Ce spune a · Când b = 0: mărimi direct proporționale · În plus față de programă Când spunem exact că valorile cresc

5 ecrane

Fișa micro-noțiunii și capcanele

b = f(0) e tăietura cu Oy; semnul lui a spune dacă dreapta urcă, coboară sau stă; b = 0 (și a ≠ 0) înseamnă mărimi direct proporționale.

2 ecrane

Grila 2.3

Întrebări de înțelegere, fără notă, cu explicație și trimitere la teorie.

6 întrebări

Exerciții

6 exerciții de nucleu; apoi încă 7, de antrenament, dacă vrei.

Recapitularea 2.3 · opțional

Test de teorie 2.3 · testul 1

8 întrebări

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Introducere· Micro-noțiunea 2.3

2.3 · De unde pornim

Ce face a și ce face b

Două taxiuri stau unul lângă altul în stație. Primul e taxiul nostru: pornire 5 lei, 2,50 lei pe kilometru. Al doilea e de la firma din enigma de la început: pornire 8 lei, 2 lei pe kilometru. Dacă le desenezi tarifele, ies două drepte care arată altfel: pleacă din locuri diferite și urcă altfel. Cine hotărăște de unde pleacă și cât de repede urcă? Cele două numere de pe portieră. Iar când ceva scade la fel în fiecare minut, ca apa dintr-o cadă care se golește, al doilea număr e negativ.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Introducere· Micro-noțiunea 2.3

Întreabă-te întâi

Graficul lui f(x) = −4x + 3 taie axa Oy în punctul:

Ghicește înainte să citești teoria. Nu contează dacă greșești.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Încearcă tu· Micro-noțiunea 2.3

Încearcă tu, înainte de regulă

Provocarea: Trage de dreaptă ca să coboare, dar să plece tot din (0, 2). Uită-te în panou ce număr se schimbă și care stă pe loc.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.3

Deschiderea

Azi învățăm: Ce face a și ce face b

Îți pun o întrebare la care, probabil, știi deja să răspunzi, doar că nu știi încă de ce. Dacă ai trecut prin explorare, ai tras de dreaptă și ai făcut-o să coboare fără să se mute de pe (0, 2); dacă ai sărit-o, închipuie-ți mișcarea asta. Ce număr se schimbă și care rămâne la locul lui?

Până acum ai aflat două lucruri despre f(x) = ax + b: cum îi calculezi valorile (1.1) și că graficul ei e o dreaptă (2.1). Dar o dreaptă poate sta în multe feluri în plan: mai sus sau mai jos, urcând sau coborând, abruptă sau aproape culcată. Cine hotărăște?

Cele două numere din formulă hotărăsc, și fiecare are treaba lui. Le luăm pe rând: întâi b, apoi a, apoi ce se întâmplă când b lipsește de tot. La sfârșit, un ecran în plus față de programă, pentru cine vrea să vadă cum se scrie exact „valorile cresc”.

1Ce spune b

2Ce spune a

3Când b = 0: mărimi direct proporționale

4În plus față de programă Când spunem exact că valorile cresc

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.3

Pasul 1 din 4

Ce spune b

Începem cu b, că e mai prietenos. Îți amintești taxiul de la început? Cei 5 lei de pe portieră îi plătești înainte ca mașina să fi mers un metru. Zero kilometri, 5 lei.

Hai să-i facem formulei exact același lucru: punem x = 0.

Proprietate

f(0) = a · 0 + b

= 0 + b

= b

Oricât ar fi a, a · 0 face 0, și rămâne doar b. Deci f(0) = b, la orice funcție de felul ăsta, fără excepție. Iar după testul de la 2.2, punctul (0, b) e pe grafic; și cum are abscisa 0, stă pe axa Oy.

Acum uită-te pe desen: trei drepte foarte diferite, una urcă, una coboară, una abia urcă. Dar toate au b = 2.

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 4 și y între −4 și 6; graficul funcției f(x) = x + 2; graficul funcției g(x) = −2x + 2; graficul funcției h(x) = 0,5·x + 2; punctele (0, 2) (0; 2).

g(x) = −2x + 2h(x) = 0,5·x + 2

Toate trec prin același punct de pe axa Oy, (0, 2). Punctul ăsta e „pornirea”. Nu-l calculezi: îl citești direct din formulă.

