Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Introducere· Noțiunea 1
Teoria
Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Ce este o prismă dreaptă, din ce e făcută și cum o numim, de la teancul de foi la creionul hexagonal.
- Teoria noțiunii, în cinci ecrane, apoi grila noțiunii și cele două micro-noțiuni, fiecare cu exercițiile ei.
- Cinci ecrane de teorie; „Știu deja” te duce direct la grilă.
- aproximativ 5 ecrane
- 1.1 Ce este o prismă dreaptă și din ce e făcută
- 1.2 Prisme după bază; prisma regulată
Începe teoria noțiunii 1
Ce faci aici: Alegi: începi teoria noțiunii sau spui „Știu deja”.
Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Teoria noțiunii 1· Noțiunea 1
pasul 1 din 5
Definiția
Două baze și pereți drepți
Noțiunea 1 se numește „Prisma dreaptă” și o luăm de la început, de la teancul de foi. Aici vezi teoria întreagă a noțiunii; la micro-noțiuni o verifici pe corp, piesă cu piesă.
Un teanc de foi, o cutie de pantofi, un cort: toate au două capete la fel și pereți drepți între ele. Capetele sunt bazele, iar pereții sunt fețele laterale.
Bazele sunt poligoane congruente, adică se potrivesc exact una peste alta, și stau în plane paralele, ca două rafturi ale aceleiași biblioteci.
Fețele laterale sunt dreptunghiuri, iar muchiile dintre ele stau perpendicular pe baze, cum stă un perete pe podea. Corpul care are toate acestea se numește prismă dreaptă.
Împinge cu palma un teanc de foi într-o parte: foile rămân la fel, dar pereții se apleacă. Atunci corpul nu mai are pereți drepți, deci nu mai e prismă dreaptă.
Trage acum, în scenă, de A′ în sus. Bazele rămân la fel, iar pereții se lungesc. Așa arată „drept”.
Definiția, pe tablă:
Definiția
prismă dreaptă = două baze congruente, în plane paralele + fețe laterale dreptunghiuri
muchiile laterale: perpendiculare pe baze
Pe scurt: Prisma dreaptă are două baze, poligoane congruente în plane paralele, și fețe laterale dreptunghiuri; muchiile laterale stau perpendicular pe baze.
Ce faci aici: Tragi de A′ în sus și vezi că bazele rămân la fel, iar pereții se lungesc.
Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Teoria noțiunii 1· Noțiunea 1
pasul 2 din 5
Notarea
Elementele și notarea
Ca să ne înțelegem fără să arătăm cu degetul, punem nume pieselor. Colțurile sunt vârfurile. Muchiile sunt segmentele pe care se întâlnesc două fețe.
Baza de jos se notează cu litere mari, în ordine: A, B, C…. Deasupra fiecărui vârf stă același nume, cu un semn mic, un prim: A′ este deasupra lui A.
Muchiile bazelor sunt AB, BC, CA jos și A′B′, B′C′, C′A′ sus. Muchiile care urcă de la un vârf de jos la cel de deasupra lui se numesc muchii laterale: AA′, BB′, CC′.
Un perete se citește mergând pe contur, ca să nu-ți încrucișezi creionul: ABB′A′, nu ABA′B′. Caută în scenă peretele BCC′B′.
Scena e acum în modul caiet: muchiile pe care le ascunde corpul sunt trase punctat. Ghicește care dintre muchiile de jos sunt punctate, apoi verifică în întrebarea de mai jos.
Notarea, pe tablă:
Notarea
jos: A, B, C… · sus: A′, B′, C′…
muchii laterale: AA′, BB′, CC′…
muchie ascunsă de corp: linie punctată
În desenul din caiet (butonul „2D, ca în caiet” din scenă), care dintre muchiile bazei de jos se trag punctate?
Pe scurt: Vârfurile se notează A, B, C… jos și A′, B′, C′… sus; muchiile laterale sunt AA′, BB′, CC′…; muchiile ascunse de corp se trag punctat.
Ce faci aici: Ghicești care dintre muchiile bazei de jos este ascunsă de corp în desenul din scenă.
Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Teoria noțiunii 1· Noțiunea 1
pasul 3 din 5
Înălțimea și 2n, 3n, n + 2
Înălțimea și numărătoarea
Cât de înalt e un teanc de foi? Îl măsori pe una dintre marginile lui drepte. La fel la prismă: înălțimea este distanța dintre baze, adică lungimea unei muchii laterale.
