Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Exercițiile de sinteză ale lecției 15
- Exerciții alese din toată lecția, câte unul-două din fiecare micro-noțiune, în care ideile se amestecă, ca la un examen.
- Sunt obligatorii; după ele găsești bilanțul și, opțional, Centurile și subiectele de sinteză.
- aproximativ 11 ecrane
Începe exercițiile
Ce faci aici: Rezolvi pe rând exercițiile și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 1.1.5 · 1 din 10
Începem cu numărătoarea: o prismă cu baza heptagon și trei numere de scris.
CerințăExercițiul 1.1.5 Centura galbenă
Prisma dreaptă din desen are ca bază un heptagon. Completează: câte vârfuri, câte muchii și câte fețe are?
Indicii
1Începe cu n: câte laturi are un heptagon?
2Folosește pe rând 2n, 3n și n + 2.
3La fețe, gândește-te și la cele două baze.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 1.1.8 · 2 din 10
Apoi vine un coleg care a desenat o prismă pe care nu o poate avea: verifică dacă numerele lui se potrivesc.
CerințăExercițiul 1.1.8 Centura verde
Un coleg spune că a desenat o prismă dreaptă cu 20 de vârfuri și 27 de muchii. Are dreptate? Justifică.
Indicii
1Din numărul vârfurilor, ce valoare iese pentru n?
2Din numărul muchiilor, ce valoare iese pentru n? Se potrivesc cele două?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 1.2.5 · 3 din 10
Prisma regulată: peretele ei, cu cele două dimensiuni, într-un hexagon regulat.
CerințăExercițiul 1.2.5 Centura galbenă
Prisma dreaptă regulată din desen are ca bază un hexagon regulat cu latura de 5 cm, iar înălțimea ei este de 10 cm. Completează: câte fețe laterale are, cât măsoară latura de jos a unei fețe laterale și cât măsoară latura ei verticală.
Indicii
1Câte laturi are un hexagon? Atâtea fețe laterale are prisma.
2Cu ce muchie a bazei se sprijină un perete pe baza de jos?
3Latura verticală a peretelui este muchia laterală: cu ce se mai numește ea?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 1.2.8 · 4 din 10
Capcana cubului: baza pătrat nu ajunge ca prisma să fie cub.
CerințăExercițiul 1.2.8 Centura verde
Un coleg spune: „Orice prismă dreaptă regulată cu baza pătrat este cub.” Are dreptate? Justifică.
Indicii
1Ce cere în plus un cub față de o prismă care are doar baza pătrat?
2Cum ar trebui să fie înălțimea față de latura bazei?
3Încearcă să găsești o prismă cu baza pătrat al cărei perete nu este pătrat.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 2.1.5 · 5 din 10
Diagonala cutiei, de la un colț de jos la colțul opus de sus.
CerințăExercițiul 2.1.5 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6 cm, 3 cm și 2 cm. Calculează lungimea diagonalei corpului.
Indicii
1Care sunt cele trei dimensiuni ale cutiei?
2Formula diagonalei corpului adună pătratele celor trei dimensiuni.
3La sfârșit scoți rădăcina pătrată.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 2.2.5 · 6 din 10
La cub, aceeași idee dă o formulă scurtă: diagonala cubului.
CerințăExercițiul 2.2.5 Centura galbenă
Un cub are muchia de 12 cm. Cât măsoară diagonala cubului? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Cele trei dimensiuni ale cubului sunt egale. Care este fiecare?
2Pune-le în formula diagonalei corpului.
3Scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 3.1.4 · 7 din 10
Cutia tăiată și întinsă: banda laterală a unei prisme hexagonale.
CerințăExercițiul 3.1.4 Centura galbenă
Prisma dreaptă regulată din desen are baza un hexagon regulat cu latura de 4 cm, iar înălțimea de 9 cm. Banda ei laterală este un dreptunghi. Care sunt dimensiunile lui?
Indicii
1Care este perimetrul unui hexagon regulat cu latura de 4 cm?
2Lățimea benzii este chiar înălțimea prismei.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 3.2.4 · 8 din 10
Pe cutie, furnica nu merge prin aer: drumul ei devine un segment pe desfășurare.
CerințăExercițiul 3.2.4 Centura galbenă
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 5 cm, BC = 3 cm și AA′ = 15 cm. O furnică pornește din vârful A și vrea să ajungă în vârful C′, mergând numai pe fața ABB′A′ și apoi pe fața BCC′B′. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al furnicii pe aceste două fețe?
Indicii
1Desenează cele două fețe una lângă alta, lipite pe muchia comună. Ce dreptunghi obții?
2Drumul cel mai scurt din plan este un segment. Între ce puncte?
3Segmentul este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 4.1.4 · 9 din 10
Din lumea de zi cu zi: containerul și toate muchiile lui.
CerințăExercițiul 4.1.4 Centura galbenă
Un container maritim de 20 de picioare are, pe dinafară, aproximativ 6,06 m lungime, 2,44 m lățime și 2,59 m înălțime. Un tehnician vrea să lipească bandă reflectorizantă pe toate muchiile containerului. Ce lungime totală de bandă îi trebuie, în metri?
Indicii
1Câte muchii are un paralelipiped dreptunghic, și câte sunt de fiecare lungime?
2Adună mai întâi câte o muchie de fiecare fel.
3Înmulțește suma cu numărul de muchii de fiecare fel.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
Exercițiul 4.1.8 · 10 din 10
Ultimul: cutia croită dintr-o foaie de carton, unde piesele trebuie și calculate, și așezate.
CerințăExercițiul 4.1.8 Centura verde
Se vrea croirea unei cutii închise, cu baza pătrat cu latura de 10 cm și înălțimea de 8 cm, dintr-o foaie dreptunghiulară de carton de 50 cm pe 20 cm. Banda laterală se taie dintr-o singură bucată, iar cele două baze separat; toate piesele sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu ale foii și nu se suprapun. Se poate? Justifică.
Indicii
1Calculează întâi dimensiunile benzii laterale și ale unei baze.
2Pune banda în lungul foii. Ce loc rămâne?
3Încape în locul rămas câte o bază, sau amândouă alăturate?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Exercițiile de sinteză· Lecția 15
bilanțul
Exercițiile de sinteză: gata
Ai terminat exercițiile de sinteză. Dacă vrei să te antrenezi mai mult, Centurile și subiectele de sinteză sunt opționale; dacă nu, trecem la încheierea lecției.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centurile lecției 15
- Toate problemele lecției, așezate pe șase niveluri, de la Centura albă la Centura neagră; aceleași probleme, același progres.
- Opțional; alegi o centură și lucrezi cât vrei, apoi te întorci la ea oricând.
- aproximativ 85 ecrane
Alege o centură
Ce faci aici: Alegi centura cu care vrei să începi.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura albă
- Numeri, numești și recunoști: vârfurile, muchiile și fețele unei prisme, înălțimea, piesele unei desfășurări.
- Douăzeci și una de probleme scurte; cele mai multe se rezolvă dintr-o privire la desen.
- aproximativ 21 ecrane
Începe Centura albă
Ce faci aici: Rezolvi problemele pe rând și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.1 · 1 din 21
Poți număra pe desen, rotind prisma, sau poți folosi regula de la numărătoare. Alege tu.
CerințăExercițiul 1.1.1 Centura albă
Prisma dreaptă din desen are baza un pentagon. Câte vârfuri are în total?
Indicii
1Câte vârfuri are o singură bază?
2Câte baze are o prismă?
3Prisma nu are vârfuri în afara celor ale bazelor.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.2 · 2 din 21
Desenul este enunțul: uită-te cu atenție la fața colorată, apoi alege.
CerințăExercițiul 1.1.2 Centura albă
În desen, prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ are o față colorată. Cum se notează ea?
Indicii
1Hotărăște întâi: fața colorată este o bază sau un perete?
2Un perete are două vârfuri jos și două sus. Care două litere de jos se văd pe el?
3Citește literele mergând pe marginea feței, fără să sari.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.3 · 3 din 21
Gândește-te la ce spune regula despre cele două baze, nu la un desen anume.
