Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Introducere· Micro-noțiunea 2.1
coperta
Teoria
Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
- Prima micro-noțiune din Noțiunea 2, „Paralelipipedul dreptunghic și cubul”: cutia obișnuită, cu dimensiunile și diagonalele ei.
- Un container maritim de douăzeci de picioare măsoară pe dinafară 6,06 m pe 2,44 m pe 2,59 m, iar o cărămidă plină, 240 pe 115 pe 63 mm.
- Mai întâi tragi de dimensiunile cutiei și vezi cum se schimbă diagonala; apoi cinci ecrane în care calculăm, pas cu pas, ce ai văzut.
- aproximativ 13 ecrane
Ce faci aici: Ghicești dacă diagonala bate lungimea, înainte să tragi în scenă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Introducere· Micro-noțiunea 2.1
De unde pornim
2.1 · De unde pornim
Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Hai să pornim de la lucruri mari și de la lucruri mici. Un container maritim obișnuit, cel de douăzeci de picioare, măsoară pe dinafară 6,06 m lungime, 2,44 m lățime și 2,59 m înălțime.
O cărămidă plină are, la formatul standard, 240 mm, 115 mm și 63 mm. Două lucruri atât de diferite ca mărime și totuși același fel de corp: o cutie cu șase pereți dreptunghiulari.
Ai văzut la micro-noțiunea 1.2 că o cutie ca asta e o prismă patrulateră dreaptă, cu baza dreptunghi. Acum o privim de aproape, cu dimensiunile ei.
Să zicem că vrei să bagi în container un stâlp lung și drept. Pe lungime încape unul de 6 metri. Dar îl poți înclina și pune pe diagonală, dintr-un colț de jos în colțul opus de sus.
Ghicește: pe diagonală încape un stâlp mai lung decât pe lungime, mai scurt sau la fel? Răspunsul îl vezi imediat, trăgând de o cutie din scenă.
Ce faci aici: Ghicești dacă pe diagonală încape un stâlp mai lung decât pe lungime.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Introducere· Micro-noțiunea 2.1
Întreabă-te întâi
Întreabă-te întâi
Într-un triunghi dreptunghic, catetele au 5 și 12. Ipotenuza are:
Ghicește înainte să citești teoria. Nu contează dacă greșești.
Ce faci aici: Alegi varianta care ți se pare corectă și apeși „Verifică”.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Încearcă tu· Micro-noțiunea 2.1
Trage de dimensiuni și urmărește diagonala
Uită-te la cutia din scenă: trei dimensiuni, a și b la bază, iar în sus c, înălțimea (în panou scrie h). Segmentul aprins, din colțul de jos până în colțul opus de sus, este diagonala cutiei.
Înainte să atingi ceva, ghicește: dacă mărești doar înălțimea, diagonala crește sau scade?
Acum trage de mânerul înălțimii și urmărește numărul din legendă; apoi trage de celelalte două mânere, pe rând. Schimbă câte una odată, ca să vezi ce face fiecare.
Nu-ți spun încă regula. Ține minte doar ce vezi în legendă, sub radical, pentru valorile de acum.
Provocarea: Fixează a = 3, b = 4 și înălțimea 12, apoi citește diagonala.
Ce faci aici: Tragi de a, b și c și urmărești cum se schimbă diagonala în legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
deschiderea
Predarea teoriei · deschiderea
Cutia, piesă cu piesă
Ai tras, ai citit, ai ghicit. Acum luăm cutia în ordine: fețele, dimensiunile, diagonala unei fețe și, în sfârșit, diagonala întregii cutii.
Formula ai văzut-o la teoria noțiunii; aici o verifici singur și afli de unde vine.
Cinci ecrane: cele șase fețe în trei perechi, dimensiunile a, b și c, diagonala feței cu Pitagora, diagonala corpului și, la urmă, cele patru diagonale ale cutiei cu drumul invers.
Dacă toate astea ți-s limpezi, spune „Știu deja” și treci direct la grilă. Dacă nu, începem cu primul ecran.
