Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Introducere· Noțiunea 2
Teoria
Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Cutia și zarul: dimensiuni, fețe, diagonale, cu Pitagora și cu o formulă pe care o vezi pe corp.
- Teoria noțiunii, în patru ecrane, apoi grila noțiunii și cele două micro-noțiuni, fiecare cu exercițiile ei.
- Patru ecrane de teorie; „Știu deja” te duce direct la grilă.
- aproximativ 4 ecrane
- 2.1 Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
- 2.2 Cubul
Începe teoria noțiunii 2
Ce faci aici: Alegi: începi teoria noțiunii sau spui „Știu deja”.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Teoria noțiunii 2· Noțiunea 2
pasul 1 din 4
Cutia
Cutia: fețe și dimensiuni
Noțiunea 2 se uită la cele două prisme pe care le ai în casă de când te știi: cutia și zarul. Începem cu cutia, numită matematic paralelipiped dreptunghic.
E o prismă dreaptă cu baza dreptunghi, cum ai văzut la 1.2. Are 6 fețe, toate dreptunghiuri, în trei perechi de fețe opuse congruente, 12 muchii și 8 vârfuri.
Ca să spui cât de mare e, ajung trei numere: dimensiunile ei a, b și c, muchiile care pornesc din același vârf: lungimea, lățimea, înălțimea.
Trage de cele trei mânere în scenă. Ghicește înainte: când schimbi doar a, câte fețe își schimbă dimensiunile?
Patru: cele care au latura a. Celelalte două, cu dimensiunile b × c, rămân neatinse.
Containerul de port și cărămida sunt cutii de același fel: containerul de 6,06 × 2,44 × 2,59 m, cărămida de 240 × 115 × 63 mm. Ce rămâne pe tablă:
Cutia
6 fețe în 3 perechi congruente
dimensiuni a, b, c = muchii dintr-un vârf
8 vârfuri · 12 muchii · 6 fețe
Pe scurt: Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe dreptunghiuri în 3 perechi congruente, 12 muchii și 8 vârfuri, și se descrie prin dimensiunile a, b, c.
Ce faci aici: Ghicești câte fețe își schimbă dimensiunile când tragi doar de a, apoi verifici în scenă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Teoria noțiunii 2· Noțiunea 2
pasul 2 din 4
Diagonalele
Diagonalele cutiei
Pune o riglă pe un perete, de la un colț la colțul opus: ai o diagonală a feței. Pune un băț în cutie, din colțul de jos până în colțul opus de sus: ai diagonala corpului.
Diagonala feței cu laturile x și y se află cu Pitagora: d = √(x² + y²). La fața 3 × 4 iese 5.
Diagonala corpului pune încă un triunghi dreptunghic peste cel dintâi, cu diagonala bazei și cu înălțimea c. De aceea: d² = a² + b² + c².
Unghiul drept dintre înălțime și diagonala bazei se vede în cutie. Îl acceptăm acum, iar demonstrația lui vine la Lecția 21.
Pentru 3, 4 și 12: d = √(9 + 16 + 144) = 13. Cutia are patru diagonale, toate congruente: formula nu depinde de colțul din care pornești.
Formulele și precizarea, pe tablă:
Diagonalele
diagonala feței: √(x² + y²)
diagonala corpului: d² = a² + b² + c²
cele 4 diagonale sunt congruente
acceptăm acum unghiul drept; îl demonstrăm la Lecția 21
Pe scurt: Diagonala unei fețe este √(x² + y²), iar diagonala paralelipipedului este √(a² + b² + c²); cele patru diagonale sunt congruente, iar unghiul drept folosit se demonstrează la Lecția 21.
Ce faci aici: Atingi diagonala feței și diagonala corpului și citești valorile din legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Teoria noțiunii 2· Noțiunea 2
pasul 3 din 4
Cubul
Zarul: cubul
Cubul este cutia cu toate dimensiunile egale: a = b = c. Un singur număr descrie zarul sau cubul Rubik, care are muchia de aproximativ 5,7 cm.
Are 6 fețe pătrate congruente, 12 muchii egale și 8 vârfuri. Toate diagonalele fețelor sunt congruente, la fel și cele patru diagonale ale cubului.
Pune a în loc de x și de y în formula diagonalei feței: d = √(a² + a²) = a√2. Ghicește acum diagonala cubului, înainte să citești mai departe.
La cub, a = b = c, deci pui a de trei ori: d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3. Atinge cele două diagonale în scenă, la a = 4: 4√2 ≈ 5,66 și 4√3 ≈ 6,93.
Ordinea e mereu aceeași: a < a√2 < a√3, adică muchia, diagonala feței, diagonala cubului.
Cubul, pe tablă:
Cubul
cub: a = b = c
diagonala feței: a√2 · diagonala cubului: a√3
Pe scurt: Cubul cu muchia a are 6 fețe pătrate congruente; diagonala unei fețe este a√2, iar diagonala cubului este a√3.
Ce faci aici: Atingi cele două diagonale ale cubului din scenă și le compari cu muchia.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Teoria noțiunii 2· Noțiunea 2
pasul 4 din 4
Drumul invers
Până acum aveai dimensiunile și căutai diagonala. Se poate și invers: ai diagonala și cauți o dimensiune.
La paralelipiped pornești de la d² = a² + b² + c² și scoți c² = d² − a² − b². Un băț de 11 dm încape la limită într-o cutie cu baza de 2 × 6 dm: c² = 121 − 4 − 36 = 81, deci c = 9 dm.
La cub e și mai simplu: a = d : √3. Pentru d = 12 iese a = 12 : √3 = 4√3 ≈ 6,93; ca să scapi de radical de la numitor, amplifici cu √3.
Verifică în scenă: pune dimensiunile 2, 6 și 9 și citește diagonala. Ghicește înainte: iese 11?
Drumul invers, pe tablă:
Drumul invers
paralelipiped: c² = d² − a² − b²
cub: a = d : √3 · din diagonala feței: a = d : √2
Pe scurt: Din diagonală și două dimensiuni afli a treia, din c² = d² − a² − b²; la cub, a = d : √3.
Ce faci aici: Calculezi înălțimea unei cutii din diagonală, apoi verifici în scenă.