Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Introducere· Noțiunea 3
Teoria
Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Corpul tăiat pe muchii și întins pe masă: din ce bucăți e făcut, cât măsoară ele și ce drum scurt poate lua o furnică.
- Teoria noțiunii, în patru ecrane, apoi grila noțiunii și cele două micro-noțiuni, fiecare cu exercițiile ei.
- Patru ecrane de teorie; „Știu deja” te duce direct la grilă.
- aproximativ 4 ecrane
- 3.1 Desfășurarea: bazele și banda laterală
- 3.2 Care desfășurare se pliază? Drumuri pe suprafață
Începe teoria noțiunii 3
Ce faci aici: Alegi: începi teoria noțiunii sau spui „Știu deja”.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Teoria noțiunii 3· Noțiunea 3
pasul 1 din 4
Desfășurarea
Tăiem și întindem
Noțiunea 3 se uită la prisme altfel: în loc să le învârtim în mână, le tăiem și le întindem pe masă. Ce rămâne se numește desfășurare.
Tai de-a lungul unor muchii, nu prin mijlocul fețelor, ca fețele să rămână întregi. Fiecare față apare o singură dată în desfășurare.
Trage cursorul din scenă de la 0 la 100 %. Baza de jos rămâne pe loc, iar pereții și capacul cad pe masă, pe rând, ca niște uși pe balamale.
La prisma cu baza triunghi vezi 5 figuri: două triunghiuri și trei dreptunghiuri, adică n + 2, ca la fețe. Ghicește: câte figuri ar avea o prismă cu baza pătrat?
Tipografiile numesc „ștanță” forma tăiată după care croiesc ambalajul. Orice cutie de carton începe ca o ștanță plană.
Desfășurarea, pe tablă:
Desfășurarea
desfășurarea = corpul tăiat pe muchii și întins pe masă
fiecare față apare o singură dată
n + 2 fețe ⇒ n + 2 figuri plane
Pe scurt: Desfășurarea este corpul tăiat pe muchii și întins pe masă; fiecare față apare o singură dată, deci o prismă cu baza de n laturi are n + 2 figuri plane.
Ce faci aici: Tragi cursorul de desfășurare de la 0 la 100 % și numeri figurile plane care apar.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Teoria noțiunii 3· Noțiunea 3
pasul 2 din 4
Banda
Banda laterală și bazele
Pereții unei prisme, puși unul lângă altul, în linie, formează o bandă laterală: un dreptunghi făcut din n dreptunghiuri.
Cât de lungă e banda? Tot cât conturul bazei, adică perimetrul. Cât de lată? Cât înălțimea h.
La prisma hexagonală regulată cu latura 3 și înălțimea 5, banda are 18 × 5. Ghicește, apoi desface prisma din scenă și verifică în legendă.
Bazele se lipesc de bandă pe o muchie: baza de jos de marginea de jos, baza de sus de cea de sus. Pot fi lipite de pereți diferiți, de aceea aceeași prismă are mai multe desfășurări.
Banda și bazele, în trei rânduri:
Banda
banda laterală: lungime = perimetrul bazei, lățime = h
bazele: lipite de bandă pe muchii
aceeași prismă: mai multe desfășurări posibile
Pe scurt: Banda laterală este un dreptunghi cu lungimea egală cu perimetrul bazei și lățimea egală cu înălțimea; bazele se lipesc de ea pe muchii.
Ce faci aici: Ghicești lungimea și lățimea benzii prismei hexagonale, apoi o desfaci și verifici.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Teoria noțiunii 3· Noțiunea 3
pasul 3 din 4
Cutia și zarul
Cutia și zarul desfăcute
La paralelipipedul dreptunghic, desfășurarea are 6 dreptunghiuri, în trei perechi. Banda are lungimea 2(a + b) și lățimea c.
La cub e simplu: 6 pătrate congruente. Banda are 4 pătrate, deci lungimea 4a și lățimea a.
Desface zarul din scenă și numără: patru pătrate în bandă și două lipite de bandă, baza de jos și baza de sus.
Dar nu orice figură de șase pătrate se pliază într-un cub. Șase pătrate în linie, de pildă, se suprapun când le pliezi. Cum afli care sunt bune, vezi la micro-noțiunea 3.2.
Cutia, zarul și un avertisment:
Cutia și zarul
paralelipiped: 6 dreptunghiuri, 3 perechi · banda 2(a + b) × c
cub: 6 pătrate · banda 4a × a
nu orice 6 pătrate dau cub
Pe scurt: Desfășurarea paralelipipedului are 6 dreptunghiuri în 3 perechi, iar a cubului, 6 pătrate; nu orice șase pătrate se pliază într-un cub.
Ce faci aici: Desfaci zarul din scenă și numeri pătratele din bandă și pe cele lipite de ea.
Lecția 15 › Noțiunea 3: Desfășurarea prismei drepte
Teoria noțiunii 3· Noțiunea 3
pasul 4 din 4
Drumul pe suprafață
Furnica pe cutie
O furnică merge pe suprafața unei cutii, dintr-un colț în colțul opus. Nu poate trece prin cutie, deci urmează pereții.
Desfaci cutia, ca cei doi pereți pe care merge furnica să ajungă în același plan. Pe hârtie, drumul cel mai scurt între două puncte este un segment drept.
Pentru cubul cu muchia 4, cei doi pereți formează un dreptunghi 8 × 4, iar drumul este diagonala lui: √(64 + 16) = 4√5 ≈ 8,94.
Pe muchii ar fi 12; prin interior, 4√3 ≈ 6,93, dar prin interior furnica nu poate trece. Ghicește: drumul pe suprafață e mai lung sau mai scurt decât cel pe muchii?
Ultima tablă a noțiunii:
Drumul pe suprafață
drumul pe suprafață: segment pe desfășurarea potrivită
lungimea: Pitagora, pe desfășurare
Pe scurt: Cel mai scurt drum pe suprafață este un segment pe desfășurarea potrivită, a cărui lungime se află cu Pitagora.
Ce faci aici: Ghicești dacă drumul pe suprafață e mai lung sau mai scurt decât cel pe muchii.