Ce faci aici: Alegi: începi cu primul ecran sau spui „Știu deja”.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
pasul 1 din 5
Cele șase fețe, în trei perechi
Ia cutia de pantofi și așaz-o pe masă. Numără pereții ei: sus, jos, față, spate, stânga, dreapta. Șase în total, și toți sunt dreptunghiuri.
Atinge acum, în scenă, fața de sus, apoi pe cea de jos, și compară dimensiunile din legendă. Ghicește înainte: ies la fel sau diferite?
La fel: fața de sus și cea de jos se potrivesc exact. Același lucru se întâmplă cu fața din față și cea din spate, și cu cele două laterale.
Deci cele șase fețe se grupează în trei perechi de dreptunghiuri congruente, câte două. Îți vine să crezi că într-o cutie sunt doar trei feluri de pereți?
Mai e un amănunt: în fiecare colț se întâlnesc trei pereți, câte unul din fiecare pereche. Pune degetul pe un colț al cutiei tale și verifică.
Dacă vrei să rămână din ecranul ăsta un singur lucru, să fie ăsta:
Fețele
paralelipiped dreptunghic: 6 fețe dreptunghiuri
trei perechi de fețe opuse, congruente
în fiecare vârf se întâlnesc 3 fețe, câte una din fiecare pereche
Pe scurt: Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe dreptunghiuri, în trei perechi de fețe opuse congruente; are 12 muchii și 8 vârfuri.
Ce faci aici: Atingi fața de sus, apoi pe cea de jos, și compari dimensiunile lor din legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
pasul 2 din 5
Dimensiunile a, b, c
Cum spui cuiva cât de mare e cutia ta? Nu-i dai șase numere, ci trei: lungimea, lățimea și înălțimea.
Acestea sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului dreptunghic. Le notăm a, b și c: sunt muchiile care pornesc din același vârf.
Uită-te la containerul de la început: a = 6,06 m, b = 2,44 m, c = 2,59 m. Trei numere, și știi tot despre el.
Acum trage de mânerul lui a, apoi de al lui b. Ghicește înainte: câte fețe își schimbă dimensiunile când tragi doar de a?
Patru: cele care au latura a. Celelalte două, cu dimensiunile b × c, rămân neatinse. Dimensiunile sunt independente: le poți alege cum vrei.
Pe tablă, ce merită păstrat:
Dimensiunile
dimensiunile: a, b, c (muchiile dintr-un vârf)
cele 12 muchii: câte 4 de fiecare dimensiune
fețele: dreptunghiuri a × b, a × c, b × c
Pe scurt: Un paralelipiped dreptunghic se descrie prin dimensiunile a, b, c; are câte 4 muchii de fiecare dimensiune, iar fețele sunt dreptunghiuri a × b, a × c, b × c.
Ce faci aici: Tragi de mânerul lui a, apoi de al lui b, și vezi ce fețe își schimbă dimensiunile.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
pasul 3 din 5
Diagonala unei fețe
Pune o riglă pe fața de sus a cutiei, de la un colț la colțul opus: ai trasat o diagonală a feței. Fața e un dreptunghi, iar diagonala unui dreptunghi știi să o calculezi.
Ia fața de jos, cu laturile a = 3 și b = 4. Diagonala ei o împarte în două triunghiuri dreptunghice cu catetele 3 și 4. Ghicește ipotenuza, apoi calculeaz-o.
Cu teorema lui Pitagora: d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, deci diagonala are 5. Atinge diagonala trasată în scenă și vezi că legenda scrie același număr.
La fața cu dimensiunile 3 și 12 iese √(9 + 144) = √153 = 3√17 ≈ 12,37. Radicalul rămâne scris exact, iar lângă el pui valoarea aproximativă.
Rețeta e aceeași pentru orice față: pătratele celor două laturi, adunate, apoi rădăcina pătrată. O refolosești imediat, la ecranul următor.
Rețeta, pe tablă:
Diagonala feței
diagonala feței cu laturile x și y: d = √(x² + y²)
exemplu: x = 3, y = 4 ⇒ d = 5
Pe scurt: Diagonala unei fețe dreptunghiulare cu laturile x și y este d = √(x² + y²), prin teorema lui Pitagora.
