Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
coperta
Teoria
Teoria lecției, povestită
- Șapte ecrane în care îți povestesc toată lecția pe scurt: prisma, numărătoarea, familiile, cutia, zarul, desfășurarea și prismele din jur.
- Șapte ecrane și o tablă cu tot drumul; fiecare are un corp 3D pe care îl tragi cu mâna ta.
- aproximativ 8 ecrane
Începe povestea
Ce faci aici: Alegi: începi povestea sau spui „Știu deja”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 1 din 7
Prisma
Două capace la fel și pereți drepți
Uită-te la teancul de foi de pe birou. Prima foaie și ultima sunt la fel, iar marginile teancului stau drepte. Este cel mai simplu model de prismă dreaptă.
Cele două foi de la capete sunt bazele: poligoane la fel, în plane paralele. Marginile drepte sunt fețele laterale, adică dreptunghiuri.
În scenă e o prismă cu baza triunghi. Trage de A′ în sus și ghicește înainte: ce se schimbă și ce rămâne la fel?
Doar înălțimea crește: bazele rămân aceleași, iar pereții se lungesc. Înălțimea este chiar lungimea unei muchii laterale, pentru că pereții stau drepți pe baze.
Colțurile se numesc vârfuri și le dăm litere: A, B, C jos și A′, B′, C′ sus. Pe larg le vedem la noțiunea 1.
Într-o propoziție, pe tablă:
Prisma
prismă dreaptă: două baze congruente în plane paralele + fețe laterale dreptunghiuri
înălțimea h = lungimea unei muchii laterale
Pe scurt: Prisma dreaptă are două baze congruente în plane paralele și fețe laterale dreptunghiuri; înălțimea ei este lungimea unei muchii laterale.
Ce faci aici: Tragi de A′ în sus și vezi ce se schimbă la prismă și ce rămâne la fel.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 2 din 7
Numărătoarea
Câte are?
O cutie de pantofi are 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe. Un creion hexagonal are alte numere. Să vedem de ce nu e o întâmplare.
Dacă baza are n laturi, vârfurile sunt n jos și n sus, deci 2n. Muchiile sunt n jos, n sus și n laterale, deci 3n.
Iar fețele sunt n pereți și două baze, deci n + 2. Aplică acum formulele pentru prisma cu baza pentagon: cu n = 5, câte vârfuri, muchii și fețe iese? Calculează înainte să schimbi ceva în scenă.
Schimbă n în scenă și urmărește cele trei numere din legendă. La creionul hexagonal, n = 6: 12 vârfuri, 18 muchii, 8 fețe. La cutia de pantofi, n = 4: 8, 12 și 6.
Observă că n hotărăște totul. Dacă îți spun câte vârfuri are o prismă, afli imediat câte laturi are baza.
Numărătoarea, pe tablă:
Numărătoarea
baza cu n laturi
vârfuri: 2n · muchii: 3n · fețe: n + 2
Pe scurt: Dacă baza are n laturi, prisma dreaptă are 2n vârfuri, 3n muchii și n + 2 fețe.
Ce faci aici: Aplici formulele pentru prisma cu baza pentagon, apoi schimbi n în scenă și verifici.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 3 din 7
Familiile
Familii de prisme
Prismele se numesc după baza lor: triunghiulară, patrulateră, hexagonală. Cortul din excursie e o prismă triunghiulară, creionul una hexagonală, cutia de pantofi una patrulateră.
Când baza e un poligon regulat, adică are toate laturile și toate unghiurile egale, prisma se numește regulată. Atunci pereții ei sunt dreptunghiuri congruente.
Acum așază-le în familii, ca pe niște cutii puse una în alta. În cea mai mare: prismele drepte. În ea: prismele patrulatere drepte. În ea: paralelipipedele dreptunghice. În cea mai mică: cubul.
Deci orice cub este și paralelipiped dreptunghic, și prismă patrulateră dreaptă, și prismă dreaptă. Ghicește: și invers?
Nu merge invers. O cutie obișnuită nu e cub, decât dacă toate trei dimensiunile ei sunt egale.