Pe scurt: b îți spune unde taie dreapta axa Oy: în punctul (0, b), pentru că f(0) = b. Îl citești direct din formulă, fără calcul.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.3

Pasul 2 din 4

Ce spune a

Acum a. Ca dreapta să coboare, se schimbă semnul lui a: asta ai văzut în explorare, dacă ai făcut-o, și o vezi și pe desenul de mai jos. Explicația o ai deja de la 1.1: un pas de 1 spre dreapta schimbă valoarea exact cu a: f(x + 1) − f(x) = a.

Gândește-te la o potecă pe munte: mergi spre dreapta pe axa Ox și te uiți dacă urci sau cobori. Ghicește pentru a = −1: urci sau cobori?

a > 0

la fiecare pas valoarea crește, dreapta urcă: spunem că valorile funcției cresc

a < 0

la fiecare pas valoarea scade, dreapta coboară: valorile scad

a = 0

valoarea nu se schimbă: f(x) = b, dreapta e orizontală (funcție constantă)

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −4 și 4 și y între −4 și 6; graficul funcției f(x) = 2x + 1 (a > 0); graficul funcției g(x) = −x + 1 (a < 0); graficul funcției h(x) = 1 (a = 0).

g(x) = −x + 1 (a < 0)h(x) = 1 (a = 0)

Nu doar semnul contează, ci și mărimea: cu a = 3 urci 3 unități la fiecare pas, cu a = 1/2 doar o jumătate. Cu cât a e mai departe de 0, în plus sau în minus, cu atât dreapta e mai abruptă; cu cât e mai aproape de 0, cu atât e mai culcată.

Și numele lor, ca să vorbești ca în manual și ca la examen:

Proprietate

a = coeficientul lui x: încotro merge dreapta și cât de abruptă e

b = termenul liber: unde taie dreapta axa Oy

Pe scurt: Semnul lui a spune încotro merge dreapta: urcă (a > 0, valorile cresc), coboară (a < 0, valorile scad) sau stă orizontal (a = 0). a se numește coeficientul lui x, iar b termenul liber.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Verifică-te· Micro-noțiunea 2.3

Ai văzut exemplul rezolvat. Acum unul la fel, făcut de tine. Nu se notează.

Fie f(x) = −3x + 4. Unde taie graficul axa Oy și încotro merge dreapta?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.3

Pasul 3 din 4

Când b = 0: mărimi direct proporționale

Un caz pe care îl știi de la piață, din clasa a VI-a. Să zicem că merele sunt 6 lei kilogramul: 1 kg, 6 lei; 2 kg, 12 lei; 3 kg, 18 lei. Costul e 6x, și nu e niciun termen liber: b = 0. Cât costă 0 kg? Zero. Dreapta pleacă din origine.

Acestea sunt mărimi direct proporționale: dublezi una, se dublează și cealaltă, iar raportul lor rămâne mereu același.

Legătura cu clasa a VI-a

f(x) = a · x

f(x) / x = a, pentru orice x ≠ 0

f(0) = 0: graficul trece prin O(0, 0)

Numărul a e aici chiar coeficientul de proporționalitate. Uită-te la trei astfel de drepte, toate prin origine:

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −3 și 4 și y între −4 și 7; graficul funcției f(x) = 2x; graficul funcției g(x) = 0,5·x; graficul funcției h(x) = −x; punctele O (0; 0).

g(x) = 0,5·xh(x) = −x

Acum întoarce-te la taxi, la cel cu 5 lei pornire și 2,50 lei pe kilometru, și gândește-te: 1 km costă 7,50 lei (5 + 2,50); 2 km costă 10 lei. Dublezi kilometrii, dar prețul nu se dublează. Taxa de pornire strică proporționalitatea: cum apare un b ≠ 0, mărimile nu mai sunt direct proporționale. Două curse de câte 1 km costă 15 lei; una de 2 km, 10 lei.

