Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3
coperta
Exercițiile
Exercițiile noțiunii 3
- Fixarea noțiunii: o privire de sus spusă de mine, câteva întrebări de adevărat sau fals și trei exerciții amestecate; apoi, opțional, problemele noțiunii, de la Centura albă la Centura neagră.
- Fixarea e obligatorie; restul este opțional și îl faci cât vrei.
- aproximativ 10 ecrane
Începe fixarea
Ce faci aici: Începi fixarea și rezolvi, pe rând, întrebările de adevărat sau fals și cele trei exerciții.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
sinteza
Noțiunea 3, pe scurt
Noțiunea 3, „Desfășurarea prismei drepte”, e completă. Două micro-noțiuni, o singură idee: tai corpul pe muchii și îl întinzi, iar pe masă ai două baze și o bandă, cu dimensiuni pe care le știi să le scoți.
Plierea e proba: o figură e desfășurare când fiecare latură tăiată își găsește perechea și nimic nu se suprapune. Iar un drum pe suprafață devine un segment drept pe desfășurarea potrivită.
Cum i-ai spune noțiunea unui coleg? Cam așa: „tai, întind, măsor pe masă”. Dacă îți iese, ai înțeles-o.
Ce ține noțiunea 3 întreagă:
Noțiunea 3, pe scurt
desfășurare = 2 baze + banda laterală (perimetru × h)
se pliază: fiecare latură tăiată are pereche, nimic nu se suprapune
drum pe suprafață: segment pe desfășurare
Acum verificăm dacă noțiunea ține întreagă, nu doar pe bucăți: câteva întrebări de adevărat sau fals și trei exerciții amestecate.
Pe scurt: Desfășurarea are două baze și banda laterală; se pliază dacă laturile tăiate au pereche și nimic nu se suprapune; drumul cel mai scurt pe suprafață este un segment pe desfășurare.
Ce faci aici: Citești rezumatul noțiunii, apoi treci la întrebările de adevărat sau fals.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
adevărat sau fals
Noțiunea 3, pe scurt · adevărat sau fals
Hotărăște singur, apoi citește explicația: la fiecare vei găsi un exemplu sau un contraexemplu.
Adevărat sau fals? Desfășurarea unei prisme drepte cu baza hexagon are 8 figuri plane.
Adevărat sau fals? Banda laterală a unei prisme are lungimea egală cu înălțimea prismei.
Adevărat sau fals? Șase pătrate congruente puse într-un singur rând se pliază într-un cub.
Adevărat sau fals? Drumul cel mai scurt pe suprafața unei cutii, între două colțuri opuse, poate fi un segment pe o desfășurare a cutiei.
Adevărat sau fals? O prismă cu baza un pătrat de latură 3 și înălțimea 7 are banda laterală de 12 pe 7.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
exercițiul 1 din 3
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 · 1 din 3
Banda laterală se înfășoară în jurul bazei: lungimea ei este perimetrul. Împarte-l în părți egale.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 Centura galbenă
Un dreptunghi de carton cu dimensiunile de 45 cm pe 18 cm devine banda laterală a unei prisme drepte regulate, cu baza un pentagon regulat, rulat pe lungime. Care este latura bazei și care este înălțimea prismei?
Indicii
1Care dintre cele două dimensiuni ale dreptunghiului este perimetrul bazei?
2Câte laturi egale are un pentagon regulat?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
exercițiul 2 din 3
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 · 2 din 3
Două drumuri între aceleași vârfuri: unul prin aer, altul pe cutie. Compară-le.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 Centura verde
Pe un cub cu muchia de 10 cm, o furnică merge de la vârful A la vârful opus C′, pe suprafața cubului. Poate fi lungimea drumului ei cel mai scurt egală cu diagonala cubului? Justifică.
Indicii
1Calculează diagonala cubului cu muchia de 10 cm.
2Desfă două fețe vecine și calculează drumul furnicii pe ele. Compară cele două lungimi.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
exercițiul 3 din 3
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 · 3 din 3
Desfășurarea trebuie să încapă pe foaie. Pune pătrat lângă pătrat și măsoară.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 Centura verde
Desfășurarea în cruce a unui cub cu muchia de 5 cm are patru pătrate în linie, iar celelalte două lipite de același pătrat al liniei, unul deasupra și unul dedesubt. Se poate desena această desfășurare pe o foaie de 22 cm pe 16 cm? Justifică.
Indicii
1Câte pătrate stau în linie, și câte într-o coloană?