CerințăExercițiul 1.1.3 Centura albă
O prismă dreaptă are ca bază de jos un triunghi. Poate baza ei de sus să fie un pătrat? Justifică.
Indicii
1Ce spune regula despre cele două baze: pot fi diferite sau se potrivesc exact?
2Încearcă să pui un pătrat peste un triunghi. Rămân colțuri în afară?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.1 · 4 din 21
Prismele își iau numele de la bază, cum creionul hexagonal și-l ia de la forma lui. Numără laturile bazei și vezi cum o cheamă.
CerințăExercițiul 1.2.1 Centura albă
Prisma dreaptă din desen are bazele poligoane regulate. Cum se numește ea, după forma bazei?
Indicii
1Numără laturile bazei de jos, una câte una, mergând pe contur.
2Baza de sus este la fel cu cea de jos, așa că numeri la una singură.
3Numele prismei se ia de la numele poligonului din bază: ce poligon e acolo?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.2 · 5 din 21
Să fie baza un poligon regulat înseamnă două lucruri deodată. Verifică dacă rombul le are pe amândouă.
CerințăExercițiul 1.2.2 Centura albă
O prismă dreaptă are ca bază un romb care nu este pătrat: are toate laturile egale, dar unghiurile nu sunt toate egale. Este această prismă o prismă regulată? Justifică.
Indicii
1Ce condiții trebuie să îndeplinească un poligon ca să fie regulat?
2Verifică pe rând: laturile rombului sunt egale? Și unghiurile?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.3 · 6 din 21
Gândește-te la familiile de corpuri ca la păpușile ruse: cea mai mică intră în cea mai mare.
CerințăExercițiul 1.2.3 Centura albă
Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
Indicii
1Desenează în minte cele patru familii, una în alta, de la cub spre prisma dreaptă.
2O afirmație adevărată pornește de la familia mică și ajunge la cea mare.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.1 · 7 din 21
Cutia de pantofi e cel mai bun model: ia-o în gând și numără.
CerințăExercițiul 2.1.1 Centura albă
Cutia de pantofi are forma unui paralelipiped dreptunghic. Completează: câte fețe are, câte perechi de fețe congruente se pot forma cu ele și câte vârfuri are.
Indicii
1Câte baze are cutia, și câte fețe laterale?
2Fiecare față are o față opusă la fel cu ea. Câte astfel de perechi ies?
3Vârfurile sunt colțurile cutiei: numără-le pe baza de jos și pe cea de sus.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.2 · 8 din 21
Fața colorată e unul dintre pereții cutiei. Vezi între care două vârfuri de jos stă și cât de înaltă este.
CerințăExercițiul 2.1.2 Centura albă
În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ din desen, AB = 6 cm, BC = 4 cm și AA′ = 3 cm. Fața colorată este BCC′B′. Ce dimensiuni are ea?
Indicii
1Care este muchia de jos a feței BCC′B′?
2Latura care urcă este muchia laterală BB′. Cât măsoară ea, dacă AA′ = 3 cm?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.3 · 9 din 21
Muchiile paralele ale cutiei sunt la fel de lungi. Numără câte sunt de fiecare fel.
CerințăExercițiul 2.1.3 Centura albă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 9 cm, 5 cm și 4 cm, toate diferite. Câte dintre muchiile lui măsoară 5 cm?
Indicii
1Câte muchii are în total un paralelipiped dreptunghic?
2Muchiile se împart în trei grupe, câte una pentru fiecare dimensiune. Sunt grupele la fel de mari?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.1 · 10 din 21
Zarul și cubul Rubik sunt cuburi. Numără ce are un cub, fără să-l desenezi.
CerințăExercițiul 2.2.1 Centura albă
Cubul din desen este un paralelipiped dreptunghic cu toate dimensiunile egale. Completează: câte fețe pătrate are, câte muchii și câte vârfuri.
Indicii
1Câte baze are un cub, și câte fețe laterale? Toate sunt pătrate.
2Folosește regulile de la numărătoare, cu baza pătrat, adică n = 4.
3Vârfurile sunt colțurile: câte pe baza de jos și câte pe cea de sus?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.2 · 11 din 21
Diagonala unei fețe unește două vârfuri opuse ale ei, fără să meargă pe margine.
CerințăExercițiul 2.2.2 Centura albă
În cubul ABCDA′B′C′D′ din desen, fața colorată este BCC′B′. Care dintre segmentele următoare este o diagonală a acestei fețe?
Indicii
1Mergi pe conturul feței colorate și notează vârfurile în ordine.
2Diagonala unește două vârfuri care NU sunt vecine pe contur.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.3 · 12 din 21
Un cub are toate muchiile egale. Rămâne să știi câte sunt.
CerințăExercițiul 2.2.3 Centura albă
Cubul Rubik clasic are muchia de 5,7 cm. Un meșter îi face scheletul din sârmă, câte o bucată pentru fiecare muchie. Ce lungime totală de sârmă folosește?
Indicii
1Câte muchii are un cub?
2Toate muchiile cubului au aceeași lungime. Care este ea?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.1 · 13 din 21
Desfășurarea este corpul tăiat pe muchii și întins pe masă. Câte bucăți plane obții?
CerințăExercițiul 3.1.1 Centura albă
Prisma dreaptă din desen are ca bază un pentagon. Prisma este tăiată pe muchii și întinsă pe masă. Din câte figuri plane este formată desfășurarea ei, bazele și fețele laterale la un loc?
Indicii
1Câte fețe laterale are o prismă cu baza pentagon?
2Pe lângă fețele laterale, mai sunt bazele. Câte?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.2 · 14 din 21
Cubul are toate muchiile egale. Ce înseamnă asta pentru fețele lui, odată desfăcute?
CerințăExercițiul 3.1.2 Centura albă
Un cub este tăiat pe muchii și întins pe masă. Sunt toate cele 6 figuri ale desfășurării congruente între ele? Justifică.
Indicii
1Ce formă are fiecare față a cubului?
2Ce latură are fiecare dintre aceste pătrate?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.3 · 15 din 21
Banda laterală are două dimensiuni: una merge de jur împrejurul bazei, cealaltă urcă pe perete.
CerințăExercițiul 3.1.3 Centura albă
Lățimea benzii laterale a unei prisme drepte este egală cu:
Indicii
1Banda este alcătuită din pereții prismei, puși în rând. Ce dimensiune a unui perete rămâne aceeași în tot rândul?
2Pe lungimea benzii se adună laturile bazei. Pe lățime nu se adună nimic.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.1 · 16 din 21
Nu e nevoie să știi forma pe de rost. Pliază în minte: în ce se pliază pătratele din linie și unde cad cele două rămase?
CerințăExercițiul 3.2.1 Centura albă
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 2 stau patru pătrate, în coloanele 1, 2, 3 și 4; pe linia 1 stă un pătrat, în coloana 2; pe linia 3 stă un pătrat, în coloana 3. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Desenează figura pe un caroiaj, pătrat cu pătrat.
2Începe cu cele patru pătrate din linie: în ce se pliază ele?
3Cele două pătrate rămase sunt de aceeași parte a liniei, sau de părți diferite?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.2 · 17 din 21
Pliază în minte, începând cu linia lungă de pătrate. Unde ajunge fiecare?
CerințăExercițiul 3.2.2 Centura albă
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 1 stau cinci pătrate, în coloanele 1, 2, 3, 4 și 5, iar pe linia 2 stă un pătrat, în coloana 3. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Pliază întâi primele patru pătrate din linie: ce formează ele?
2Unde ajunge al cincilea pătrat?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.3 · 18 din 21
Cum recunoști o desfășurare bună? Plierea însăși îți spune.
CerințăExercițiul 3.2.3 Centura albă
Pliezi o figură plană ca să obții un corp. Ce trebuie să se întâmple ca figura să fie o desfășurare bună a corpului?
Indicii
1Gândește-te la ce se întâmplă cu marginile tăiate când pliezi.
2Ce nu are voie să se întâmple cu două fețe care ajung în același loc?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.1 · 19 din 21
Cortul de campanie este o prismă culcată pe o față laterală. Privește-l din față și vezi ce poligon apare.