Pe scurt: f(x) = ax, cu a ≠ 0, descrie mărimi direct proporționale: graficul trece prin origine, iar a este coeficientul de proporționalitate; un b ≠ 0 strică proporționalitatea.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.3

Pasul 4 din 4

OpționalÎn plus față de programăNu se cere la examen; poți sări peste acest ecran fără să pierzi nimic.

Când spunem exact că valorile cresc

Ecranul ăsta nu e cerut de programă și nu se dă la examen; poți sări peste el fără să pierzi nimic. Rămâi dacă vrei să vezi cum se scrie exact, cu simboluri, „valorile cresc”, așa cum vei face la liceu.

Ideea: iau două numere oarecare din domeniu, x₁ și x₂ (ca x₀, doar că sunt două), cu primul mai mic. Dacă valoarea în primul e mai mică decât valoarea în al doilea, oricare două numere aș lua, atunci valorile cresc. Dacă e mereu mai mare, valorile scad.

În plus față de programă

oricare ar fi x₁, x₂ din domeniu:

cresc: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

scad: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

Verifică definiția pe f(x) = 2x + 1: ia x₁ = 1 și x₂ = 4; f(1) = 3 < 9 = f(4). Și merge pentru orice pereche, pentru că f(x₂) − f(x₁) = 2 · (x₂ − x₁), un număr pozitiv ori un număr pozitiv. La liceu, o astfel de funcție se numește funcție crescătoare, iar proprietatea se numește monotonie; sunt cuvinte pe care le vei folosi acolo, nu aici.

Desen interactiv: în planul xOy, cu x între −1 și 6 și y între −2 și 11; graficul funcției f(x) = 2x + 1; punctele (1, 3) (1; 3), (4, 9) (4; 9).

Pe scurt: Valorile cresc când x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), oricare ar fi x₁, x₂; pentru f(x) = ax + b asta se întâmplă exact când a > 0 (în plus față de programă).

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Fișa micro-noțiunii· Micro-noțiunea 2.3

Fișa micro-noțiunii 2.3

b = f(0)dreapta taie Oy în (0, b); semnul lui a spune încotro merge

Trei comportamente

↗

a > 0

dreapta urcă: valorile cresc când x crește

↘

a < 0

dreapta coboară: valorile scad

→

a = 0

dreapta e orizontală: funcția e constantă, f(x) = b

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Atenție la capcane· Micro-noțiunea 2.3

b îți dă punctul de pe axa Oy, nu pe cel de pe Ox. Tăietura cu Ox e alt punct, pe care îl afli la 2.4.
Semnul lui a se citește din formulă, nu din b: f(x) = −2x + 7 coboară, deși 7 e pozitiv.

De reținut:b = f(0) e tăietura cu Oy; semnul lui a spune dacă dreapta urcă, coboară sau stă; b = 0 (și a ≠ 0) înseamnă mărimi direct proporționale.

Întâi câteva întrebări-grilă de înțelegere, apoi 13 exerciții. Dacă te încurci, sunt chiar lângă caseta de răspuns.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 1 din 6

Spunem că valorile unei funcții f(x) = ax + b cresc atunci când:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 2 din 6

Numărul b din formula f(x) = ax + b îți spune unde taie dreapta axa Ox?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 3 din 6

Pentru f(x) = ax, cu a ≠ 0, raportul f(x)/x, pentru x ≠ 0, este:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 4 din 6

Dacă f(x) = ax + b cu b ≠ 0, mărimile x și f(x):

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 5 din 6

Într-o formulă f(x) = ax + b, numărul a se numește:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Întrebarea 6 din 6

Numărul b din formula f(x) = ax + b se numește:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Grila 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Rezultatul

Grila 2.3

Corecte

0/6

Grila nu se notează. Toate: ideile s-au legat.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.1 · 1 din 13

Citește cele două numere direct din formulă, apoi spune de unde pleacă dreapta pe axa Oy.

Cerință2.3.1 Centura albă

Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = −5x + 2: a) precizează valoarea coeficientului a; b) precizează valoarea termenului liber b; c) scrie punctul în care graficul funcției intersectează axa Oy.

1Pune formula dată lângă forma generală a · x + b și potrivește: cine stă în locul lui a, cine în locul lui b?

2Semnul merge împreună cu numărul: în −5x, coeficientul e −5, nu 5.