2Compară lungimea cu lungimea și lățimea cu lățimea foii.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Fixarea noțiunii 3· Noțiunea 3
bilanțul
Fixarea noțiunii 3
„Desfășurarea prismei drepte”: gata
Ai încheiat fixarea noțiunii 3. Dacă vrei să te antrenezi mai mult, exercițiile noțiunii sunt opționale; dacă nu, sari la încheierea noțiunii.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3
Nivel Centura albastră – problema 1 · 1 din 4
Centura albastră
Firul care ocolește prisma o dată
Un fir pornește din A și ocolește o singură dată fețele laterale ale unei prisme, până ajunge în A′, deasupra lui A. Ghicește: cu cât va fi mai lung decât muchia AA′, care e drumul cel mai direct, dar fără ocol?
Ideea problemei
Ideea problemei: Taie în gând prisma de-a lungul muchiei AA′ și desfă banda laterală. Firul devine un segment în dreptunghiul benzii.
CerințăNivel Centura albastră – problema 1 Centura albastră
Un fir se înfășoară o singură dată în jurul fețelor laterale ale unei prisme drepte regulate, cu baza triunghi echilateral cu latura de 4 cm și cu înălțimea de 16 cm, pornind din vârful A și ajungând în vârful A′, aflat deasupra lui A. Care este lungimea celui mai scurt fir posibil?
Indicii
1Taie în gând prisma pe muchia AA′ și desfă banda laterală.
2Unde apar A și A′ pe bandă?
3Segmentul dintre ele este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3
Nivel Centura albastră – problema 2 · 2 din 4
Centura albastră
Dreptunghiul rulat în două feluri
Un dreptunghi de carton de 40 cm pe 12 cm se rulează și capetele se lipesc, ca să iasă banda laterală a unei prisme regulate. Poți rula pe lungime sau pe lățime. Ghicește: iese o prismă joasă și lată sau una înaltă și subțire? Depinde de felul în care rulezi.
Ideea problemei
Ideea problemei: Când rulezi dreptunghiul, o latură a lui devine perimetrul bazei, iar cealaltă înălțimea. Perimetrul este numărul laturilor înmulțit cu latura bazei, care trebuie să fie număr întreg.
CerințăNivel Centura albastră – problema 2 Centura albastră
Un dreptunghi de carton cu dimensiunile de 40 cm și 12 cm se rulează, pe una dintre laturi, ca să formeze banda laterală a unei prisme drepte regulate. Latura bazei trebuie să fie un număr întreg de centimetri, iar baza are cel mult 12 laturi. Câte prisme diferite se pot obține?
Indicii
1Ce devine fiecare dintre cele două laturi ale dreptunghiului când îl rulezi?
2Perimetrul bazei regulate este n · a. Pentru ce valori ale lui n iese a întreg?
3Nu uita că poți rula și pe cealaltă latură.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3
Nivel Centura maro – problema 3 · 3 din 4
Centura maro
Furnica pe cutia lungă
O cutie lungă și îngustă, ca una pentru creioane, și o furnică care trebuie să ajungă la vârful opus. Nu orice pereche de fețe vecine dă același drum, iar alegerea desfășurării potrivite este chiar problema.
Ideea problemei
Ideea problemei: Pentru fiecare pereche de fețe vecine, desfă-le în plan: drumul este diagonala unui dreptunghi cu o latură egală cu o dimensiune și cealaltă egală cu suma celorlalte două. Compară cele trei diagonale.
CerințăNivel Centura maro – problema 3 Centura maro
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 6 cm și 24 cm. O furnică merge de la un vârf la vârful opus, pe suprafața cutiei, trecând peste două fețe vecine. Află lungimea celui mai scurt dintre cele trei drumuri.
Indicii
1După muchia peste care treci, desfășurarea dă trei dreptunghiuri diferite. Ce laturi are fiecare?
2Într-un astfel de dreptunghi, o latură este o dimensiune, iar cealaltă este suma celorlalte două.
3Calculează pătratul fiecărei diagonale și alege-o pe cea mai mică.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Exercițiile noțiunii 3· Noțiunea 3
Nivel Centura neagră – problema 4 · 4 din 4
Centura neagră
Care dintre cele trei drumuri este cel mai scurt
La cutia lungă ai comparat trei numere. Acum dovedești, pentru orice cutie, care dintre cele trei drumuri iese cel mai scurt.
Ideea problemei
Ideea problemei: Fiecare drum este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele x și y + z, unde x, y, z sunt dimensiunile luate în toate ordinile posibile. Dezvoltă (y + z)² și compară cele trei expresii.
CerințăNivel Centura neagră – problema 4 Centura neagră
Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile a, b și c, cu a ≥ b ≥ c > 0. O furnică merge din vârful A în vârful opus C′ pe suprafața lui, trecând peste două fețe vecine; după muchia peste care trece, drumul poate avea trei lungimi diferite. Demonstrează că cel mai scurt dintre cele trei drumuri are lungimea √(a² + b² + c² + 2bc).
Indicii
1Desfă în plan două fețe vecine. Ce fel de segment este drumul?
2Scrie pătratul drumului și dezvoltă (y + z)².
3Ce rămâne diferit între cele trei expresii? Compară produsele.