CerințăExercițiul 4.1.1 Centura albă
Un cort clasic de campanie, cu două pante, are forma unei prisme drepte culcate pe o față laterală. Cum se numește prisma, după forma bazei ei?
Indicii
1Privește cortul din față, de la intrare: ce figură vezi?
2Câte laturi are figura aceea?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.2 · 20 din 21
Unitatea de măsură se alege după mărimea lucrului: nu măsori un bloc în milimetri.
CerințăExercițiul 4.1.2 Centura albă
Ce unitate de măsură este cea mai potrivită pentru înălțimea unui bloc cu zece etaje?
Indicii
1Cam cât de înalt este un bloc cu zece etaje: câțiva centimetri, câțiva metri sau zeci de metri?
2Alege unitatea care dă un număr simplu, nici uriaș, nici mai mic decât 1.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.3 · 21 din 21
Pe cutii, dimensiunile se scriu una după alta, fără să-ți spună care este înălțimea. O afli din felul în care stă cutia.
CerințăExercițiul 4.1.3 Centura albă
Pe eticheta unei cutii scrie: 26 × 14 × 9 cm. Cutia este așezată pe masă pe cea mai mică dintre fețele ei. Cât măsoară înălțimea cutiei așezate astfel?
Indicii
1Care două dintre dimensiuni dau cea mai mică față?
2Ce dimensiune rămâne pentru înălțime?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura galbenă
- Calculul standard: diagonala din dimensiuni, dimensiunile benzii laterale, muchia din diagonală, drumul invers.
- Treizeci și una de probleme; fiecare cere doi-trei pași, ca la examen.
- aproximativ 31 ecrane
Începe Centura galbenă
Ce faci aici: Rezolvi problemele pe rând și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.4 · 1 din 31
Aici pleci de la muchii și ajungi la bază: regula numărătorii merge și invers.
CerințăExercițiul 1.1.4 Centura galbenă
O prismă dreaptă are 27 de muchii. Câte laturi are baza ei?
Indicii
1Câte muchii are o prismă a cărei bază are n laturi?
2Dacă 3 ori un număr dă 27, cum afli numărul?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.5 · 2 din 31
Trei numere de aflat, toate din același n. Începe cu n.
CerințăExercițiul 1.1.5 Centura galbenă
Prisma dreaptă din desen are ca bază un heptagon. Completează: câte vârfuri, câte muchii și câte fețe are?
Indicii
1Începe cu n: câte laturi are un heptagon?
2Folosește pe rând 2n, 3n și n + 2.
3La fețe, gândește-te și la cele două baze.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.6 · 3 din 31
O sârmă, bucată cu bucată, câte una pentru fiecare muchie. Mai întâi numeri muchiile, apoi le măsori.
CerințăExercițiul 1.1.6 Centura galbenă
Scheletul unei prisme drepte se face din sârmă, câte o bucată pentru fiecare muchie. Baza este un triunghi echilateral cu latura de 4 cm, iar înălțimea prismei este de 6 cm. Ce lungime totală de sârmă este nevoie?
Indicii
1Câte muchii are în total prisma? Dintre ele, câte sunt ale bazelor și câte sunt laterale?
2Muchiile bazelor au latura triunghiului, cele laterale au înălțimea prismei.
3Calculează separat cele două grupe de muchii, apoi adună.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.1.7 · 4 din 31
Două reguli în aceeași ecuație: scrii vârfurile și fețele cu n, apoi le aduni.
CerințăExercițiul 1.1.7 Centura galbenă
Numărul vârfurilor plus numărul fețelor unei prisme drepte este 20. Câte laturi are baza prismei?
Indicii
1Scrie vârfurile și fețele în funcție de n.
2Adună cele două expresii și egalează suma cu 20.
3Rezolvă ecuația obținută și verifică pe numere.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.4 · 5 din 31
Din lungimea totală scazi întâi ce știi sigur, apoi împarți ce rămâne la numărul muchiilor care au aceeași lungime.
CerințăExercițiul 1.2.4 Centura galbenă
Scheletul unei prisme drepte regulate, cu baza triunghi echilateral, este făcut din 66 cm de sârmă, câte o bucată pentru fiecare muchie. Fiecare muchie laterală are 8 cm. Ce lungime are latura bazei?
Indicii
1Câte muchii laterale are prisma, și ce lungime au împreună?
2Scade din 66 lungimea muchiilor laterale: ce rămâne pentru bazele de jos și de sus?
3Câte muchii au cele două baze la un loc?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.5 · 6 din 31
Uită-te la un perete al prismei: două dintre laturile lui vin chiar din celelalte date ale problemei.
CerințăExercițiul 1.2.5 Centura galbenă
Prisma dreaptă regulată din desen are ca bază un hexagon regulat cu latura de 5 cm, iar înălțimea ei este de 10 cm. Completează: câte fețe laterale are, cât măsoară latura de jos a unei fețe laterale și cât măsoară latura ei verticală.
Indicii
1Câte laturi are un hexagon? Atâtea fețe laterale are prisma.
2Cu ce muchie a bazei se sprijină un perete pe baza de jos?
3Latura verticală a peretelui este muchia laterală: cu ce se mai numește ea?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.6 · 7 din 31
Pornești de la vârfuri, afli baza, apoi îi dai numele.
CerințăExercițiul 1.2.6 Centura galbenă
O prismă dreaptă regulată are 14 vârfuri. Cum se numește ea, după forma bazei?
Indicii
1Cu n laturi la bază, câte vârfuri are prisma?
2Dacă 2n = 14, cât este n?
3După ce afli n, caută numele poligonului cu n laturi.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 1.2.7 · 8 din 31
Aceeași idee ca la sârmă, dar acum baza e pătrat: socotește separat muchiile bazelor și muchiile laterale.
CerințăExercițiul 1.2.7 Centura galbenă
Scheletul unei prisme drepte regulate cu baza pătrat este făcut din 100 cm de sârmă. Latura bazei este de 6 cm. Ce înălțime are prisma?
Indicii
1Câte muchii au cele două baze la un loc, și cât măsoară fiecare?
2Ce lungime de sârmă rămâne pentru muchiile laterale?
3Împarte restul la numărul muchiilor laterale.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.4 · 9 din 31
Diagonala unei fețe se vede ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
CerințăExercițiul 2.1.4 Centura galbenă
Baza unui paralelipiped dreptunghic este un dreptunghi cu laturile de 20 cm și 21 cm. Cât măsoară diagonala bazei?
Indicii
1Desenează dreptunghiul și diagonala lui: ce fel de triunghi se formează?
2Ce spune teorema lui Pitagora despre pătratul ipotenuzei?
3Calculează 20² + 21² și caută numărul care înmulțit cu el însuși dă rezultatul.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.5 · 10 din 31
Aici cauți diagonala care străbate corpul, de la un colț de jos la colțul opus de sus. Pornești de la cele trei dimensiuni.
CerințăExercițiul 2.1.5 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 6 cm, 3 cm și 2 cm. Calculează lungimea diagonalei corpului.
Indicii
1Care sunt cele trei dimensiuni ale cutiei?
2Formula diagonalei corpului adună pătratele celor trei dimensiuni.
3La sfârșit scoți rădăcina pătrată.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.6 · 11 din 31
Acum cunoști diagonala și îți lipsește o dimensiune. Formula merge și în sens invers.
CerințăExercițiul 2.1.6 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are baza un pătrat cu latura de 4 cm, iar diagonala lui măsoară 9 cm. Ce înălțime are paralelipipedul?
Indicii
1Scrie formula diagonalei corpului, cu înălțimea c necunoscută.
2Din pătratul diagonalei scade pătratele celor două laturi ale bazei.
3Ce număr înmulțit cu el însuși dă ce ți-a rămas?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.1.7 · 12 din 31
Prima diagonală te ajută la a doua. Ai grijă ce dimensiuni intră în fiecare triunghi.
CerințăExercițiul 2.1.7 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 8 cm, 9 cm și 12 cm. Calculează: diagonala feței cu dimensiunile de 9 cm și 12 cm, apoi diagonala corpului.