3Pe axa Oy, x este 0. Ce rămâne din formulă când x = 0?

a) a =

b) b =

c) punctul de pe axa Oy:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.2 · 2 din 13

Trei funcții, trei comportamente. Te uiți doar la semnul lui a.

Cerință2.3.2 Centura albă

Se dau funcțiile f, g, h : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 7, g(x) = −x + 3 și h(x) = 5. Pentru fiecare, precizează dacă valorile funcției cresc, scad sau rămân aceleași atunci când x crește.

1La fiecare formulă, caută numărul care îl înmulțește pe x. Semnul lui hotărăște totul.

2La g(x) = −x + 3, x e înmulțit cu −1, chiar dacă nu scrie nimic în fața lui.

3La h(x) = 5 nu apare x deloc. Cât e a atunci? Și ce face o funcție cu a = 0?

a) valorile lui f:

b) valorile lui g:

c) valorile lui h:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.3 · 3 din 13

Patru formule și un singur punct pe axa Oy. Ca să alegi, îți trebuie doar b.

Cerință2.3.3 Centura albă

Dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, singura al cărei grafic intersectează axa Oy în punctul (0, −3) este:

1Pe axa Oy, x = 0. Calculează f(0) pentru fiecare variantă: produsul dispare, rămâne un singur număr.

2Caută numărul −3 în poziția de termen liber, nu oriunde în formulă.

3La varianta D, −3 stă lângă x. Asta îl face coeficient, nu termen liber.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.4 · 4 din 13

Formula e scrisă „pe dos”, cu termenul liber în față. Pune-o în ordine și cele două întrebări se răspund singure.

Cerință2.3.4 Centura galbenă

Graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 − 3x, intersectează axa Oy în punctul P, iar valorile funcției, atunci când x crește:

1Scrie formula ca „un număr ori x, plus un număr”: 4 − 3x devine −3x + 4.

2Termenul liber e cel fără x. El dă punctul de pe Oy: (0, b).

3Coeficientul lui x e −3, cu minus. Ce face dreapta când a e negativ?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.5 · 5 din 13

Formula are înăuntru o literă necunoscută, m. Punctul de pe axa Oy ți-l dă pe m, iar m îți spune apoi încotro merge dreapta.

Cerință2.3.5 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m − 1)x + m + 5, unde m este un număr real. Graficul funcției intersectează axa Oy în punctul (0, 8). a) Determină numărul m. b) Pentru m găsit, valorile funcției cresc sau scad atunci când x crește?

1Cine e termenul liber în formula asta? Tot ce nu e lipit de x.

2Punctul (0, 8) e pe Oy, deci f(0) = 8. Dar f(0) e chiar termenul liber: ai o ecuație în m.

3După ce ai m, calculează coeficientul lui x, 2m − 1, și uită-te la semnul lui.

a) m =

b) valorile funcției:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

ObligatoriuExercițiul 2.3.6 · 6 din 13

De data asta nu primești formula, ci două informații despre ea: de unde pleacă și cu cât coboară la fiecare pas. Le traduci în a și b.

Cerință2.3.6 Centura galbenă

Despre funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(0) = −2 și că, de fiecare dată când x crește cu 1, valoarea funcției scade cu 3. a) Scrie funcția f. b) Graficul taie axa Oy deasupra sau dedesubtul originii?

1f(0) e un număr pe care îl cunoști. Ce coeficient din formulă e chiar f(0)?

2„Când x crește cu 1, valoarea scade cu 3” descrie un singur număr din formulă, cu semnul lui.

3Punctul de pe Oy e (0, b). Dacă b e negativ, unde stă punctul față de origine?

a) f(x) =

b) taie Oy deasupra sau dedesubtul originii?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

Nucleul micro-noțiunii 2.3

Încă puțin și o stăpânești

Ai rezolvat corect 0 din 6 exerciții din nucleu. Încă 5 corecte și nucleul e al tău. Revezi întâi pasul la care te-ai împiedicat, apoi reia exercițiile acelea.

Sau alege altceva

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.7 · 7 din 13

Din clasa a VI-a știi mărimile direct proporționale: dacă una se dublează, se dublează și cealaltă. Acum le recunoști printre funcțiile lecției.