Diagrama, pe tablă:
Familiile
cub ⊂ paralelipiped dreptunghic ⊂ prismă patrulateră dreaptă ⊂ prismă dreaptă
prismă regulată: baza e poligon regulat
Pe scurt: Prismele se numesc după bază; prisma regulată are baza poligon regulat; cubul este inclus în paralelipipedul dreptunghic, acesta în prisma patrulateră dreaptă, iar aceasta în prisma dreaptă.
Ce faci aici: Spui dacă orice paralelipiped dreptunghic este cub, înainte să afli răspunsul.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 4 din 7
Cutia
Cutia: paralelipipedul dreptunghic
Cutia obișnuită se descrie cu trei numere: lungimea, lățimea și înălțimea, adică a, b și c. Are șase fețe dreptunghiuri, în trei perechi.
Mai interesantă e diagonala cutiei: din colțul de jos în colțul opus de sus, prin interior. Cât de lung e cel mai lung băț care încape într-o cutie?
Ia o cutie de 3, 4 și 12. Mai întâi diagonala bazei, cu Pitagora: √(3² + 4²) = 5. Apoi, din nou Pitagora, între ea și înălțimea de 12: √(5² + 12²) = 13.
Într-o formulă: d² = a² + b² + c². Pentru unghiul drept dintre înălțime și diagonala bazei, acceptăm acum ce se vede cu ochii; demonstrația vine la Lecția 21.
Containerul din port, de 6,06 × 2,44 × 2,59 m, are pe dinafară diagonala de aproximativ 7,03 m, mai lungă decât el. Trage de mânere în scenă și urmărește cum se schimbă diagonala.
Formula și precizarea ei, pe tablă:
Cutia
paralelipiped dreptunghic: dimensiunile a, b, c
diagonala corpului: d² = a² + b² + c²
acceptăm acum unghiul drept; îl demonstrăm la Lecția 21
Pe scurt: Paralelipipedul dreptunghic are dimensiunile a, b, c, iar diagonala lui este d = √(a² + b² + c²); unghiul drept folosit în deducere se acceptă acum și se demonstrează la Lecția 21.
Ce faci aici: Tragi de mânerele lui a, b și c și urmărești cum se schimbă diagonala corpului.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 5 din 7
Cubul
Zarul: cubul
Zarul și cubul Rubik sunt cutii cu toate cele trei dimensiuni egale. Un singur număr, a, îți spune totul despre ele.
Pune formulele cutiei pe cub: diagonala unei fețe este √(a² + a²) = a√2, iar diagonala cubului este √(a² + a² + a²) = a√3.
Pentru muchia de 4 ies 4√2 ≈ 5,66 și 4√3 ≈ 6,93. Atinge cele două diagonale în scenă și compară cu ce ai calculat.
La cubul Rubik, de aproximativ 5,7 cm, diagonala unei fețe este ≈ 8,06 cm, iar a cubului ≈ 9,87 cm.
Se poate și invers: dacă îți spun diagonala, afli muchia. Dacă diagonala unui cub este 12, atunci a = 12 : √3 = 4√3 ≈ 6,93.
Cele două diagonale ale cubului, pe tablă:
Cubul
cub: a = b = c
diagonala feței: a√2 · diagonala cubului: a√3
din diagonala feței: a = d : √2 · din diagonala cubului: a = d : √3
Pe scurt: Cubul cu muchia a are diagonala feței a√2 și diagonala cubului a√3; din diagonală afli muchia împărțind la √2, respectiv la √3.
Ce faci aici: Atingi diagonala feței și diagonala cubului și le compari cu muchia, în legendă.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 6 din 7
Desfășurarea
Cutia desfăcută
Să ne întoarcem la cutia de carton de la începutul lecției, desfăcută pe masă. Trage cursorul de sub scenă de la 0 la 100 % și privește cum se desface.
Ce rămâne pe masă se numește desfășurarea cutiei. Patru dintre pereți formează o bandă, iar fundul și capacul sunt lipite de ea.