Indicii
1La a) lucrezi doar cu fața de 9 cm pe 12 cm; dimensiunea de 8 cm nu intră.
2La b) folosește toate cele trei dimensiuni: d² = a² + b² + c².
3Poți verifica la b): pătratul diagonalei feței plus pătratul dimensiunii rămase.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.4 · 13 din 31
Fața unui cub este un pătrat, iar diagonala pătratului o știi din clasa a VII-a.
CerințăExercițiul 2.2.4 Centura galbenă
Un cub are muchia de 11 cm. Cât măsoară diagonala unei fețe a cubului? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Fața este un pătrat cu latura de 11 cm. Ce triunghi dreptunghic formează două laturi și diagonala?
2Aplică teorema lui Pitagora și simplifică radicalul.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.5 · 14 din 31
Diagonala cubului străbate corpul, de la un colț de jos la colțul opus de sus. Muchia este tot ce îți trebuie.
CerințăExercițiul 2.2.5 Centura galbenă
Un cub are muchia de 12 cm. Cât măsoară diagonala cubului? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Cele trei dimensiuni ale cubului sunt egale. Care este fiecare?
2Pune-le în formula diagonalei corpului.
3Scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.6 · 15 din 31
Acum diagonala ți se dă, iar muchia o cauți. Pornești de la regula pe care o știi, a√3.
CerințăExercițiul 2.2.6 Centura galbenă
Diagonala unui cub măsoară 9√3 cm. Cât măsoară muchia cubului?
Indicii
1Scrie diagonala cubului cu muchia a, apoi egaleaz-o cu 9√3.
2În ambii membri apare același factor. Ce poți face cu el?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 2.2.7 · 16 din 31
Mai întâi afli muchia din diagonala feței, abia apoi suma muchiilor.
CerințăExercițiul 2.2.7 Centura galbenă
Diagonala unei fețe a unui cub măsoară 6√2 cm. Cât este suma lungimilor tuturor muchiilor cubului?
Indicii
1Cum arată diagonala unei fețe a cubului cu muchia a?
2Află a, apoi gândește-te câte muchii are cubul.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.4 · 17 din 31
Lungimea benzii este cât perimetrul bazei. Nu uita câte laturi are un hexagon.
CerințăExercițiul 3.1.4 Centura galbenă
Prisma dreaptă regulată din desen are baza un hexagon regulat cu latura de 4 cm, iar înălțimea de 9 cm. Banda ei laterală este un dreptunghi. Care sunt dimensiunile lui?
Indicii
1Care este perimetrul unui hexagon regulat cu latura de 4 cm?
2Lățimea benzii este chiar înălțimea prismei.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.5 · 18 din 31
Acum ai banda și cauți prisma. Citește bine care dimensiune a benzii vine de la bază.
CerințăExercițiul 3.1.5 Centura galbenă
Banda laterală a unei prisme drepte regulate, cu baza triunghi echilateral, este un dreptunghi cu lungimea de 36 cm și lățimea de 10 cm. Care este latura bazei și care este înălțimea prismei?
Indicii
1Care dintre cele două dimensiuni ale benzii este perimetrul bazei?
2Cum afli latura unui triunghi echilateral din perimetrul lui?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.6 · 19 din 31
Cutiile de carton se croiesc dintr-o foaie desfășurată. Tu începi cu banda laterală.
CerințăExercițiul 3.1.6 Centura galbenă
Să zicem că o cutie de ceai are forma unui paralelipiped dreptunghic, cu baza un dreptunghi de 8 cm pe 5 cm și înălțimea de 12 cm, iar banda ei laterală se taie dintr-o singură fâșie de carton. Ce dimensiuni are fâșia?
Indicii
1Câte laturi are baza, și ce lungimi au?
2Lungimea fâșiei este perimetrul bazei; lățimea este înălțimea cutiei.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.1.7 · 20 din 31
Socotește pe pătrate: câte încap pe lungime, câte pe lățime.
CerințăExercițiul 3.1.7 Centura galbenă
Un cub cu muchia de 6 cm se desface în șase pătrate: patru în linie, iar celelalte două lipite de același pătrat al liniei, unul deasupra și unul dedesubt. Dreptunghiul cel mai mic în care încape toată desfășurarea are două dimensiuni. Care sunt ele?
Indicii
1Desenează cele șase pătrate și numără câte stau în linie.
2Pe lățime, câte pătrate se află unul peste altul în coloana pătratului care are două vecine?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.4 · 21 din 31
Pe cutie, furnica nu poate merge prin aer. Dacă desfaci în plan cele două fețe pe care merge, drumul ei devine un segment.
CerințăExercițiul 3.2.4 Centura galbenă
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = 5 cm, BC = 3 cm și AA′ = 15 cm. O furnică pornește din vârful A și vrea să ajungă în vârful C′, mergând numai pe fața ABB′A′ și apoi pe fața BCC′B′. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al furnicii pe aceste două fețe?
Indicii
1Desenează cele două fețe una lângă alta, lipite pe muchia comună. Ce dreptunghi obții?
2Drumul cel mai scurt din plan este un segment. Între ce puncte?
3Segmentul este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.5 · 22 din 31
Pe un cub, toate drumurile peste două fețe vecine ies la fel de lungi. Alege unul și desfă-l.
CerințăExercițiul 3.2.5 Centura galbenă
Pe un cub cu muchia de 6 cm, o furnică merge de la vârful A la vârful opus C′, numai pe două fețe vecine, trecând peste una dintre muchii. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al ei? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Desfă două fețe vecine ale cubului: ce dreptunghi obții?
2Drumul cel mai scurt este diagonala acestui dreptunghi.
3Calculează diagonala cu teorema lui Pitagora și scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.6 · 23 din 31
Aici pornești de la drum și cauți o dimensiune. Pitagora merge și în sens invers.
CerințăExercițiul 3.2.6 Centura galbenă
După ce a desfășurat în plan două fețe vecine ale unei cutii, Ana a măsurat cel mai scurt drum al unei furnici de la un vârf al cutiei la vârful opus, peste cele două fețe: 41 cm. Una dintre dimensiunile dreptunghiului format de cele două fețe desfășurate este de 9 cm. Cât măsoară cealaltă dimensiune?
Indicii
1Ce fel de segment este drumul față de dreptunghiul desfășurat?
2Scrie teorema lui Pitagora cu necunoscuta x și află x².
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 3.2.7 · 24 din 31
De data asta furnica urcă pe baza de jos și apoi pe un perete. Atenție la muchia pe care se lipesc cele două fețe.
CerințăExercițiul 3.2.7 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 10 cm, BC = 9 cm și AA′ = 15 cm. O furnică merge din A în C′, mai întâi pe baza ABCD și apoi pe fața CDD′C′, care se lipesc pe muchia CD. Desfășurând cele două fețe în același plan, ce lungime are cel mai scurt drum al furnicii pe aceste două fețe?
Indicii
1Desenează cele două fețe lipite pe muchia CD. Ce dreptunghi mare obții?
2Una dintre laturile lui este CD. Cealaltă se obține punând una după alta două dimensiuni ale cutiei.
3A și C′ sunt vârfuri opuse ale dreptunghiului mare.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.4 · 25 din 31
Containerul este un paralelipiped uriaș. Muchiile lui se împart în trei grupe, câte patru.
CerințăExercițiul 4.1.4 Centura galbenă
Un container maritim de 20 de picioare are, pe dinafară, aproximativ 6,06 m lungime, 2,44 m lățime și 2,59 m înălțime. Un tehnician vrea să lipească bandă reflectorizantă pe toate muchiile containerului. Ce lungime totală de bandă îi trebuie, în metri?
Indicii
1Câte muchii are un paralelipiped dreptunghic, și câte sunt de fiecare lungime?
2Adună mai întâi câte o muchie de fiecare fel.
3Înmulțește suma cu numărul de muchii de fiecare fel.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.5 · 26 din 31
Cărămizile se măsoară în milimetri, dar stiva o vrei în centimetri. Ai grijă la unitate.