Toate muchiile laterale au aceeași lungime, AA′ = BB′ = CC′ = h, pentru că toate sunt înălțimea. Și să nu crezi că „înălțimea” merge mereu în sus: la un cort culcat, înălțimea prismei este lungimea cortului.
Acum numărătoarea. Dacă baza are n laturi, ghicește: câte vârfuri? Jos n, sus n, deci 2n.
Muchii: n jos, n sus și n laterale, deci 3n. Fețe: n pereți și două baze, deci n + 2.
Schimbă n în scenă și verifică pe rând: n = 3 dă 6, 9 și 5; n = 6 dă 12, 18 și 8.
Înălțimea și numerele, pe tablă:
Înălțimea și numărătoarea
h = lungimea unei muchii laterale
n laturi: 2n vârfuri · 3n muchii · n + 2 fețe
Pe scurt: Înălțimea unei prisme drepte este lungimea unei muchii laterale; cu baza de n laturi, prisma are 2n vârfuri, 3n muchii și n + 2 fețe.
Ce faci aici: Tragi de A′ ca să vezi h, apoi schimbi n și urmărești cele trei numere din legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Teoria noțiunii 1· Noțiunea 1
pasul 4 din 5
Numele prismei
Prismele se numesc după bază
Creionul de lemn, privit de la capăt, are un hexagon. Cortul are un triunghi. Cutia, un dreptunghi. Prismele își iau numele de la bază.
Baza triunghi: prismă triunghiulară. Baza cu patru laturi: patrulateră. Cu cinci: pentagonală. Cu șase: hexagonală. Poți continua singur: cum se numește prisma cu baza de șapte laturi?
Dacă ai spus „heptagonală”, ai nimerit: un poligon cu șapte laturi este un heptagon, iar prisma cu baza heptagon se numește prismă heptagonală.
Schimbă n în scenă și spune numele prismei la fiecare pas. Ce nu se schimbă? Pereții rămân dreptunghiuri și stau drepți pe baze; se schimbă doar numărul lor, n.
Numele prismelor, pe tablă:
Numele prismei
numele prismei = numele bazei
triunghiulară · patrulateră · pentagonală · hexagonală · heptagonală…
fețele laterale: n dreptunghiuri
Pe scurt: Prisma dreaptă se numește după poligonul bazei: triunghiulară, patrulateră, pentagonală, hexagonală, și tot așa; are n fețe laterale dreptunghiulare.
Ce faci aici: Spui numele prismei la fiecare valoare a lui n, înainte să verifici în legendă.
Lecția 15 › Noțiunea 1: Prisma dreaptă
Teoria noțiunii 1· Noțiunea 1
pasul 5 din 5
Regulată și familii
Prisma regulată și familia ei
Când baza e un poligon regulat, adică are toate laturile și toate unghiurile egale, prisma este regulată. Atunci pereții ei sunt dreptunghiuri congruente.
Un pătrat e regulat, un triunghi echilateral e regulat, un hexagon cu toate laturile și unghiurile egale e regulat. Un dreptunghi oarecare nu e regulat: laturile lui nu sunt toate egale.
Acum familiile. Cutia obișnuită, cu baza dreptunghi, este un paralelipiped dreptunghic; dacă toate muchiile ei sunt egale, este un cub. Le luăm pe larg la noțiunea 2.
Le așezăm una în alta: cub ⊂ paralelipiped dreptunghic ⊂ prismă patrulateră dreaptă ⊂ prismă dreaptă. Semnul ⊂ se citește „este inclus în”.
Capcana clasică: prisma cu baza pătrat nu e neapărat cub. În scenă, baza e un pătrat cu latura 3, iar înălțimea e 5. Trage înălțimea până la 3 și vezi când devine cub.
Dintre toate, pe tablă rămâne asta:
Regulată și familii
prismă regulată: baza = poligon regulat
cub ⊂ paralelipiped dreptunghic ⊂ prismă patrulateră dreaptă ⊂ prismă dreaptă
baza pătrat ≠ cub: trebuie și h = latura bazei
Pe scurt: Prisma regulată are baza poligon regulat; cubul este inclus în paralelipipedul dreptunghic, acesta în prisma patrulateră dreaptă, iar aceasta în prisma dreaptă; baza pătrat nu înseamnă automat cub.
Ce faci aici: Tragi înălțimea până la 3 și vezi când prisma cu baza pătrat devine cub.