Ce faci aici: Atingi diagonala feței din scenă și citești valoarea ei în legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Verifică-te· Micro-noțiunea 2.1
Verifică-te
Ai văzut exemplul rezolvat. Acum unul la fel, făcut de tine. Nu se notează.
O față a unei cutii are laturile de 9 și de 12. Cât este diagonala ei?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
pasul 4 din 5
Diagonala corpului: d² = a² + b² + c²
Acum diagonala întregii cutii: din colțul A de jos până în colțul C′ de sus, prin interior. În scenă e segmentul aprins.
Uită-te la triunghiul ACC′: AC e diagonala bazei, CC′ e muchia verticală, iar AC′ e diagonala corpului.
Muchia verticală stă dreaptă pe baza cutiei, deci face unghi drept cu diagonala bazei AC. Acceptăm acum acest lucru, pentru că se vede cu ochii; îl demonstrăm la Lecția 21.
Dacă triunghiul ACC′ are unghi drept în C, folosim din nou Pitagora: AC′² = AC² + CC′². Iar AC² = a² + b², din ecranul trecut.
Le punem cap la cap: AC′² = a² + b² + c². Diagonala cutiei este rădăcina sumei pătratelor celor trei dimensiuni.
La cutia de 3, 4 și 12, ghicește întâi: iese un număr întreg sau un radical? Apoi calculează: d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Întreg, exact ca în explorare.
Scris pe tablă, cu tot cu precizare:
Diagonala corpului
d² = a² + b² + c²
d = √(a² + b² + c²)
acceptăm acum unghiul drept; îl demonstrăm la Lecția 21
Pe scurt: Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile a, b, c este d = √(a² + b² + c²); unghiul drept folosit în deducere îl acceptăm acum și îl demonstrăm la Lecția 21.
Ce faci aici: Ghicești dacă diagonala cutiei de 3, 4 și 12 iese număr întreg sau radical, apoi calculezi.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Verifică-te· Micro-noțiunea 2.1
Verifică-te
Încă unul, tot pentru tine. Nu se notează.
O cutie are dimensiunile 2, 3 și 6. Cât este diagonala ei?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 2.1
pasul 5 din 5
Cele patru diagonale; drumul invers
O cutie are patru diagonale, câte una din fiecare colț de jos în colțul opus de sus: AC′, BD′, CA′ și DB′. Ghicește: sunt la fel de lungi?
Da, sunt congruente: formula nu depinde de colțul din care pornești, doar de cele trei dimensiuni. Toate patru se întâlnesc în centrul cutiei.
Acum drumul invers. Un băț de 11 dm încape la limită, pe diagonală, într-o cutie cu baza de 2 dm × 6 dm. Cât de înaltă este cutia?
Pornește de la formulă: 11² = 2² + 6² + c². Calculează ce ai nevoie și spune-mi c.
121 = 4 + 36 + c², deci c² = 81 și c = 9. Verifică în scenă: pentru 2, 6 și 9, legenda dă diagonala 11.
Rețeta drumului invers: scazi pătratele dimensiunilor cunoscute din pătratul diagonalei, iar la sfârșit iei rădăcina pătrată.
Pașii drumului invers, pe tablă:
Drumul invers
cele 4 diagonale ale cutiei sunt congruente
a treia dimensiune: c² = d² − a² − b²
exemplu: d = 11, a = 2, b = 6 ⇒ c = 9
Pe scurt: Cele patru diagonale ale paralelipipedului dreptunghic sunt congruente; dacă știi diagonala și două dimensiuni, a treia se află din c² = d² − a² − b².