CerințăExercițiul 4.1.5 Centura galbenă
O cărămidă plină are dimensiunile de 240 mm, 115 mm și 63 mm. Se așază 12 cărămizi una peste alta, fiecare pe fața ei cea mai mare. Cât de înaltă este stiva, în centimetri?
Indicii
1Care sunt dimensiunile feței pe care stă cărămida?
2Ce dimensiune rămâne pentru înălțime?
3Înmulțește cu 12, apoi transformă milimetrii în centimetri.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.6 · 27 din 31
La scara 1 : 4, fiecare lungime de pe desen este de patru ori mai mică decât în realitate. Mai întâi afli banda în mărime naturală.
CerințăExercițiul 4.1.6 Centura galbenă
Ana desenează banda laterală a unei cutii la scara 1 : 4. Cutia este o prismă dreaptă cu baza un pătrat cu latura de 12 cm și cu înălțimea de 30 cm. Ce dimensiuni are banda pe desen?
Indicii
1Află întâi dimensiunile benzii în mărime naturală.
2Scara 1 : 4 înseamnă că fiecare lungime se împarte la 4.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Exercițiul 4.1.7 · 28 din 31
Fâșia se taie dintr-o bucată: lungimea ei merge în jurul bazei triunghiulare.
CerințăExercițiul 4.1.7 Centura galbenă
Să zicem că un cort are forma unei prisme drepte culcate, cu baza un triunghi isoscel cu laturile de 1,5 m, 1,5 m și 2 m, și cu lungimea de 2,2 m, iar pânza celor trei fețe laterale (cele două pante și podeaua) se croiește dintr-o singură fâșie dreptunghiulară, lată de 2,2 m. Ce lungime are fâșia, în metri?
Indicii
1Ce fețe ale prismei sunt făcute din pânză: bazele sau fețele laterale?
2Lungimea fâșiei merge în jurul bazei triunghiulare.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Fixarea noțiunii 1 · exercițiul 1 · 29 din 31
Înainte să trecem mai departe, un exercițiu care leagă numărătoarea de numele prismei.
CerințăFixarea noțiunii 1 · exercițiul 1 Centura galbenă
Într-o prismă dreaptă, numărul muchiilor este cu 8 mai mare decât numărul vârfurilor. Cum se numește prisma, după forma bazei?
Indicii
1Scrie numărul muchiilor și numărul vârfurilor cu n.
2Cu cât întrec muchiile vârfurile, în funcție de n?
3După ce afli n, caută numele poligonului cu n laturi.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 · 30 din 31
Baza este un pătrat, deci două dintre dimensiuni sunt egale. Restul este formula pe care o știi.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 1 Centura galbenă
Un paralelipiped dreptunghic are baza un pătrat cu latura de 6 cm și înălțimea de 7 cm. Cât măsoară diagonala lui?
Indicii
1Care sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului?
2Adună pătratele dimensiunilor și scoate rădăcina.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura galbenă· Lecția 15
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 · 31 din 31
Banda laterală se înfășoară în jurul bazei: lungimea ei este perimetrul. Împarte-l în părți egale.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 1 Centura galbenă
Un dreptunghi de carton cu dimensiunile de 45 cm pe 18 cm devine banda laterală a unei prisme drepte regulate, cu baza un pentagon regulat, rulat pe lungime. Care este latura bazei și care este înălțimea prismei?
Indicii
1Care dintre cele două dimensiuni ale dreptunghiului este perimetrul bazei?
2Câte laturi egale are un pentagon regulat?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura verde
- Două idei într-o problemă, cu justificare: drumul furnicii, recunoașterea unei desfășurări cu argument, cutia care încape în altă cutie.
- Douăzeci și două de probleme; la fiecare scrii și de ce.
- aproximativ 22 ecrane
Începe Centura verde
Ce faci aici: Rezolvi problemele pe rând și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 1.1.8 · 1 din 22
Un coleg a dat două numere. Vezi dacă ele se potrivesc la aceeași prismă.
CerințăExercițiul 1.1.8 Centura verde
Un coleg spune că a desenat o prismă dreaptă cu 20 de vârfuri și 27 de muchii. Are dreptate? Justifică.
Indicii
1Din numărul vârfurilor, ce valoare iese pentru n?
2Din numărul muchiilor, ce valoare iese pentru n? Se potrivesc cele două?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 1.1.9 · 2 din 22
Numărătoarea te duce la baza prismei, iar înălțimea la lungimea muchiilor laterale. Pune-le cap la cap.
CerințăExercițiul 1.1.9 Centura verde
O prismă dreaptă are 30 de muchii. Suma lungimilor muchiilor ei laterale este de 60 cm. Află câte muchii laterale are prisma și care este înălțimea ei.
Indicii
1Din numărul total de muchii, află câte laturi are baza.
2Câte muchii laterale are prisma? Ce lungime are fiecare?
3Suma lungimilor muchiilor laterale se împarte la numărul lor.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 1.2.8 · 3 din 22
Un coleg a prins o idee bună pe jumătate. Caută ce mai trebuie adăugat ca să fie adevărată.
CerințăExercițiul 1.2.8 Centura verde
Un coleg spune: „Orice prismă dreaptă regulată cu baza pătrat este cub.” Are dreptate? Justifică.
Indicii
1Ce cere în plus un cub față de o prismă care are doar baza pătrat?
2Cum ar trebui să fie înălțimea față de latura bazei?
3Încearcă să găsești o prismă cu baza pătrat al cărei perete nu este pătrat.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 1.2.9 · 4 din 22
Aici regularitatea bazei nu ajunge singură. Vezi ce mai trebuie știut despre pereți.
CerințăExercițiul 1.2.9 Centura verde
Baza unei prisme drepte regulate este un hexagon regulat cu latura de 4 cm, iar înălțimea prismei este tot de 4 cm. Sunt toate fețele laterale ale prismei pătrate? Justifică.
Indicii
1Ce dimensiuni are o față laterală: de unde vine fiecare dintre ele?
2La prisma regulată, laturile bazei sunt egale între ele. Ce înseamnă asta pentru pereți?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 2.1.8 · 5 din 22
Cutia e lungă, bățul și mai lung. Locul cel mai lung din cutie este de la un colț la colțul opus.
CerințăExercițiul 2.1.8 Centura verde
O cutie are în interior dimensiunile de 90 cm, 60 cm și 40 cm. Un băț drept, subțire, are lungimea de 1,15 m. Poate fi așezat în cutie pe diagonala ei, de la un colț de jos la colțul opus de sus? Justifică.
Indicii
1Bățul și dimensiunile cutiei trebuie scrise în aceeași unitate.
2Care este lungimea segmentului dintre două colțuri opuse ale cutiei?
3Dacă nu vrei să scoți rădăcina, compară pătratele celor două lungimi.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 2.1.9 · 6 din 22
Dimensiunile sunt legate între ele prin proporții, iar diagonala le leagă și mai strâns. Pune un singur număr necunoscut, k.
CerințăExercițiul 2.1.9 Centura verde
Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporționale cu 1, 2 și 2, iar diagonala corpului măsoară 18 cm. Care este suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului?
Indicii
1Notează dimensiunile cu k, 2k și 2k.
2Pune-le în formula diagonalei corpului și află k.
3Ai găsit dimensiunile? Câte muchii are fiecare dimensiune?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 2.2.8 · 7 din 22
Aici contează și zecimile: cele două lungimi sunt foarte apropiate. Compară pătratele, nu aproximările.
CerințăExercițiul 2.2.8 Centura verde
O umbrelă pliată are 52 cm lungime. O cutie are forma unui cub cu muchia interioară de 30 cm. Poate fi așezată umbrela în cutie pe diagonala cubului, de la un colț de jos la colțul opus de sus? Justifică.
Indicii
1Cu ce lungime din cub trebuie comparată umbrela?
2Calculează pătratul diagonalei și pătratul lungimii umbrelei, și compară-le.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 2.2.9 · 8 din 22
Trei segmente, trei fețe diferite. Vezi ce au în comun, apoi socotește.
