Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Introducere· Micro-noțiunea 3.2
coperta
Teoria
Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
- A doua micro-noțiune din Noțiunea 3, „Desfășurarea prismei drepte”: afli ce figuri plane se pliază într-un corp și cum își alege o furnică drumul cel mai scurt pe o cutie.
- O furnică trebuie să ajungă dintr-un colț al unei cutii în colțul opus, mergând numai pe pereți.
- Patru ecrane: ce face o figură să se plieze, de ce șase pătrate în linie nu dau cub, cele unsprezece desfășurări ale cubului și drumul furnicii; la urmă încerci singur.
- aproximativ 12 ecrane
Ce faci aici: Ghicești dacă furnica merge mai repede pe muchii sau în diagonală.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Introducere· Micro-noțiunea 3.2
De unde pornim
3.2 · De unde pornim
Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Închipuie-ți un cub de latură 4 cm și o furnică pe un colț de jos al lui.
Furnica vrea în colțul opus, cel de sus, de pe partea cealaltă. Nu poate zbura și nu poate trece prin cub, deci merge numai pe pereți.
Un drum posibil: pe muchii, 4 + 4 + 4 = 12 cm. Dar poate coborî și în diagonală, peste doi pereți deodată.
Ghicește: drumul pe muchii este cel mai scurt, sau există unul mai scurt?
Ca să-l găsești, trebuie să știi să desfaci cubul, ceea ce ai învățat la 3.1, și să știi când o figură plană se pliază cu adevărat în corp.
Ce faci aici: Ghicești dacă există un drum mai scurt decât cel de 12 cm pe muchii.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Introducere· Micro-noțiunea 3.2
Întreabă-te întâi
Întreabă-te întâi
Un triunghi dreptunghic are catetele 2 și 4. Cât este ipotenuza?
Ghicește înainte să citești teoria. Nu contează dacă greșești.
Ce faci aici: Alegi varianta care ți se pare corectă și apeși „Verifică”.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.2
deschiderea
Predarea teoriei · deschiderea
Când se pliază și cum ajungi mai repede
Știi să desfaci un corp. Acum mergem invers: ți se dă o figură plană și trebuie să spui dacă se pliază într-un corp.
Criteriul plierii l-ai întâlnit la teoria noțiunii; aici îl încerci pe cazuri, cu hârtie și foarfecă în gând.
Patru ecrane: ce face o desfășurare bună, de ce șase pătrate în linie nu dau cub, cele unsprezece desfășurări ale cubului, un fapt în plus, și drumul cel mai scurt al furnicii.
Dacă ai deja în cap criteriul plierii, spune „Știu deja” și sari la grilă. Dacă nu, începem cu primul ecran.
Ce faci aici: Alegi: începi cu primul ecran sau spui „Știu deja”.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.2
pasul 1 din 4
Fiecare latură tăiată își găsește perechea
Ai în față o figură plană și te întrebi: se pliază într-o cutie sau nu? Nu e nevoie s-o tai din hârtie. Uită-te la ce se întâmplă cu marginile când o pliezi.
Când tăiai cubul, fiecare muchie tăiată a rămas în două locuri: o dată pe marginea unei figuri, a doua oară pe marginea alteia. Plierea le aduce din nou una lângă alta.
Trage cursorul din scenă de la 100 % înapoi spre 0 și urmărește: marginile desenate pe masă se unesc, două câte două, pe muchiile cubului.
Deci o figură se pliază într-un corp când sunt îndeplinite două condiții: fiecare latură tăiată își găsește exact o pereche de aceeași lungime, iar nicio față nu ajunge peste alta.
Poți face testul și în gând: pune un deget pe o față și rotește figura în jurul muchiilor lipite, ca pe o carte care se închide.
Criteriul plierii, pe tablă:
Plierea
figură plană → corp: fiecare latură tăiată are o pereche egală
nicio față nu se suprapune peste alta
test practic: plierea, în mână sau în gând
Pe scurt: O figură plană se pliază într-un corp dacă fiecare latură tăiată își găsește o pereche de aceeași lungime și nicio față nu se suprapune peste alta.
Ce faci aici: Tragi cursorul de desfășurare de la 100 % spre 0 și urmărești cum se unesc marginile.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.2
pasul 2 din 4
Șase pătrate în linie nu dau cub
Să încercăm criteriul pe o figură care pare bună: șase pătrate congruente, puse unul după altul, într-un singur rând. Ghicește: se pliază într-un cub?
Numără pătratele: șase, exact cât are cubul. Ai zice că e perfectă. Hai să o pliem în minte, începând de la capătul din stânga.