Banda are lungimea egală cu perimetrul bazei și lățimea egală cu înălțimea. Pentru cutia de 4 × 3 × 5 din scenă iese 14 × 5.
Nu orice figură cu șase pătrate se pliază într-un cub. Cubul are mai multe desfășurări, dar nu oricare șase pătrate sunt una dintre ele, și vei învăța să le alegi prin pliere.
Cu desfășurarea afli și drumul cel mai scurt pe o cutie: o furnică ce merge dintr-un colț în colțul opus are un drum drept, pe hârtia desfăcută.
Desfășurarea, pe scurt, pe tablă:
Desfășurarea
desfășurare = corpul tăiat pe muchii și întins
banda laterală: perimetru × h
drumul cel mai scurt pe suprafață: segment pe desfășurare
Pe scurt: Desfășurarea unei prisme are două baze și banda laterală, cu lungimea egală cu perimetrul bazei și lățimea egală cu h; drumul cel mai scurt pe suprafață este un segment pe desfășurare.
Ce faci aici: Tragi cursorul de desfășurare de la 0 la 100 % și citești dimensiunile benzii.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
pasul 7 din 7
În jurul tău
Prismele din jur și drumul lecției
Acum că le știi, privește prin casă: cutia de cereale, bateria, acvariul, creionul, cortul. Poți spune ce prismă e fiecare, după bază.
Mai poți și măsura: alegi unitatea potrivită, milimetri pentru cărămidă, metri pentru bloc, și calculezi diagonala, banda, drumul. La urmă poți și construi: o cutie de carton, desenată la scară.
Asta este tot drumul lecției: o prismă dreaptă; apoi două prisme speciale, cutia și zarul; apoi le tăiem și le întindem; și, în sfârșit, le căutăm în jurul tău.
Acum o luăm de la capăt, dar pe îndelete, noțiune cu noțiune, cu exerciții după fiecare. Mai întâi, o privire de sus asupra a tot ce ai văzut.
Ce ți-a rămas în minte din povestea asta? Citește rândurile de pe tablă și vezi dacă le recunoști.
În jurul tău
recunoști prisma după bază
alegi unitatea și citești dimensiunile
construiești din carton, la scară
Pe scurt: Recunoști prisma după bază, alegi unitatea potrivită, citești dimensiunile și construiești din carton, la scară.
Ce faci aici: Spui ce prismă e fiecare obiect din casă, după baza lui.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Teoria lecției· Lecția 15
încheierea
Pe scurt
Tot drumul, într-o privire
Ai ajuns la capătul poveștii. Uită-te la tabla de mai jos: cele șapte idei pe care le-ai întâlnit, în ordine.
Tot drumul
prismă dreaptă: două baze congruente în plane paralele; fețe laterale dreptunghiuri; h = muchia laterală
baza cu n laturi: 2n vârfuri · 3n muchii · n + 2 fețe
prismele se numesc după bază; regulată = baza poligon regulat; cub ⊂ paralelipiped ⊂ prismă patrulateră dreaptă ⊂ prismă dreaptă
paralelipiped dreptunghic: d² = a² + b² + c² (unghiul drept îl acceptăm acum)
cub: diagonala feței a√2, diagonala cubului a√3
desfășurare: 2 baze + banda (perimetru × h); se pliază dacă laturile tăiate au pereche și nimic nu se suprapune
prisme în jur: recunoști după bază, alegi unitatea, construiești la scară
Dacă una dintre ele nu-ți mai spune nimic, nu-i nimic: o luăm pe larg la noțiunea ei. Atinge rândul respectiv și revezi ecranul din care vine.
Dacă toate ți se par limpezi, urmează o grilă scurtă: câteva întrebări de înțelegere, fără calcule.
Ești gata să vezi ce ai ținut minte?
Pe scurt: Cele șapte idei ale lecției: prisma, numărătoarea, familiile, cutia, cubul, desfășurarea și prismele din jur.
Ce faci aici: Citești tabla: tot drumul lecției, rând cu rând.
Ai văzut toată lecția, pe scurt. Acum o grilă de câteva întrebări de înțelegere, ca să vezi ce ai ținut minte.