CerințăExercițiul 2.2.9 Centura verde
În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia de 5 cm se unesc vârfurile A, B′ și D′, ca să se formeze triunghiul AB′D′. Calculează perimetrul acestui triunghi. Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Pe ce fețe ale cubului stau segmentele AB′, AD′ și B′D′?
2Ce fel de segment este fiecare dintre ele pentru fața lui?
3Câte laturi are triunghiul, și cât măsoară fiecare?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 3.1.8 · 9 din 22
Un dreptunghi încape în altul dacă încap și lungimea, și lățimea. Află întâi ce dimensiuni are banda.
CerințăExercițiul 3.1.8 Centura verde
Se vrea decuparea benzii laterale a unei prisme hexagonale regulate, cu latura bazei de 8 cm și înălțimea de 12 cm, dintr-o fâșie dreptunghiulară de carton lungă de 50 cm și lată de 12 cm. Se poate? Justifică.
Indicii
1Calculează întâi lungimea și lățimea benzii.
2Compară lungime cu lungime și lățime cu lățime.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 3.1.9 · 10 din 22
Banda îți dă latura bazei, iar suma muchiilor îți dă înălțimea. Pune-le cap la cap.
CerințăExercițiul 3.1.9 Centura verde
Banda laterală a unei prisme drepte regulate, cu baza triunghi echilateral, are lungimea de 24 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este de 90 cm. Cât este lățimea benzii laterale?
Indicii
1Din lungimea benzii afli latura bazei.
2Scade din 90 muchiile bazelor: ce rămâne pentru muchiile laterale?
3Lățimea benzii este înălțimea prismei, adică lungimea unei muchii laterale.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 3.2.8 · 11 din 22
Furnica poate trece peste fețe vecine în mai multe feluri, dar ies doar trei lungimi de drum. Calculează-le pe toate și vezi care e cea mai scurtă.
CerințăExercițiul 3.2.8 Centura verde
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 5 cm și 12 cm. O furnică vrea să ajungă de la un vârf la vârful opus, mergând pe suprafața cutiei, pe două fețe vecine. Drumul poate avea trei lungimi, după perechea de fețe aleasă. Cât măsoară cel mai scurt dintre ele?
Indicii
1Pentru fiecare pereche de fețe vecine, desfă-le în plan și vezi ce dreptunghi obții.
2Într-un astfel de dreptunghi, o latură este o dimensiune, iar cealaltă este suma celorlalte două.
3Calculează cele trei diagonale, sau pătratele lor, și compară-le.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 3.2.9 · 12 din 22
Aici șase pătrate sunt tot șase pătrate, dar felul în care sunt lipite contează. Pliază în minte.
CerințăExercițiul 3.2.9 Centura verde
Șase pătrate congruente sunt așezate într-un caroiaj: pe linia 1 stau patru pătrate, în coloanele 1, 2, 3 și 4, iar pe linia 2 stau două pătrate, în coloanele 1 și 4. Se poate plia această figură într-un cub? Justifică.
Indicii
1Pliază întâi cele patru pătrate din linia 1 într-un inel.
2Cele două pătrate rămase sunt de aceeași parte a inelului sau de părți opuse? Ce înseamnă asta pentru locul în care cad?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 4.1.8 · 13 din 22
Aici piesele trebuie și croite, și așezate pe foaie. Începe cu dimensiunile lor.
CerințăExercițiul 4.1.8 Centura verde
Se vrea croirea unei cutii închise, cu baza pătrat cu latura de 10 cm și înălțimea de 8 cm, dintr-o foaie dreptunghiulară de carton de 50 cm pe 20 cm. Banda laterală se taie dintr-o singură bucată, iar cele două baze separat; toate piesele sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu ale foii și nu se suprapun. Se poate? Justifică.
Indicii
1Calculează întâi dimensiunile benzii laterale și ale unei baze.
2Pune banda în lungul foii. Ce loc rămâne?
3Încape în locul rămas câte o bază, sau amândouă alăturate?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Exercițiul 4.1.9 · 14 din 22
Din numărul vârfurilor ajungi la bază, iar din bază la bandă. Fiecare pas folosește unul dintre lucrurile pe care le știi.
CerințăExercițiul 4.1.9 Centura verde
Să zicem că ambalajul unui parfum are forma unei prisme drepte regulate cu 16 vârfuri și latura bazei de 3 cm. Câte laturi are baza, și ce lungime are banda laterală a ambalajului?
Indicii
1Câte vârfuri are o prismă a cărei bază are n laturi?
2Lungimea benzii este perimetrul bazei: câte laturi egale are ea?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 1 · exercițiul 2 · 15 din 22
O afirmație despre prismele regulate. Spune da sau nu și arată de ce.
CerințăFixarea noțiunii 1 · exercițiul 2 Centura verde
Într-o prismă dreaptă regulată, toate fețele laterale sunt congruente între ele? Justifică.
Indicii
1Ce dimensiuni are o față laterală: de unde vine fiecare?
2Ce știi despre laturile unui poligon regulat?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 1 · exercițiul 3 · 16 din 22
Muchii egale nu înseamnă mereu cub. Caută un caz care contrazice afirmația.
CerințăFixarea noțiunii 1 · exercițiul 3 Centura verde
O prismă dreaptă are baza un patrulater și toate cele 12 muchii egale. Este ea în mod sigur un cub? Justifică.
Indicii
1Ce fel de patrulater are toate laturile egale?
2Este orice astfel de patrulater un pătrat?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 · 17 din 22
Două corpuri, aceeași diagonală. Calculează diagonala unuia, apoi folosește-o pentru celălalt.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 2 Centura verde
Un cub cu muchia de 6 cm și un paralelipiped dreptunghic cu baza un pătrat cu latura de 2 cm au aceeași diagonală. Cât măsoară înălțimea paralelipipedului?
Indicii
1Calculează pătratul diagonalei cubului.
2Scrie pătratul diagonalei paralelipipedului, cu înălțimea h necunoscută, și egalează cele două pătrate.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 · 18 din 22
Un fel de „oare se poate?”, la care răspunzi cu formula, nu cu desenul.
CerințăFixarea noțiunii 2 · exercițiul 3 Centura verde
Poate fi diagonala unui paralelipiped dreptunghic mai scurtă decât cea mai mare dintre dimensiunile lui? Justifică.
Indicii
1Scrie formula diagonalei și compară-i pătratul cu pătratul celei mai mari dimensiuni.
2Ce semn au a² și b²?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 · 19 din 22
Două drumuri între aceleași vârfuri: unul prin aer, altul pe cutie. Compară-le.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 2 Centura verde
Pe un cub cu muchia de 10 cm, o furnică merge de la vârful A la vârful opus C′, pe suprafața cubului. Poate fi lungimea drumului ei cel mai scurt egală cu diagonala cubului? Justifică.
Indicii
1Calculează diagonala cubului cu muchia de 10 cm.
2Desfă două fețe vecine și calculează drumul furnicii pe ele. Compară cele două lungimi.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Fixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 · 20 din 22
Desfășurarea trebuie să încapă pe foaie. Pune pătrat lângă pătrat și măsoară.
CerințăFixarea noțiunii 3 · exercițiul 3 Centura verde
Desfășurarea în cruce a unui cub cu muchia de 5 cm are patru pătrate în linie, iar celelalte două lipite de același pătrat al liniei, unul deasupra și unul dedesubt. Se poate desena această desfășurare pe o foaie de 22 cm pe 16 cm? Justifică.
Indicii
1Câte pătrate stau în linie, și câte într-o coloană?
2Compară lungimea cu lungimea și lățimea cu lățimea foii.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Nivel Centura verde – problema 1 · 21 din 22
Centura verde
Sârma și prisma hexagonală
Se spune că o prismă se recunoaște după muchiile ei. Aici ai o sârmă de lungime cunoscută și o legătură între cele două feluri de muchii. Înainte să calculezi, ghicește: muchiile bazelor sunt mai multe sau mai puține decât cele laterale?
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrie lungimea totală cu o singură necunoscută, latura bazei. Muchia laterală se exprimă prin ea, iar numărul fiecărui fel de muchii îl ai din regula numărătorii.