Primele patru pătrate se pliază într-un tub: bază, perete, capac, perete. Capetele tubului rămân deschise.
Al cincilea pătrat vine peste primul, iar al șaselea peste al doilea: se suprapun, iar capetele tubului rămân tot deschise.
Deci șase pătrate în linie nu dau cub: două fețe se suprapun și două locuri rămân goale. Nu contează câte pătrate ai, ci cum sunt lipite.
Compară cu desfășurarea cubului din scenă, la ecranul trecut: patru pătrate în bandă și două lipite de ea, nu în prelungirea ei. Concluzia, pe tablă:
Contraexemplul
6 pătrate nu dau neapărat cub
6 pătrate în linie: se suprapun, capetele rămân deschise
contează cum sunt lipite, nu câte sunt
Pe scurt: Șase pătrate congruente puse într-un singur rând nu se pliază într-un cub: contează cum sunt lipite, nu doar câte sunt.
Ce faci aici: Ghicești dacă șase pătrate puse într-un singur rând se pliază într-un cub, apoi urmărești plierea în gând.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Verifică-te· Micro-noțiunea 3.2
Verifică-te
Ai văzut exemplul rezolvat. Acum unul la fel, făcut de tine. Nu se notează.
Șase pătrate congruente stau într-un singur rând. Se pliază într-un cub?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.2
pasul 3 din 4
Cele unsprezece desfășurări ale cubului
În plus față de programă
Un cub are mai multe desfășurări, nu doar crucea pe care o știi. Ghicește: două, patru, zece, o sută? Spune un număr în gând.
Sunt exact 11 desfășurări diferite, dacă nu numărăm separat figurile care se obțin una din alta prin rotire sau oglindire. Atât: nu mai multe, nu mai puține.
Ecranul ăsta e un fapt de cultură matematică, nu o cerință de examen. Dacă vrei, îl poți sări; dacă rămâi, afli un număr surprinzător despre un obiect pe care l-ai ținut de multe ori în mână.
Nu îți cer să le demonstrezi sau să le memorezi. Îți spun doar că șase dintre ele au în mijloc un rând de patru pătrate, cu câte un pătrat lipit deasupra și dedesubt, în locuri diferite.
Celelalte cinci au rândul cel mai lung de trei sau de două pătrate, așezate în trepte sau deplasate unele față de altele.
Ori de câte ori ai dubii, folosești criteriul de la primul ecran: plierea, în gând. Ce nu trece testul, nu e desfășurare.
Pe tablă, ca să nu uiți:
Cele unsprezece
cubul are 11 desfășurări diferite
6 dintre ele au un rând de 4 pătrate
orice altă formă: o testezi prin pliere
Pe scurt: Cubul are 11 desfășurări diferite; orice altă formă de șase pătrate o verifici prin pliere.
Ce faci aici: Spui în gând câte desfășurări crezi că are un cub, înainte să afli cifra.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Predarea teoriei· Micro-noțiunea 3.2
pasul 4 din 4
Drumul cel mai scurt devine segment
Ne întoarcem la furnica de pe cub, cu muchia de 4 cm. Ea pornește din colțul A de jos și vrea să ajungă în colțul opus de sus, C′, mergând numai pe pereți.
Ghicește, înainte să calculăm: drumul cel mai scurt are mai puțin sau mai mult de 10 cm? Ideea este să desfaci cubul astfel încât cei doi pereți pe care merge furnica să ajungă în același plan.
Pe hârtie, drumul cel mai scurt între două puncte este un segment. Cei doi pereți, puși unul lângă altul, fac un dreptunghi de 8 × 4, iar drumul furnicii este diagonala lui.
Cu Pitagora: d² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80, deci d = √80 = 4√5 ≈ 8,94 cm.
Observă ordinea: prin interior ar fi 4√3 ≈ 6,93 cm, pe pereți 4√5 ≈ 8,94 cm, pe muchii 12 cm. Furnica nu poate tăia prin cub, deci cel mai bun drum al ei este cel de 8,94.
Drumul furnicii, în câteva rânduri:
Drumul furnicii
drumul cel mai scurt pe suprafață: segment pe desfășurarea potrivită
cub cu muchia 4, de la A la C′: √(8² + 4²) = 4√5 ≈ 8,94
lungimea se află cu Pitagora, pe desfășurare
Pe scurt: Cel mai scurt drum pe suprafața unui corp, între două puncte, este un segment pe o desfășurare potrivită, a cărui lungime se află cu teorema lui Pitagora.