Cerință2.3.7 Centura galbenă

Care dintre funcțiile de mai jos, definite pe ℝ, descrie două mărimi direct proporționale?

1Dacă dublezi x, se dublează și valoarea? Încearcă la fiecare variantă cu x = 1 și x = 2.

2La mărimi direct proporționale, graficul trece prin origine: f(0) = 0. Ce înseamnă asta pentru b?

3Ai nevoie de b = 0 și, în plus, de a ≠ 0. O singură variantă le are pe amândouă.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.8 · 8 din 13

La piață, să zicem că merele costă 6 lei kilogramul. Costul depinde de cantitate în felul cel mai simplu: de câte ori mai mult cumperi, de atâtea ori mai mult plătești.

Cerință2.3.8 Centura galbenă

Un kilogram de mere costă 6 lei. a) Scrie funcția f care dă costul, în lei, pentru x kilograme. b) Sunt costul și cantitatea mărimi direct proporționale? Răspunde cu da sau nu și spune de ce.

1Cât costă 0 kilograme? Dar 2 kilograme față de 1 kilogram?

2Nu există nicio sumă fixă care se plătește indiferent de cantitate. Ce înseamnă asta pentru b?

3Împarte costul la cantitate pentru câteva valori. Obții mereu același număr?

a) f(x) =

b) direct proporționale (da / nu):

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.9 · 9 din 13

Aici nu știi nimic despre funcție, în afară de o comparație între două valori. Totuși, poți trage o concluzie sigură.

Cerință2.3.9 Centura galbenă

Pentru funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, se știe că f(1) < f(2). Este adevărat că a > 0? Justifică.

1Scrie f(1) și f(2) cu literele a și b, apoi calculează diferența f(2) − f(1). Ce rămâne?

2Rămâne doar a. Iar f(1) < f(2) spune ceva despre semnul diferenței.

3Dacă valoarea urcă de la x = 1 la x = 2, dreapta urcă. Ce semn are a la o dreaptă care urcă?

De ce? Scrie calculul

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.10 · 10 din 13

De data asta nu există un singur răspuns bun: construiești tu un exemplu. Orice funcție care respectă ambele cerințe e corectă.

Cerință2.3.10 Centura galbenă

Dă un exemplu de funcție f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, al cărei grafic trece prin punctul (0, −3) și ale cărei valori cresc atunci când x crește.

1Două condiții, două numere de fixat. Punctul (0, −3) e pe Oy: ce îți spune despre b?

2„Valorile cresc” vorbește despre semnul lui a. Alege orice număr cu semnul potrivit.

3Verifică exemplul tău: f(0) trebuie să dea −3, iar f(1) trebuie să fie mai mare decât f(0).

f(x) =

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.11 · 11 din 13

Coeficientul lui x depinde aici de un număr necunoscut, m. Întrebarea devine o inecuație, ca la Lecția 4.

Cerință2.3.11 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (m − 3)x + 1, unde m este un număr real. Determină valorile lui m pentru care valorile funcției scad atunci când x crește.

1Cine e coeficientul lui x aici? Nu e un număr, e o expresie cu m.

2Valorile scad când coeficientul lui x e negativ. Scrie condiția ca inecuație.

3m − 3 < 0 se rezolvă ca orice inecuație de gradul I. Nu uita: 3 nu intră în soluție (acolo a = 0, funcția e constantă).

intervalul:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.12 · 12 din 13

Când ia o funcție ax + b aceeași valoare pentru orice x? Gândește-te la ce face a.

Cerință2.3.12 Centura galbenă

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (2m + 1)x + 3, unde m este un număr real. Determină m astfel încât funcția să ia aceeași valoare pentru orice x.

1O funcție care dă mereu aceeași valoare nu „simte” pe x. Ce parte a formulei trebuie să dispară?

2Partea cu x dispare când coeficientul ei e 0. Scrie 2m + 1 = 0.