Ce faci aici: Calculezi înălțimea unei cutii din diagonală și din dimensiunile bazei.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Fișa micro-noțiunii· Micro-noțiunea 2.1
Fișa micro-noțiunii 2.1
paralelipiped dreptunghic→ 6 fețe în 3 perechi · dimensiunile a, b, c · diagonala feței √(x² + y²) · diagonala corpului d² = a² + b² + c²
dimensiunia, b, c: muchiile care pornesc din același vârf
fețe opusedouă fețe congruente, fără nicio muchie comună
diagonala fețeisegmentul dintre două vârfuri opuse ale unei fețe
diagonala corpuluisegmentul dintre un vârf de jos și vârful opus de sus, prin interior
muchielocul în care se întâlnesc două fețe
Exemplu: cutia de 3, 4 și 12
a, b, c
Dimensiunile
3, 4 și 12
AC
Diagonala bazei
√(3² + 4²) = 5
AC′
Diagonala corpului
√(3² + 4² + 12²) = 13
De reținut:
- Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe dreptunghiuri, în trei perechi, și se descrie prin dimensiunile a, b, c.
- Diagonala unei fețe cu laturile x și y este √(x² + y²).
- Diagonala corpului este d = √(a² + b² + c²); unghiul drept folosit în deducere se acceptă acum și se demonstrează la Lecția 21.
- Cele patru diagonale sunt congruente; din diagonală și două dimensiuni afli a treia.
Ce faci aici: Citești fișa: ideea, termenii și cazurile, rând cu rând.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Atenție la capcane· Micro-noțiunea 2.1
Atenție la capcane
!
- Diagonala corpului nu este suma dimensiunilor: pentru 3, 4 și 12 suma este 19, dar diagonala este 13. Se adună pătratele, apoi se ia rădăcina.
- Rădăcina nu se ia pe bucăți: √(9 + 16) este 5, nu 3 + 4 = 7. Mai întâi aduni pătratele, abia apoi scoți rădăcina din tot.
- Diagonala feței și diagonala corpului nu sunt același lucru: prima stă pe un perete, a doua trece prin interiorul cutiei.
Ce faci aici: Citești capcanele și unde se întâmplă ele de obicei.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
coperta
Grila
Grila: verifică ce ai înțeles
- Cinci întrebări de înțelegere, fără calcule, cu explicație după fiecare răspuns și trimitere la ecranul potrivit.
- Cinci ecrane; recapitularea, opțională, are încă o serie de întrebări.
- aproximativ 14 ecrane
Începe grila
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 1 din 5
Grila 2.1 · întrebarea 1 din 5
Ce fețe are un paralelipiped dreptunghic?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 2 din 5
Grila 2.1 · întrebarea 2 din 5
Ce sunt dimensiunile a, b, c ale unui paralelipiped dreptunghic?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 3 din 5
Grila 2.1 · întrebarea 3 din 5
Pe ce te sprijini ca să afli diagonala unei fețe dreptunghiulare, când îi cunoști laturile?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 4 din 5
Grila 2.1 · întrebarea 4 din 5
Ce poți spune despre diagonalele corpului unui paralelipiped dreptunghic?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 5 din 5
Grila 2.1 · întrebarea 5 din 5
Cutia se alungește: dimensiunile a și b rămân la fel, iar c crește. Ce se întâmplă cu diagonala corpului?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Grila 2.1· Micro-noțiunea 2.1
rezultatul
Grila 2.1 · rezultatul
Grila 2.1
Corecte
0/5
Grila nu se notează.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 1 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 1 din 7
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 3 cm, 4 cm și 12 cm. Câte dintre cele 12 muchii ale lui au lungimea de 4 cm?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 2 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 2 din 7
O față a unui paralelipiped dreptunghic are laturile de 6 cm și 8 cm. Cât măsoară diagonala acestei fețe?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 3 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 3 din 7
Diagonala unei fețe dreptunghiulare este mai lungă sau mai scurtă decât cea mai lungă latură a feței?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 4 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 4 din 7
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 2 dm, 3 dm și 6 dm. Cât măsoară diagonala corpului?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 5 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 5 din 7
La formula d² = a² + b² + c² acceptăm acum un lucru, pe care îl vom demonstra la Lecția 21. Care este acel lucru?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 6 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 6 din 7
Un paralelipiped dreptunghic are diagonala corpului de 9 cm, iar două dintre dimensiuni sunt egale cu 4 cm. Cât este a treia dimensiune?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
întrebarea 7 din 7
Recapitularea 2.1 · întrebarea 7 din 7
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 3 cm, 4 cm și 5 cm. Poate avea diagonala corpului egală cu 5 cm?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Recapitularea 2.1· Micro-noțiunea 2.1
rezultatul
Recapitularea 2.1 · rezultatul
Recapitularea 2.1
Corecte
0/7
Grila nu se notează.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exercițiile· Micro-noțiunea 2.1
coperta
Exercițiile
Exercițiile: pune în lucru ce ai învățat
- Șase exerciții de bază, de la numărat și recunoscut până la calculul diagonalei, apoi trei de antrenament, opționale.
