Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
coperta
Exercițiile
Exercițiile noțiunii 2
- Fixarea noțiunii: o privire de sus spusă de mine, câteva întrebări de adevărat sau fals și trei exerciții amestecate; apoi, opțional, problemele noțiunii, de la Centura albă la Centura neagră.
- Fixarea e obligatorie; restul este opțional și îl faci cât vrei.
- aproximativ 11 ecrane
Începe fixarea
Ce faci aici: Începi fixarea și rezolvi, pe rând, întrebările de adevărat sau fals și cele trei exerciții.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
sinteza
Noțiunea 2, pe scurt
Noțiunea 2, „Paralelipipedul dreptunghic și cubul”, e completă. Două micro-noțiuni, o singură idee: o cutie se descrie cu trei dimensiuni, iar diagonala ei se află din ele; zarul e aceeași cutie cu dimensiunile egale.
Diagonala unei fețe este √(x² + y²), iar diagonala corpului este √(a² + b² + c²). La cub, cele două diagonale devin a√2 și a√3.
Cum i-ai spune noțiunea unui coleg? Cam așa: „din dimensiuni scot diagonala, adunând pătratele”. Dacă îți iese, ai înțeles-o.
Noțiunea 2, în trei rânduri:
Noțiunea 2, pe scurt
paralelipiped: dimensiuni a, b, c · diagonala corpului √(a² + b² + c²)
cub: a√2 (față) · a√3 (corp)
drumul invers: c² = d² − a² − b²
Acum verificăm dacă noțiunea ține întreagă, nu doar pe bucăți: câteva întrebări de adevărat sau fals și trei exerciții amestecate.
Pe scurt: Cutia se descrie prin a, b, c, iar diagonala ei este √(a² + b² + c²); la cub, a√2 pe față și a√3 prin corp; din diagonală afli o dimensiune lipsă.
Ce faci aici: Citești rezumatul noțiunii, apoi treci la întrebările de adevărat sau fals.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
adevărat sau fals
Noțiunea 2, pe scurt · adevărat sau fals
Hotărăște singur, apoi citește explicația: la fiecare vei găsi un exemplu sau un contraexemplu.
Adevărat sau fals? Într-un paralelipiped dreptunghic, cele patru diagonale ale corpului sunt congruente.
Adevărat sau fals? Diagonala unei cutii este egală cu suma dimensiunilor ei, a + b + c.
Adevărat sau fals? Diagonala unui cub cu muchia 6 este 6√3.
Adevărat sau fals? Diagonala unei fețe a cubului este mai mare decât diagonala cubului.
Adevărat sau fals? O cutie cu dimensiunile 4, 4 și 7 are diagonala 9.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
exercițiul 1 din 3
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 · 1 din 3
Baza este un pătrat, deci două dintre dimensiuni sunt egale. Restul este formula pe care o știi.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are baza un pătrat cu latura de 6 cm și înălțimea de 7 cm. Cât măsoară diagonala lui?
Indicii
1Care sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului?
2Adună pătratele dimensiunilor și scoate rădăcina.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
exercițiul 2 din 3
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 · 2 din 3
Două corpuri, aceeași diagonală. Calculează diagonala unuia, apoi folosește-o pentru celălalt.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 Centura verde
Un cub cu muchia de 6 cm și un paralelipiped dreptunghic cu baza un pătrat cu latura de 2 cm au aceeași diagonală. Cât măsoară înălțimea paralelipipedului?
Indicii
1Calculează pătratul diagonalei cubului.
2Scrie pătratul diagonalei paralelipipedului, cu înălțimea h necunoscută, și egalează cele două pătrate.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
exercițiul 3 din 3
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 · 3 din 3
Un fel de „oare se poate?”, la care răspunzi cu formula, nu cu desenul.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 Centura verde
Poate fi diagonala unui paralelipiped dreptunghic mai scurtă decât cea mai mare dintre dimensiunile lui? Justifică.
Indicii
1Scrie formula diagonalei și compară-i pătratul cu pătratul celei mai mari dimensiuni.
2Ce semn au a² și b²?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Fixarea noțiunii 2· Noțiunea 2
bilanțul
Fixarea noțiunii 2
„Paralelipipedul dreptunghic și cubul”: gata
Ai încheiat fixarea noțiunii 2. Dacă vrei să te antrenezi mai mult, exercițiile noțiunii sunt opționale; dacă nu, sari la încheierea noțiunii.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura verde – problema 1 · 1 din 5
Centura verde
Diagonala corpului cât dublul diagonalei bazei
Cutia are baza dreptunghiulară, iar diagonala corpului este dublul diagonalei bazei. Ghicește înainte să calculezi: înălțimea va fi mai mare sau mai mică decât diagonala bazei?
Ideea problemei
Ideea problemei: Diagonala bazei, înălțimea și diagonala corpului formează un triunghi dreptunghic. Află mai întâi diagonala bazei, apoi aplică teorema lui Pitagora în acel triunghi.