CerințăNivel Centura verde – problema 1 Centura verde
Suma lungimilor tuturor muchiilor unei prisme drepte regulate, cu baza hexagon regulat, este de 120 cm. Fiecare muchie laterală este de două ori mai lungă decât latura bazei. Care este latura bazei și care este înălțimea prismei?
Indicii
1Notează latura bazei cu a. Cât este, atunci, o muchie laterală?
2Câte muchii are prisma hexagonală în bază și câte laterale?
3Scrie suma tuturor muchiilor cu a și egal-o cu 120.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura verde· Lecția 15
Nivel Centura verde – problema 1 · 22 din 22
Centura verde
Diagonala corpului cât dublul diagonalei bazei
Cutia are baza dreptunghiulară, iar diagonala corpului este dublul diagonalei bazei. Ghicește înainte să calculezi: înălțimea va fi mai mare sau mai mică decât diagonala bazei?
Ideea problemei
Ideea problemei: Diagonala bazei, înălțimea și diagonala corpului formează un triunghi dreptunghic. Află mai întâi diagonala bazei, apoi aplică teorema lui Pitagora în acel triunghi.
CerințăNivel Centura verde – problema 1 Centura verde
Baza unui paralelipiped dreptunghic este un dreptunghi cu laturile de 12 cm și 16 cm. Diagonala corpului este de două ori mai mare decât diagonala bazei. Cât măsoară înălțimea paralelipipedului? Scrie rezultatul exact, cu radical.
Indicii
1Calculează întâi diagonala bazei.
2Diagonala bazei, înălțimea și diagonala corpului formează un triunghi dreptunghic: care dintre ele este ipotenuza?
3Scrie h² ca diferență de pătrate și scoate pătratul perfect de sub radical.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura albastră
- Probleme cu o idee ascunsă, pe care o găsești singur: de exemplu, cel mai lung băț care încape într-o cutie, sau câte cuburi mici au exact două fețe vopsite.
- Șase probleme; fiecare cere să te gândești un pic înainte de a calcula.
- aproximativ 6 ecrane
Începe Centura albastră
Ce faci aici: Rezolvi problemele pe rând și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 2 · 1 din 6
Centura albastră
Scheletul din sârmă de 60 cm
O sârmă de 60 cm se îndoaie și se lipește ca să facă scheletul unei prisme cu baza pătrat. Lungimile muchiilor sunt numere întregi de centimetri. Ghicește: câte prisme diferite se pot face? Una dintre ele are un nume special; caută-o.
Ideea problemei
Ideea problemei: Scrie lungimea totală cu două necunoscute, latura bazei a și înălțimea h. Din ecuație scoate h în funcție de a și vezi pentru ce valori ale lui a iese h întreg și pozitiv.
CerințăNivel Centura albastră – problema 2 Centura albastră
Un meșter face scheletul unei prisme drepte regulate cu baza pătrat dintr-o sârmă de 60 cm, folosind toată sârma, câte o bucată pentru fiecare muchie. Latura bazei și înălțimea prismei sunt numere întregi de centimetri. Câte dintre prismele posibile nu sunt cuburi?
Indicii
1Scrie lungimea sârmei folosind latura bazei a și înălțimea h. Câte muchii sunt de fiecare fel?
2Scoate-l pe h în funcție de a. Pentru ce valori ale lui a iese h întreg și pozitiv?
3Printre soluții, caută pe cea în care prisma devine cub.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 2 · 2 din 6
Centura albastră
Cuburile de pe muchii
Un bloc de lemn vopsit pe toate fețele, apoi tăiat în cuburi mici. Unele cuburi n-au nicio față vopsită, altele au una, două sau trei. Ghicește: cuburile cu trei fețe vopsite stau în colțuri. Câte colțuri are blocul? Apoi mergi mai departe, spre cele cu două.
Ideea problemei
Ideea problemei: Cuburile cu exact două fețe vopsite stau pe muchii, dar nu în colțuri. Numără-le pe fiecare muchie, fără cele două cuburi de la capete.
CerințăNivel Centura albastră – problema 2 Centura albastră
Un bloc de lemn în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de 5 cm, 4 cm și 3 cm, este vopsit pe toate fețele, apoi tăiat în cuburi cu muchia de 1 cm. Câte dintre aceste cuburi au exact două fețe vopsite?
Indicii
1Unde stau cuburile cu două fețe vopsite: în colțuri, pe muchii sau în mijlocul unei fețe?
2Pe o muchie de lungime L stau L cuburi. Câte dintre ele sunt colțuri?
3Câte muchii are blocul de fiecare dimensiune?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 3 · 3 din 6
Centura albastră
Cea mai lungă bară din cutie
O cutie de lemn lungă și o bară pe care vrei s-o transporți cât mai lungă, fără s-o îndoi. Înainte de orice calcul, ghicește: bara cea mai lungă stă paralel cu muchia cea mai lungă a cutiei sau altfel?
Ideea problemei
Ideea problemei: Cel mai lung segment care încape într-o cutie unește două colțuri opuse. Calculează-i lungimea, apoi caută cel mai mare număr întreg care nu o depășește.
CerințăNivel Centura albastră – problema 3 Centura albastră
O cutie de lemn are forma unui paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile interioare de 30 cm, 24 cm și 18 cm. Se vrea să se pună în ea o bară dreaptă și subțire, cât mai lungă, cu lungimea un număr întreg de centimetri. Ce lungime are cea mai lungă bară care încape?
Indicii
1Care este cel mai lung segment care poate sta în cutie?
2Calculează-i lungimea, cu formula diagonalei corpului.
3Bara trebuie să aibă lungimea un număr întreg: cel mai mare care nu depășește diagonala.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 1 · 4 din 6
Centura albastră
Firul care ocolește prisma o dată
Un fir pornește din A și ocolește o singură dată fețele laterale ale unei prisme, până ajunge în A′, deasupra lui A. Ghicește: cu cât va fi mai lung decât muchia AA′, care e drumul cel mai direct, dar fără ocol?
Ideea problemei
Ideea problemei: Taie în gând prisma de-a lungul muchiei AA′ și desfă banda laterală. Firul devine un segment în dreptunghiul benzii.
CerințăNivel Centura albastră – problema 1 Centura albastră
Un fir se înfășoară o singură dată în jurul fețelor laterale ale unei prisme drepte regulate, cu baza triunghi echilateral cu latura de 4 cm și cu înălțimea de 16 cm, pornind din vârful A și ajungând în vârful A′, aflat deasupra lui A. Care este lungimea celui mai scurt fir posibil?
Indicii
1Taie în gând prisma pe muchia AA′ și desfă banda laterală.
2Unde apar A și A′ pe bandă?
3Segmentul dintre ele este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Care sunt catetele?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 2 · 5 din 6
Centura albastră
Dreptunghiul rulat în două feluri
Un dreptunghi de carton de 40 cm pe 12 cm se rulează și capetele se lipesc, ca să iasă banda laterală a unei prisme regulate. Poți rula pe lungime sau pe lățime. Ghicește: iese o prismă joasă și lată sau una înaltă și subțire? Depinde de felul în care rulezi.
Ideea problemei
Ideea problemei: Când rulezi dreptunghiul, o latură a lui devine perimetrul bazei, iar cealaltă înălțimea. Perimetrul este numărul laturilor înmulțit cu latura bazei, care trebuie să fie număr întreg.
CerințăNivel Centura albastră – problema 2 Centura albastră
Un dreptunghi de carton cu dimensiunile de 40 cm și 12 cm se rulează, pe una dintre laturi, ca să formeze banda laterală a unei prisme drepte regulate. Latura bazei trebuie să fie un număr întreg de centimetri, iar baza are cel mult 12 laturi. Câte prisme diferite se pot obține?
Indicii
1Ce devine fiecare dintre cele două laturi ale dreptunghiului când îl rulezi?
2Perimetrul bazei regulate este n · a. Pentru ce valori ale lui n iese a întreg?