Ce faci aici: Ghicești dacă drumul furnicii pe doi pereți trece de 10 cm, apoi îl calculezi cu Pitagora.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Verifică-te· Micro-noțiunea 3.2
Verifică-te
Încă unul, tot pentru tine. Nu se notează.
Un cub are muchia 3. Furnica merge dintr-un colț în colțul opus, pe doi pereți alăturați. Cât este drumul ei cel mai scurt?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Fișa micro-noțiunii· Micro-noțiunea 3.2
Fișa micro-noțiunii 3.2
desfășurare bună→ fiecare latură tăiată are pereche · nicio suprapunere · drumul cel mai scurt pe suprafață = segment pe desfășurare
pliereînchiderea figurii plane în corp, în jurul muchiilor lipite
suprapuneredouă fețe care ajung una peste alta la pliere
drum pe suprafațădrum care urmează pereții, fără să taie prin interiorul corpului
diagonala dreptunghiului din desfășurarelungimea drumului cel mai scurt, aflată cu Pitagora
Exemplu: furnica pe cubul cu muchia 4
3 · 4
Drumul pe muchii
12 cm
√(8² + 4²)
Drumul pe doi pereți
4√5 ≈ 8,94 cm
4√3
Prin interior (nu e permis)
≈ 6,93 cm
De reținut:
- O figură plană se pliază într-un corp dacă fiecare latură tăiată are pereche și nu se suprapune nimic.
- Șase pătrate în linie nu dau cub; contează cum sunt lipite.
- Drumul cel mai scurt pe suprafață este un segment pe o desfășurare potrivită.
- Lungimea lui se află cu teorema lui Pitagora, pe dreptunghiul format de doi pereți.
Ce faci aici: Citești fișa: ideea, termenii și cazurile, rând cu rând.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Încearcă tu· Micro-noțiunea 3.2
Care dintre ele se pliază?
Acum ești tu la foarfecă, în gând. Ai în față patru figuri făcute din șase pătrate, descrise în cuvinte.
Pentru fiecare, aplică criteriul de la primul ecran: fiecare latură tăiată își găsește perechea și nimic nu se suprapune.
Ia-le pe rând și pliază-le cu mintea. Una singură se închide într-un cub.
Dacă te încurci, desfă cubul din scenă și pliază-l la loc, ca să vezi o desfășurare care sigur merge.
Provocarea: Desface cubul din scenă la 100 %, apoi pliază-l înapoi la 0.
Care dintre aceste figuri făcute din șase pătrate congruente se pliază într-un cub?
Ce faci aici: Alegi figura care se pliază într-un cub, apoi verifici cu desfășurarea din scenă.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Atenție la capcane· Micro-noțiunea 3.2
Atenție la capcane
!
- Să ai șase pătrate nu înseamnă că ai un cub: șase pătrate în linie nu se pliază, pentru că două dintre ele se suprapun.
- Drumul cel mai scurt nu trece pe muchii și nu e diagonala corpului, care ar tăia prin interior. Furnica merge pe pereți, în diagonală, pe dreptunghiul format de doi pereți alăturați.
- Nu orice desfășurare e bună pentru drum: contează să alegi cea în care cele două puncte apar pe aceeași figură plană.
Ce faci aici: Citești capcanele și unde se întâmplă ele de obicei.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
coperta
Grila
Grila: verifică ce ai înțeles
- Cinci întrebări de înțelegere, fără calcule, cu explicație după fiecare răspuns și trimitere la ecranul potrivit.
- Cinci ecrane; recapitularea, opțională, are încă o serie de întrebări.