3Când treci 1 dincolo, schimbă-i semnul, apoi împarte la 2. Verifică: pune m-ul găsit în 2m + 1 și vezi dacă iese 0.

răspunsul:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Exerciții· Micro-noțiunea 2.3

OpționalExercițiul 2.3.13 · 13 din 13

Două rampe pornesc din același loc. Sunt mai abrupte decât rampele adevărate, să zicem, ca să se vadă bine diferența dintre ele. Care urcă mai abrupt se vede din a, dar aici a e fracție și trebuie să compari fracții. La final afli și unde ajunge una cu 3 metri deasupra celeilalte.

Cerință2.3.13 Centura verde

Două rampe pornesc de la aceeași înălțime. Înălțimile lor, în metri, la distanța x metri de start, sunt f(x) = x/5 + 1 și g(x) = x/2 + 1, cu x număr real, x ≥ 0. a) Determină înălțimea comună de pornire. b) Care rampă urcă mai repede? Justifică. c) La ce distanță de start rampa g este cu 3 metri mai sus decât rampa f?

1Înălțimea de pornire e la x = 0. Calculează f(0) și g(0).

2La b), compară 1/5 cu 1/2 aducându-le la același numitor. Nu te lua după numitorul mai mare.

3La c), diferența g(x) − f(x) trebuie să fie 3: x/2 − x/5 = 3. Numitorul comun e 10.

a) înălțimea comună de pornire (m):

b) care rampă urcă mai repede și de ce:

c) distanța la care g e cu 3 m mai sus (m):

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Opțional

Recapitularea 2.3

8 întrebări de teorie, cu explicații. Poți sări peste ea.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 1 din 8

Întrebarea 1 din 8

Pentru f(x) = −4x + 3, cât este f(0)?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 2 din 8

Întrebarea 2 din 8

Punctul în care graficul lui f(x) = −4x + 3 taie axa Oy este:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 3 din 8

Întrebarea 3 din 8

Trei funcții diferite au toate b = 5. Ce au în comun graficele lor?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 4 din 8

Întrebarea 4 din 8

Dacă a > 0 pentru f(x) = ax + b, graficul:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 5 din 8

Întrebarea 5 din 8

Dacă a < 0, graficul lui f(x) = ax + b:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 6 din 8

Întrebarea 6 din 8

Dacă a = 0, funcția f(x) = ax + b devine:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 7 din 8

Întrebarea 7 din 8

Comparând f(x) = 6x + 1 cu g(x) = x + 1, care dintre drepte este mai abruptă?

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Test de teorie 2.3 · testul 1 · întrebarea 8 din 8

Întrebarea 8 din 8

Pentru f(x) = ax, cu b = 0, graficul trece prin:

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Recapitularea 2.3· Micro-noțiunea 2.3

Rezultatul

Recapitularea 2.3

Corecte

0/8

Toate: ideile s-au legat.

Lecția 11 › Noțiunea 2: Graficul este o dreaptă › Micro-noțiunea 2.3: Ce face a și ce face b

Încheiere· Micro-noțiunea 2.3

Încheierea micro-noțiunii 2.3

Încheiere: Ce face a și ce face b

Trei lucruri știi acum și nu știai la început: b e pornirea, punctul (0, b) de pe axa Oy, citit direct din formulă; semnul lui a spune dacă dreapta urcă, coboară sau stă; iar când b lipsește (și a nu e 0), ai mărimi direct proporționale și dreapta trece prin origine. Dacă ai făcut explorarea, întoarce-te o clipă la ea: ai coborât dreapta schimbând semnul lui a și ai ținut-o pe (0, 2) lăsând b în pace; acum știi de ce a mers. Dacă ai sărit-o, regula de mai sus îți spune dinainte ce ai fi văzut. Următoarea e 2.4, „Unde taie graficul axele de coordonate”: punctul de pe Oy îl ai; îl căutăm și pe cel de pe Ox.

Pe scurt

b = f(0): dreapta taie Oy în (0, b)

a > 0 urcă · a < 0 coboară · a = 0 orizontală

b = 0, a ≠ 0: f(x) = ax, mărimi direct proporționale, prin O

Ce știi să faci acum

citești din formulă unde taie dreapta axa Oy și încotro merge
potrivești o formulă cu desenul ei (și invers) după b și după semnul lui a
recunoști mărimile direct proporționale: b = 0, graficul prin origine
folosești numele „coeficientul lui x” și „termenul liber”

2.3: ★☆☆ · parcursă