CerințăNivel Centura verde – problema 1 Centura verde
Baza unui paralelipiped dreptunghic este un dreptunghi cu laturile de 12 cm și 16 cm. Diagonala corpului este de două ori mai mare decât diagonala bazei. Cât măsoară înălțimea paralelipipedului? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Calculează întâi diagonala bazei.
2Diagonala bazei, înălțimea și diagonala corpului formează un triunghi dreptunghic: care dintre ele este ipotenuza?
3Scrie h² ca diferență de pătrate și scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 2 · 2 din 5
Centura albastră
Cuburile de pe muchii
Un bloc de lemn vopsit pe toate fețele, apoi tăiat în cuburi mici. Unele cuburi n-au nicio față vopsită, altele au una, două sau trei. Ghicește: cuburile cu trei fețe vopsite stau în colțuri. Câte colțuri are blocul? Apoi mergi mai departe, spre cele cu două.
Ideea problemei
Ideea problemei: Cuburile cu exact două fețe vopsite stau pe muchii, dar nu în colțuri. Numără-le pe fiecare muchie, fără cele două cuburi de la capete.
CerințăNivel Centura albastră – problema 2 Centura albastră
Un bloc de lemn în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de 5 cm, 4 cm și 3 cm, este vopsit pe toate fețele, apoi tăiat în cuburi cu muchia de 1 cm. Câte dintre aceste cuburi au exact două fețe vopsite?
Indicii
1Unde stau cuburile cu două fețe vopsite: în colțuri, pe muchii sau în mijlocul unei fețe?
2Pe o muchie de lungime L stau L cuburi. Câte dintre ele sunt colțuri?
3Câte muchii are blocul de fiecare dimensiune?
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura albastră – problema 3 · 3 din 5
Centura albastră
Cea mai lungă bară din cutie
O cutie de lemn lungă și o bară pe care vrei s-o transporți cât mai lungă, fără s-o îndoi. Înainte de orice calcul, ghicește: bara cea mai lungă stă paralel cu muchia cea mai lungă a cutiei sau altfel?
Ideea problemei
Ideea problemei: Cel mai lung segment care încape într-o cutie unește două colțuri opuse. Calculează-i lungimea, apoi caută cel mai mare număr întreg care nu o depășește.
CerințăNivel Centura albastră – problema 3 Centura albastră
O cutie de lemn are forma unui paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile interioare de 30 cm, 24 cm și 18 cm. Se vrea să se pună în ea o bară dreaptă și subțire, cât mai lungă, cu lungimea un număr întreg de centimetri. Ce lungime are cea mai lungă bară care încape?
Indicii
1Care este cel mai lung segment care poate sta în cutie?
2Calculează-i lungimea, cu formula diagonalei corpului.
3Bara trebuie să aibă lungimea un număr întreg: cel mai mare care nu depășește diagonala.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura maro – problema 4 · 4 din 5
Centura maro
Proporții, muchii și diagonală
Începi cu un raport, treci printr-o sumă a muchiilor și ajungi la o diagonală. Două idei legate, una după alta; fă câte un singur lucru odată.
Ideea problemei
Ideea problemei: Cu dimensiunile 2k, 3k și 6k, suma muchiilor este 4 · (2k + 3k + 6k). Din ea afli k, apoi aplici formula diagonalei.
CerințăNivel Centura maro – problema 4 Centura maro
Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporționale cu 2, 3 și 6. Suma lungimilor tuturor muchiilor lui este 154 cm. Cât măsoară diagonala paralelipipedului?
Indicii
1Scrie dimensiunile ca 2k, 3k și 6k.
2Câte muchii are paralelipipedul de fiecare dimensiune? Scrie suma muchiilor cu k și află k.
3După ce ai dimensiunile, folosește formula diagonalei corpului.
Lecția 15 › Noțiunea 2: Paralelipipedul dreptunghic și cubul
Exercițiile noțiunii 2· Noțiunea 2
Nivel Centura neagră – problema 5 · 5 din 5
Centura neagră
Cele patru diagonale sunt congruente
Ai calculat diagonala unui paralelipiped. Acum arată că toate cele patru diagonale sunt la fel de lungi, fără să le calculezi pe rând, ci cu o singură idee, aplicată de patru ori.
Ideea problemei
Ideea problemei: Fiecare diagonală a corpului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic format dintr-o diagonală a bazei și o muchie laterală. Diagonalele bazei sunt și ele congruente.
CerințăNivel Centura neagră – problema 5 Centura neagră
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = a, BC = b și AA′ = c, demonstrează că diagonalele AC′, BD′, CA′ și DB′ au aceeași lungime. Poți accepta, fără să o demonstrezi acum, că muchia laterală este perpendiculară pe orice dreaptă din planul bazei; o demonstrăm la Lecția 21.
Indicii
1Pe fiecare diagonală a corpului construiește un triunghi dreptunghic: o muchie laterală, o diagonală a bazei și diagonala corpului.
2Arată întâi că cele două diagonale ale bazei, AC și BD, au același pătrat.
3Scrie pătratul fiecărei diagonale a corpului și compară cele patru rezultate.