- aproximativ 14 ecrane
Începe grila
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 1 din 5
Grila 3.2 · întrebarea 1 din 5
Când este o figură plană desfășurarea unui corp?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 2 din 5
Grila 3.2 · întrebarea 2 din 5
Șase pătrate congruente, puse în linie unul după altul, se pot plia într-un cub?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 3 din 5
Grila 3.2 · întrebarea 3 din 5
Furnica merge pe suprafața unei cutii, dintr-un colț în colțul opus. Cel mai scurt drum al ei este:
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 4 din 5
Grila 3.2 · întrebarea 4 din 5
De ce desfășurăm cutia când căutăm cel mai scurt drum al furnicii?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 5 din 5
Grila 3.2 · întrebarea 5 din 5
Ce te ajută să afli lungimea segmentului-drum, după ce l-ai tras pe desfășurare?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Grila 3.2· Micro-noțiunea 3.2
rezultatul
Grila 3.2 · rezultatul
Grila 3.2
Corecte
0/5
Grila nu se notează.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 1 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 1 din 7
Două laturi tăiate, care vor deveni aceeași muchie după pliere, se numesc perechi. Ce se întâmplă cu ele la pliere?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 2 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 2 din 7
Un coleg pliază o figură făcută din șase pătrate și constată că două pătrate se acoperă exact. Ce concluzie tragi?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 3 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 3 din 7
Care dintre figurile următoare, făcute din șase pătrate, NU se pliază într-un cub?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 4 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 4 din 7
Pe desfășurarea unei cutii, furnica trebuie să ajungă dintr-un punct în altul. Distanțele pe desfășurare sunt 9 cm pe orizontală și 12 cm pe verticală. Cât este drumul cel mai scurt?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 5 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 5 din 7
Furnica poate alege între două desfășurări ale aceleiași cutii. Cum alege drumul?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 6 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 6 din 7
Poate aceeași cutie să aibă mai multe desfășurări diferite?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
întrebarea 7 din 7
Recapitularea 3.2 · întrebarea 7 din 7
O figură formată din șapte pătrate lipite poate fi desfășurarea unui cub?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Recapitularea 3.2· Micro-noțiunea 3.2
rezultatul
Recapitularea 3.2 · rezultatul
Recapitularea 3.2
Corecte
0/7
Grila nu se notează.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exercițiile· Micro-noțiunea 3.2
coperta
Exercițiile
Exercițiile: pune în lucru ce ai învățat
- Șase exerciții de bază, de la recunoașterea desfășurării până la drumul furnicii, apoi trei de antrenament, opționale.
- Șase ecrane obligatorii, bilanțul și, dacă vrei, încă trei.
- aproximativ 11 ecrane
Începe exercițiile
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.1 · 1 din 9
Nu e nevoie să știi forma pe de rost. Pliază în minte: în ce se pliază pătratele din linie și unde cad cele două rămase?
CerințăExercițiul 3.2.1 Centura albă
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 2 stau patru pătrate, în coloanele 1, 2, 3 și 4; pe linia 1 stă un pătrat, în coloana 2; pe linia 3 stă un pătrat, în coloana 3. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Desenează figura pe un caroiaj, pătrat cu pătrat.
2Începe cu cele patru pătrate din linie: în ce se pliază ele?
3Cele două pătrate rămase sunt de aceeași parte a liniei, sau de părți diferite?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.2 · 2 din 9
Pliază în minte, începând cu linia lungă de pătrate. Unde ajunge fiecare?
CerințăExercițiul 3.2.2 Centura albă
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 1 stau cinci pătrate, în coloanele 1, 2, 3, 4 și 5, iar pe linia 2 stă un pătrat, în coloana 3. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Pliază întâi primele patru pătrate din linie: ce formează ele?
2Unde ajunge al cincilea pătrat?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.3 · 3 din 9
Cum recunoști o desfășurare bună? Plierea însăși îți spune.
CerințăExercițiul 3.2.3 Centura albă
Pliezi o figură plană ca să obții un corp. Ce trebuie să se întâmple ca figura să fie o desfășurare bună a corpului?
Indicii
1Gândește-te la ce se întâmplă cu marginile tăiate când pliezi.
2Ce nu are voie să se întâmple cu două fețe care ajung în același loc?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.4 · 4 din 9
Pe cutie, furnica nu poate merge prin aer. Dacă desfaci în plan cele două fețe pe care merge, drumul ei devine un segment.
CerințăExercițiul 3.2.4 Centura galbenă
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 5 cm, BC = 3 cm și AA′ = 15 cm. O furnică pornește din vârful A și vrea să ajungă în vârful C′, mergând numai pe fața ABB′A′ și apoi pe fața BCC′B′. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al furnicii pe aceste două fețe?
Indicii
1Desenează cele două fețe una lângă alta, lipite pe muchia comună. Ce dreptunghi obții?
2Drumul cel mai scurt din plan este un segment. Între ce puncte?
3Segmentul este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.5 · 5 din 9
Pe un cub, toate drumurile peste două fețe vecine ies la fel de lungi. Alege unul și desfă-l.
CerințăExercițiul 3.2.5 Centura galbenă
Pe un cub cu muchia de 6 cm, o furnică merge de la vârful A la vârful opus C′, numai pe două fețe vecine, trecând peste una dintre muchii. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al ei? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Desfă două fețe vecine ale cubului: ce dreptunghi obții?
2Drumul cel mai scurt este diagonala acestui dreptunghi.
3Calculează diagonala cu teorema lui Pitagora și scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
ObligatoriuExercițiul 3.2.6 · 6 din 9
Aici pornești de la drum și cauți o dimensiune. Pitagora merge și în sens invers.