3Nu uita că poți rula și pe cealaltă latură.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura albastră· Lecția 15
Nivel Centura albastră – problema 1 · 6 din 6
Centura albastră
Câte cutii mici încap
Cutii mici într-o cutie mare, toate așezate la fel. Ghicește: va ieși un număr rotund, sau vor rămâne goluri? Gândește-te la un raft pe care așezi cărți.
Ideea problemei
Ideea problemei: Pe fiecare dimensiune a cutiei mari, câte cutii mici încap cap la cap, fără să iasă? Pe fiecare direcție faci o împărțire cu rest, iar restul se pierde. Apoi înmulțești cele trei numere.
CerințăNivel Centura albastră – problema 1 Centura albastră
O cutie de transport are în interior dimensiunile de 40 cm, 30 cm și 25 cm. În ea se așază cutii mici, de 12 cm, 7 cm și 6 cm, toate la fel orientate: muchiile de 12 cm sunt paralele cu muchia de 40 cm a cutiei mari, cele de 7 cm cu muchia de 30 cm, iar cele de 6 cm cu muchia de 25 cm. Câte cutii mici încap, cel mult?
Indicii
1Pe direcția de 40 cm, câte cutii de 12 cm încap cap la cap?
2Fă la fel pe celelalte două direcții.
3Cele trei numere formează un grilaj de cutii. Câte cutii sunt în el?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura maro· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura maro
- Două idei legate între ele: croiala optimă de carton pentru o cutie cu dimensiuni date, drumul minim cu alegerea desfășurării potrivite.
- Trei probleme mai lungi, în care o idee o pregătește pe a doua.
- aproximativ 3 ecrane
Începe Centura maro
Ce faci aici: Rezolvi problemele pe rând și apeși „Verifică”.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura maro· Lecția 15
Nivel Centura maro – problema 4 · 1 din 3
Centura maro
Proporții, muchii și diagonală
Începi cu un raport, treci printr-o sumă a muchiilor și ajungi la o diagonală. Două idei legate, una după alta; fă câte un singur lucru odată.
Ideea problemei
Ideea problemei: Cu dimensiunile 2k, 3k și 6k, suma muchiilor este 4 · (2k + 3k + 6k). Din ea afli k, apoi aplici formula diagonalei.
CerințăNivel Centura maro – problema 4 Centura maro
Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt direct proporționale cu 2, 3 și 6. Suma lungimilor tuturor muchiilor lui este 154 cm. Cât măsoară diagonala paralelipipedului?
Indicii
1Scrie dimensiunile ca 2k, 3k și 6k.
2Câte muchii are paralelipipedul de fiecare dimensiune? Scrie suma muchiilor cu k și află k.
3După ce ai dimensiunile, folosește formula diagonalei corpului.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura maro· Lecția 15
Nivel Centura maro – problema 3 · 2 din 3
Centura maro
Furnica pe cutia lungă
O cutie lungă și îngustă, ca una pentru creioane, și o furnică care trebuie să ajungă la vârful opus. Nu orice pereche de fețe vecine dă același drum, iar alegerea desfășurării potrivite este chiar problema.
Ideea problemei
Ideea problemei: Pentru fiecare pereche de fețe vecine, desfă-le în plan: drumul este diagonala unui dreptunghi cu o latură egală cu o dimensiune și cealaltă egală cu suma celorlalte două. Compară cele trei diagonale.
CerințăNivel Centura maro – problema 3 Centura maro
O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 cm, 6 cm și 24 cm. O furnică merge de la un vârf la vârful opus, pe suprafața cutiei, trecând peste două fețe vecine. Află lungimea celui mai scurt dintre cele trei drumuri.
Indicii
1După muchia peste care treci, desfășurarea dă trei dreptunghiuri diferite. Ce laturi are fiecare?
2Într-un astfel de dreptunghi, o latură este o dimensiune, iar cealaltă este suma celorlalte două.
3Calculează pătratul fiecărei diagonale și alege-o pe cea mai mică.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura maro· Lecția 15
Nivel Centura maro – problema 2 · 3 din 3
Centura maro
Cutia fără capac din foaia de carton
Croitorul de ambalaje se uită întâi pe foaie, apoi la cutie. Aici banda ia aproape toată lungimea foii, iar baza trebuie să-și găsească un loc. Ghicește: poți face cutia la fel de înaltă cât lățimea foii, 30 cm?
Ideea problemei
Ideea problemei: Banda laterală este un dreptunghi cu lungimea cât perimetrul bazei. Vezi care latură a foii o poate primi și ce loc rămâne pentru bază.
CerințăNivel Centura maro – problema 2 Centura maro
Dintr-o foaie dreptunghiulară de carton de 50 cm pe 30 cm se croiește o cutie fără capac, cu baza un pătrat cu latura de 12 cm. Banda laterală se taie dintr-o singură bucată dreptunghiulară, iar baza separat, tot dreptunghi; piesele au laturile paralele cu ale foii și nu se suprapun. Care este cea mai mare înălțime posibilă a cutiei, în număr întreg de centimetri?
Indicii
1Ce dimensiuni are banda laterală, în funcție de înălțimea h?
2Pe care latură a foii poate sta lungimea benzii?
3Ce loc rămâne pentru bază, după ce ai așezat banda?
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura neagră· Lecția 15
coperta
Exercițiile de sinteză
Centura neagră
- Pe problemele astea stau o zi întreagă și profesorii. Nu ai nevoie de ele pentru examen. Intră doar dacă vrei să vezi până unde poți ajunge, cu demonstrații complete, scrise cu toate motivele.
- Două probleme; poți să le lași deschise și să te întorci la ele mâine.
- aproximativ 2 ecrane
Intru
Ce faci aici: Alegi dacă intri acum sau te întorci mai târziu.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura neagră· Lecția 15
Nivel Centura neagră – problema 5 · 1 din 2
Centura neagră
Cele patru diagonale sunt congruente
Ai calculat diagonala unui paralelipiped. Acum arată că toate cele patru diagonale sunt la fel de lungi, fără să le calculezi pe rând, ci cu o singură idee, aplicată de patru ori.
Ideea problemei
Ideea problemei: Fiecare diagonală a corpului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic format dintr-o diagonală a bazei și o muchie laterală. Diagonalele bazei sunt și ele congruente.
CerințăNivel Centura neagră – problema 5 Centura neagră
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu AB = a, BC = b și AA′ = c, demonstrează că diagonalele AC′, BD′, CA′ și DB′ au aceeași lungime. Poți accepta, fără să o demonstrezi acum, că muchia laterală este perpendiculară pe orice dreaptă din planul bazei; o demonstrăm la Lecția 21.
Indicii
1Pe fiecare diagonală a corpului construiește un triunghi dreptunghic: o muchie laterală, o diagonală a bazei și diagonala corpului.
2Arată întâi că cele două diagonale ale bazei, AC și BD, au același pătrat.
3Scrie pătratul fiecărei diagonale a corpului și compară cele patru rezultate.
Lecția 15: Prisma dreaptă, paralelipipedul dreptunghic, cubul: reprezentare, elemente, desfășurări
Centurile · Centura neagră· Lecția 15
Nivel Centura neagră – problema 4 · 2 din 2
Centura neagră
Care dintre cele trei drumuri este cel mai scurt
La cutia lungă ai comparat trei numere. Acum dovedești, pentru orice cutie, care dintre cele trei drumuri iese cel mai scurt.
Ideea problemei
Ideea problemei: Fiecare drum este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele x și y + z, unde x, y, z sunt dimensiunile luate în toate ordinile posibile. Dezvoltă (y + z)² și compară cele trei expresii.
CerințăNivel Centura neagră – problema 4 Centura neagră
Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile a, b și c, cu a ≥ b ≥ c > 0. O furnică merge din vârful A în vârful opus C′ pe suprafața lui, trecând peste două fețe vecine; după muchia peste care trece, drumul poate avea trei lungimi diferite. Demonstrează că cel mai scurt dintre cele trei drumuri are lungimea √(a² + b² + c² + 2bc).
Indicii
1Desfă în plan două fețe vecine. Ce fel de segment este drumul?
2Scrie pătratul drumului și dezvoltă (y + z)².
3Ce rămâne diferit între cele trei expresii? Compară produsele.