- Șase ecrane obligatorii, bilanțul și, dacă vrei, încă trei.
- aproximativ 11 ecrane
Începe exercițiile
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.1 · 1 din 9
Cutia de pantofi e cel mai bun model: ia-o în gând și numără.
CerințăExercițiul 2.1.1 Centura albă
Cutia de pantofi are forma unui paralelipiped dreptunghic. Completează: câte fețe are, câte perechi de fețe congruente se pot forma cu ele și câte vârfuri are.
Indicii
1Câte baze are cutia, și câte fețe laterale?
2Fiecare față are o față opusă la fel cu ea. Câte astfel de perechi ies?
3Vârfurile sunt colțurile cutiei: numără-le pe baza de jos și pe cea de sus.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.2 · 2 din 9
Fața colorată e unul dintre pereții cutiei. Vezi între care două vârfuri de jos stă și cât de înaltă este.
CerințăExercițiul 2.1.2 Centura albă
În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ din desen, AB = 6 cm, BC = 4 cm și AA′ = 3 cm. Fața colorată este BCC′B′. Ce dimensiuni are ea?
Indicii
1Care este muchia de jos a feței BCC′B′?
2Latura care urcă este muchia laterală BB′. Cât măsoară ea, dacă AA′ = 3 cm?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.3 · 3 din 9
Muchiile paralele ale cutiei sunt la fel de lungi. Numără câte sunt de fiecare fel.
CerințăExercițiul 2.1.3 Centura albă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 9 cm, 5 cm și 4 cm, toate diferite. Câte dintre muchiile lui măsoară 5 cm?
Indicii
1Câte muchii are în total un paralelipiped dreptunghic?
2Muchiile se împart în trei grupe, câte una pentru fiecare dimensiune. Sunt grupele la fel de mari?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.4 · 4 din 9
Diagonala unei fețe se vede ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
CerințăExercițiul 2.1.4 Centura galbenă
Baza unui paralelipiped dreptunghic este un dreptunghi cu laturile de 20 cm și 21 cm. Cât măsoară diagonala bazei?
Indicii
1Desenează dreptunghiul și diagonala lui: ce fel de triunghi se formează?
2Ce spune teorema lui Pitagora despre pătratul ipotenuzei?
3Calculează 20² + 21² și caută numărul care înmulțit cu el însuși dă rezultatul.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.5 · 5 din 9
Aici cauți diagonala care străbate corpul, de la un colț de jos la colțul opus de sus. Pornești de la cele trei dimensiuni.
CerințăExercițiul 2.1.5 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6 cm, 3 cm și 2 cm. Calculează lungimea diagonalei corpului.
Indicii
1Care sunt cele trei dimensiuni ale cutiei?
2Formula diagonalei corpului adună pătratele celor trei dimensiuni.
3La sfârșit scoți rădăcina pătrată.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
ObligatoriuExercițiul 2.1.6 · 6 din 9
Acum cunoști diagonala și îți lipsește o dimensiune. Formula merge și în sens invers.
CerințăExercițiul 2.1.6 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are baza un pătrat cu latura de 4 cm, iar diagonala lui măsoară 9 cm. Ce înălțime are paralelipipedul?
Indicii
1Scrie formula diagonalei corpului, cu înălțimea c necunoscută.
2Din pătratul diagonalei scade pătratele celor două laturi ale bazei.