CerințăExercițiul 3.2.6 Centura galbenă
După ce a desfășurat în plan două fețe vecine ale unei cutii, Ana a măsurat cel mai scurt drum al unei furnici de la un vârf al cutiei la vârful opus, peste cele două fețe: 41 cm. Una dintre dimensiunile dreptunghiului format de cele două fețe desfășurate este de 9 cm. Cât măsoară cealaltă dimensiune?
Indicii
1Ce fel de segment este drumul față de dreptunghiul desfășurat?
2Scrie teorema lui Pitagora cu necunoscuta x și află x².
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Nucleul micro-noțiunii 3.2· Micro-noțiunea 3.2
Nucleul micro-noțiunii 3.2
Încă puțin și o stăpânești
Ai rezolvat corect 0 din 6 exerciții din nucleu. Încă 5 corecte și nucleul e al tău. Revezi întâi pasul la care te-ai împiedicat, apoi reia exercițiile acelea.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
OpționalExercițiul 3.2.7 · 7 din 9
De data asta furnica urcă pe baza de jos și apoi pe un perete. Atenție la muchia pe care se lipesc cele două fețe.
CerințăExercițiul 3.2.7 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 10 cm, BC = 9 cm și AA′ = 15 cm. O furnică merge din A în C′, mai întâi pe baza ABCD și apoi pe fața CDD′C′, care se lipesc pe muchia CD. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al furnicii pe aceste două fețe?
Indicii
1Desenează cele două fețe lipite pe muchia CD. Ce dreptunghi mare obții?
2Una dintre laturile lui este CD. Cealaltă se obține punând una după alta două dimensiuni ale cutiei.
3A și C′ sunt vârfuri opuse ale dreptunghiului mare.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
OpționalExercițiul 3.2.8 · 8 din 9
Furnica poate trece peste fețe vecine în mai multe feluri, dar ies doar trei lungimi de drum. Calculează-le pe toate și vezi care e cea mai scurtă.
CerințăExercițiul 3.2.8 Centura verde
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 5 cm și 12 cm. O furnică vrea să ajungă de la un vârf la vârful opus, mergând pe suprafața cutiei, pe două fețe vecine. Drumul poate avea trei lungimi, după perechea de fețe aleasă. Cât măsoară cel mai scurt dintre ele?
Indicii
1Pentru fiecare pereche de fețe vecine, desfă-le în plan și vezi ce dreptunghi obții.
2Într-un astfel de dreptunghi, o latură este o dimensiune, iar cealaltă este suma celorlalte două.
3Calculează cele trei diagonale, sau pătratele lor, și compară-le.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Exerciții· Micro-noțiunea 3.2
OpționalExercițiul 3.2.9 · 9 din 9
Aici șase pătrate sunt tot șase pătrate, dar felul în care sunt lipite contează. Pliază în minte.
CerințăExercițiul 3.2.9 Centura verde
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 1 stau patru pătrate, în coloanele 1, 2, 3 și 4, iar pe linia 2 stau două pătrate, în coloanele 1 și 4. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Pliază întâi cele patru pătrate din linia 1 într-un inel.
2Cele două pătrate rămase sunt de aceeași parte a inelului sau de părți opuse? Ce înseamnă asta pentru locul în care cad?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte › Micro-noțiunea 3.2: Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Încheiere· Micro-noțiunea 3.2
Încheierea micro-noțiunii 3.2
Încheiere: Când se pliază și cum ajungi mai repede
Ai pornit de la o furnică pe un cub și ai ajuns la două lucruri. Primul: o figură plană se pliază într-un corp când fiecare latură tăiată își găsește perechea și nu se suprapune nimic. Al doilea: drumul cel mai scurt pe suprafață devine un segment, pe desfășurarea potrivită, iar lungimea lui o afli cu Pitagora.
Cu asta noțiunea 3 e completă. Urmează fixarea ei, ca să vedem dacă bucățile stau împreună, înainte de ultima noțiune.
Pe scurt
desfășurare bună: fiecare latură tăiată are pereche, nicio suprapunere
6 pătrate în linie nu dau cub · cubul are 11 desfășurări
drumul cel mai scurt pe suprafață: segment pe desfășurare
Ce știi să faci acum
- spui când o figură plană se pliază într-un corp
- recunoști un contraexemplu: șase pătrate în linie
- alegi desfășurarea potrivită pentru un drum pe suprafață
- calculezi drumul furnicii cu Pitagora
Ce faci aici: Citești încheierea și îți spui în gând, cu cuvintele tale, cum afli drumul cel mai scurt pe suprafața unei cutii.