3Ce număr înmulțit cu el însuși dă ce ți-a rămas?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Nucleul micro-noțiunii 2.1· Micro-noțiunea 2.1
Nucleul micro-noțiunii 2.1
Încă puțin și o stăpânești
Ai rezolvat corect 0 din 6 exerciții din nucleu. Încă 5 corecte și nucleul e al tău. Revezi întâi pasul la care te-ai împiedicat, apoi reia exercițiile acelea.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
OpționalExercițiul 2.1.7 · 7 din 9
Prima diagonală te ajută la a doua. Ai grijă ce dimensiuni intră în fiecare triunghi.
CerințăExercițiul 2.1.7 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 8 cm, 9 cm și 12 cm. Calculează: diagonala feței cu dimensiunile de 9 cm și 12 cm, apoi diagonala corpului.
Indicii
1La a) lucrezi doar cu fața de 9 cm pe 12 cm; dimensiunea de 8 cm nu intră.
2La b) folosește toate cele trei dimensiuni: d² = a² + b² + c².
3Poți verifica la b): pătratul diagonalei feței plus pătratul dimensiunii rămase.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
OpționalExercițiul 2.1.8 · 8 din 9
Cutia e lungă, bățul și mai lung. Locul cel mai lung din cutie este de la un colț la colțul opus.
CerințăExercițiul 2.1.8 Centura verde
O cutie are în interior dimensiunile de 90 cm, 60 cm și 40 cm. Un băț drept, subțire, are lungimea de 1,15 m. Poate fi așezat în cutie pe diagonala ei, de la un colț de jos la colțul opus de sus? Justifică.
Indicii
1Bățul și dimensiunile cutiei trebuie scrise în aceeași unitate.
2Care este lungimea segmentului dintre două colțuri opuse ale cutiei?
3Dacă nu vrei să scoți rădăcina, compară pătratele celor două lungimi.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Exerciții· Micro-noțiunea 2.1
OpționalExercițiul 2.1.9 · 9 din 9
Dimensiunile sunt legate între ele prin proporții, iar diagonala le leagă și mai strâns. Pune un singur număr necunoscut, k.
CerințăExercițiul 2.1.9 Centura verde
Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporționale cu 1, 2 și 2, iar diagonala corpului măsoară 18 cm. Care este suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului?
Indicii
1Notează dimensiunile cu k, 2k și 2k.
2Pune-le în formula diagonalei corpului și află k.
3Ai găsit dimensiunile? Câte muchii are fiecare dimensiune?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul › Micro-noțiunea 2.1: Paralelipipedul dreptunghic: dimensiuni, fețe, diagonale
Încheiere· Micro-noțiunea 2.1
Încheierea micro-noțiunii 2.1
Încheiere: Cutia, piesă cu piesă
Ai pornit de la un container și de la o cărămidă și ai ajuns la cutia scrisă cu trei numere: dimensiunile a, b și c. Din ele scoți diagonala unei fețe, cu Pitagora, apoi diagonala întregii cutii, cu a² + b² + c² sub radical. Dacă ți se dă diagonala, afli o dimensiune lipsă mergând invers.
Containerul nostru, de 6,06 pe 2,44 pe 2,59 m, are pe dinafară diagonala de aproximativ 7,03 m, mai lungă decât lungimea lui de 6,06 m. Stâlpul pus pe diagonală încape, deci, mai ușor decât te-ai fi așteptat.
Dar ce se întâmplă când toate cele trei dimensiuni sunt egale? Asta urmează, la micro-noțiunea 2.2, „Cubul”.
Pe scurt
paralelipiped dreptunghic: 6 fețe în 3 perechi, dimensiuni a, b, c
diagonala feței: √(x² + y²) · diagonala corpului: √(a² + b² + c²)
cele 4 diagonale sunt congruente
Ce știi să faci acum
- spui câte fețe are o cutie și cum se grupează
- numești dimensiunile a, b, c
- calculezi diagonala unei fețe cu Pitagora
- calculezi diagonala corpului din d² = a² + b² + c²
- afli o dimensiune lipsă din diagonală
Ce faci aici: Citești încheierea și îți spui în gând, cu cuvintele tale, cum afli diagonala unei cutii.